简介：

1905年，Einstein提出了“光量子”假说，成功解释了光电效应。于是，光成为了第一个同时以波动性和粒子性存在的实体。1924年，de Broglie提出“波粒二象性”，指出所有物质都类似于光，同时存在波动性，即物质波。在此基础上，Schrödinger建立了Schrödinger方程，成为了非相对论量子力学的基石。

这里我们从几何光学出发，通过对比哈密顿体系引入“光子”的概念，再利用光子的“波粒二象性”，配合哈密顿体系，给出光子的Schrödinger方程，从而推广至任意粒子。

一、Hamiltonian体系

首先，简单的回顾一下Hamiltonian力学体系。

对于每一个力学体系，都存在一个特殊的标量，称为作用量(Action)，记为。在Lagrangian体系下，给定运动轨迹两端，，其中为拉格朗日量(Lagrangian)，是广义坐标。在最小作用量原理下，给出欧拉-拉格朗日方程(E-L)：。同时，若拉格朗日量不显含时，则系统能量守恒：，其中称为广义动量，系统总能量为：，是动能，是势能，为质量。

对不含时拉格朗日量做勒让德变换，可得，其中称为哈密顿量(Hamiltonian)。易见不含时下为系统能量。根据全微分关系，可给出，称为哈密顿方程。

现在考虑运动轨迹的终点不固定，是坐标和时间的函数，则此时，根据定义有，而，于是，称为哈密顿-雅可比方程(H-J)。

列一下之后要用到的关系：

哈密顿量：；

广义动量：，在笛卡尔系下可写成，是普通动量；

哈密顿-雅可比方程 H-J：。

二、几何光学下的《光子》

*本节采用朗道二卷《场论》第53节的内容，已经在《特殊电磁场分析》中讲解过，欢迎观看。

从电磁场分析角度，光是一种电磁波，具体的表达式可以用一个静止源的推迟势在远场近似下给出。在这种情况下，对远场波区做平面波近似，用函数来统一表示场，则平面单色光给出，其中是波矢，是角频率，是频率，是初相。同时，考虑波长趋向于0，则可以引入几何光学概念：波面，即相位相同的点；光线，为每一点的切线都与光的波矢相同的线，类比流线......

对于任意光，自然没有类似的形式，但同样我们可以写出，其中相位称为程函。在几何光学下，程函本质上是一个非常大的数，对比波长而言。因此，在远场波区可以对原点展开到一阶：，将对矢径的偏导记作梯度，则对比平面单色光有：。

略去初相，可以看到程函方程有类似哈密顿体系的形式：。

于是，在形式上可以由此引入《光子》(Photon)的概念，这是一个对波动光的近似粒子的概念，其对应的力学量为，进一步可以验证，角频率对波矢和矢径有类似哈密顿方程的形式：。

因此，对于波动的《光子》，其程函在一定程度上就代表了它的作用量，波矢是动量，角频率则是哈密顿量。这就是光的“波粒二象性”的一个定量化解释。

进一步，我们可以从波包的角度，即单色光在小区域中的叠加来对比波和粒子之间的关系。同样的，我们也可以从Einstein的光量子公式出发，验证上述类比的正确性。同样的，我们可以看到，若我们将电磁波对波矢做傅里叶变换，则同样也能给出类似的结论，这称为《真空电磁场的本征振动》，最终我们可以给出电磁波关于波矢的哈密顿量，以及用波矢分量表示的哈密顿方程，完全类似于一维振子的哈密顿量，由此可以说明光的量子化，从而和量子场论接轨。这一部分参考二卷的第52节，我也同样介绍过，这里不做过多的阐述。

三、Schrödinger方程

现在我们就可以推导Schrödinger方程了。

在正式开始之前，先给出物质波的de Broglie公式：，其中为约化Plank常数，也就是说粒子给出的物质波的波矢和粒子本身的动量间相差一个约化Plank常数作为系数。

介绍完背景之后，我们正式开始。先从光子入手。

首先，根据光子的“波粒二象性”原理，将它的波矢和粒子动量代入de Broglie公式，可以得到。于是，对于光子，我们有，是前文中光的“波粒二象性”的具体定量关系式。

因此，光子的方程就可以写为：。

其次，考虑光子关于时间的变化，带入H-J方程有：。带入粒子的哈密顿量，我们有：。

随后，再考虑光子的位移变化：，微分两次可得，于是有。代入上式可得。

再利用“波粒二象性”原理，将场函数写成任意粒子的物质波函数，就可以得到Schrödinger方程。

当然相信大家已经可以看到上式有类似于特征方程的形式，引入力学算符，则Schrödinger方程为。在不含时情况下，，即定态薛定谔方程。

四、总结

在推导中，我们可以看到此处我们完全没有涉及相对论的内容，全部均从经典力学体系出发给出。因此Schrödinger方程是经典体系下的方程，并不符合相对论体系。同时，此处我们也可以看到，Schrödinger方程是可以从变分法给出的，这个和所有的物理体系均一致。于是我们就完成了从几何光学到Schrödinger方程的推导。

关于此处物质波的具体解释，也就是《哥本哈根诠释》，以及关于算符的细节，具体在量子力学中再详细阐述，这里不做过多的介绍。