不定积分与微分方程解法及拉普拉斯变换的本质

拉普拉斯变换和傅里叶变换是众所周知的，然而其本质确不尽周知。可以说这两个变换都是时频变换，其逆变换都是频时变换。这里不多言时域与频域的变换关系，只是说明他们可以用来求解微分方程。

        拉普拉斯变换是从幂级数而来，∑x^n=∑exp(n*ln x)，令s=-ln x，由0<x<1可知s>0，函数自然可以变换成∑f(n)*exp(-n*s)，这就是拉普拉斯变换L(f(x))=∫ f(x)*exp(-s*x) dx,(0,+∞)积分。注意：拉式变换虽然从幂级数而来，其本质仍是时频变换，和傅立叶变换是相通的。

        我说不定积分可以用拉普拉斯变换求解，但是有人确说拉普拉斯变换要求(0,+∞)的限制而不能用，我只能说我和他争论也没用。拉式变换限制的根本不是原函数，而是变换後的函数定义域，取原函数求部分区间积分完全能代表整个函数的性质，变换后定义域的限制完全可以在复数域上扩宽，况且拉普拉斯逆变换可不是实数域积分，直接在复数轴上(-∞,+∞)积分，能被这点限制住的话，那还如何用于微分方程的求解？大多数函数的拉普拉斯变换都存在，因此可以通过拉式变换求解。

现在举例说明拉氏变换的应用：

一、求解微分方程

先对两边取拉普拉斯变换有：

然後，进行拉普拉斯逆变换：（有理函数拆分，比较麻烦）

二、求不定积分

不定积分可以等价转换为微分方程，自然可以拉普拉斯变换。

对函数积分，实际上就是拉普拉斯变换乘上1/s.

求解还是可以直接进行分解的：

此类幂指函数的乘积与和都可以这样求解：

什么是幂指函数？

        “幂”即幂函数，“指”即指数函数，由于三角函数可以写出指数形式，是指数函数的和；幂指函数的乘积与和运算结果仍然可以像前面所述那样求解微分方程（不定积分），因为此类函数的拉普拉斯变换较简单。

        然而进行两次变换解题比较麻烦，所以考试时候推荐使用待定系数法，熟悉变换後可以直接知道解的形式，解方程组还是最快的。实际运用中，直接计算机运算拉普拉斯变换没压力。

        所谓“表格法”其背后的原理虽说是分部积分，其实应该是拉普拉斯变换，拉式不能变的“表格法”也基本是列不出来的，而分部积分其实适用度比“表格法”要广的多。