复旦大学谢启鸿老师高等代数在线习题课思考题分析与解 ep.44

2022-01-31 12:47 作者:CharlesMa0606 0人读过 | 我要投稿

本文内容主要有关于可对角化的判定，在高代白皮书上对应第6.2.2节、第7.2.3节、第9.2.6节

题目来自于复旦大学谢启鸿教授在本站高等代数习题课的课后思考题，本文仅供学习交流

本人解题水平有限，可能会有错误，恳请斧正！

祝大家除夕快乐！

练习题3(17级高代II每周一题第4题) 设A为n阶方阵， $%5Calpha%2C%5Cbeta$ 为n维列向量， $B%3DA%5Calpha%5Cbeta%5E%5Cprime$ ，求证：B可对角化当且仅当B有一个非零特征值或者B=O.

证明考虑B的特征多项式 $%5Cleft%7C%5Clambda%20I_n-B%5Cright%7C%3D%5Cleft%7C%5Clambda%20I_n-%5Cleft(A%5Calpha%5Cright)%5Cbeta%5E%5Cprime%5Cright%7C%3D%5Clambda%5E%7Bn-1%7D%5Cleft(%5Clambda-%5Cbeta%5E%5Cprime%20A%5Calpha%5Cright)$

先证充分性.当 $%5Cbeta%5E%5Cprime%20A%5Calpha$ 非零时，B的特征值为0(n-1重), $%5Cbeta%5E%5Cprime%20A%5Calpha$ (1重)，此时设0特征值的代数重数为m，几何重数为t，则 $m%3Dn-1%EF%BC%8Ct%3Dn-r(%CE%BBI_n-B)%3Dn-r(B)%3Dn-1$ ，从而m=t，因此B有完全特征向量系，于是B可对角化.而当B=O时，显然.

再证必要性，B可对角化，因此B具有完全的特征向量系，注意到0特征值的几何重数为 $n-r%5Cleft(B%5Cright)$ ，注意到 $r%5Cleft(B%5Cright)%5Cle1$ ，从而若 $r%5Cleft(B%5Cright)%3D1$ ，则代数重数等于n-1，于是必有一个非零特征值，若 $r%5Cleft(B%5Cright)%3D0$ ，则B=O，于是0的几何重数为n，意味着代数重数也为n，没有任何问题.

从而B可对角化当且仅当B有一个非零特征值或者B=O.

$%5BQ.E.D%5D$

练习题4(18级高代II每周一题第3题) 求证：下列n阶方阵可对角化当且仅当a=b=0或者 $ab%5Cneq0$

$A%3D%5Cleft(%5Cbegin%7Bmatrix%7D0%26a%26%5Ccdots%26a%26a%5C%5Cb%260%26%5Ccdots%26a%26a%5C%5C%5Cvdots%26%5Cvdots%26%5C%20%26%5Cvdots%26%5Cvdots%5C%5Cb%26b%26%5Ccdots%260%26a%5C%5Cb%26b%26%5Ccdots%26b%260%5C%5C%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright)$

证明考虑A的特征多项式 $%5Cleft%7C%5Clambda%20I_n-A%5Cright%7C$ ，由白皮书例1.25可知

当 $a%5Cneq%20b$ 时，

$%5Cleft%7C%5Clambda%20I_n-A%5Cright%7C%3D%5Cfrac%7B1%7D%7Ba-b%7D%5Cleft%5Ba%5Cleft(%5Clambda%2Bb%5Cright)%5En-b%5Cleft(%5Clambda%2Ba%5Cright)%5En%5Cright%5D%3D0$