菜鸟入坑：美国人口预测模型(1)，取自司守奎《数学建模算法与应用》
1、导入数据，输出类型选为数值矩阵，命名为A
2010、2020年的人口数据用以验证。
t=A(:,1);%年份是A的第一列
x=A(:,2);%人口数是A的第二列
t0=t(1);%初始时间是向量t的第一个元素
x0=x(1);%同上
然后，用曲线拟合工具箱，
线性拟合太飞了，换一个，比如e指数拟合：
话说a=66.77，b=0.9236，那带入t=10^3的玩意那不指数爆炸了？真是令人疑惑，然后
原来是勾选了“center and scale”，
问题不大，就当是正路上的一滩积水坑了，继续前进
嗯发现貌似拟合得还可以，评价拟合得好坏具体指标见左侧Results框里的指标：
最大头的是RMSE，0.9859说明拟合得还可以，验证一下2010、2020
而事实上是美国人口2010为3.087（历史性突破3亿）、2020为3.32亿。说明这个模型不太准，小改一下：使用双平方后，貌似曲线又起飞了……
结果大同小异，也是奔4亿去了
可见美国人口实际上是在指数减速的，不是J型曲线增长而是S型曲线增长，发达国家一般都是S到饱和，即很可能是人口负增长，而美国是个例外，它的人口容量远未到达上限，指数减速才刚开始不久，未来还会强力增长很长一段时间。
在曲线拟合工具箱中，虽然一次函数拟合得飞了，二次函数、三次函数的拟合虽然拟合得非常准确，但我觉得不能为了拟合而拟合，那会偏向于傅里叶展开，将淹没人口增长模型。
3、正式建模
我们虑logistic模型即阻滞增长模型，设x(t)为t年增长人口，人口年增长率r(x)为x的线性函数，r(x）=r-sx,生存环境条件所能容纳的最大人口数为xm，当x=xm时，人口增长率为0.
很明显这是非线性的，于是我们用这个函数：
lsqcurvefit要求先定义一个fun，根据书中的原文适当添加我的理解：
t=A(:,1);%年份是A的第一列
x=A(:,2);%人口数是A的第二列
t0=t(1);%初始时间是向量t的第一个元素
x0=x(1);%同上
%初始
%非线性曲线拟合是已知输入向量xdata、输出向量ydata和函数关系ydata=F(x,xdata)，但不清楚系数向量x
%可以使用函数curvefit解决
fun=@(cs,td)cs(1)./(1+(cs(1)/x0-1)*exp(-cs(2)*(td-t0)));%cs(1)=xm,cs(2)=r,td应该就是t，换了个名
%fun返回的是个xhat
cs=lsqcurvefit(fun,rand(2,1),t(2:end),x(2:end),zeros(2,1))%rand(2,1)为初始解向量,zeros(2,1)为下界
%lsqcurvefit的返回值是xdata的系数，
%初始解向量的意思是cs(1)=xm、cs(2)=r，都是0-1之间的随机数，这是个合理的假设
T=[t;2010;2020];%把后两年接上
xhat=fun(cs,[t;2010;2020])；%预测人口2010、2020年美国人口
xhat’%横着打印方便截图，不然竖着是个大长长
plot(T,xhat),xlabel('年份'),ylabel('人口数量'),title('美国人口增长曲线阻滞模型')
figure(2);
plot(T,xhat,t,x),xlabel('年份'),ylabel('人口数量'),legend('拟合','实际'),title('美国人口增长曲线')
运行脚本后，
可以看出，大致是个s型曲线，但预测的仍和现实有出入：
尤其是迈入新世纪时，拟合过于保守，拟合在2000年时才为2.68亿，而实际上美国人口在1990-2000的增长比1980-1990时强势加速，人口达到了2.81亿；美国人口2010为3.087、2020为3.32亿，拟合差不多落后了10多年，拟合在2020时美国人口仍未突破三亿。
司守奎《数学建模算法与应用》中还介绍了线性最小二乘法的向前差分、向后差分，但我认为不如非线性最小二乘法估计好，也就是说，xm、r的在样本数据中的参数估计差不多到头了，我们得考虑现实因素引入对模型进行一些修正。
