高数-极限三大核心应用，一个视频搞定！
大饼老师 | 1-4 极限的应用
无穷小的比较
极限的四则运算法则
若lim f (x)= A, lim g (x)= B，则有
（1）lim[f(x)±g(x)] = lim f(x)± lim g(x)=A±B
（2）lim[f(x)g(x)]= lim f(x)·lim g(x)=AB
应用1：无穷小的比较
注：■指的是有限值x₀或无穷大∞
例如：limx→0 x²=0 limx→1/x =0
正确认知：无穷小不是一个数，它是一个变量
零也是一个无穷小
1.2无穷小比较：无穷小趋向于0的速度快慢的比较
limx→0 x³/x²=limx→0 x=0
limx→0 x²/x³=limx→0 1/x =∞
limx→3 x²-9/x-3 =limx→0 (x+3)=6
limx→0 1-cosx/x² =1/2
。limx→0 sinx/x =1
注：f(x)和g(x)是同一个自变量x的变化过程中的无穷小，且g(x)≠0.
常见等价无穷小（必背）
x→0
sinx ~ x
tanx～x
arcsinx ~ x
arctanx ~ x
ln(1+x) ~ x
eˣ-1 ~ x
1-cosx ~ 1/2x²
aˣ-1 ~ xlna
(1+x)ᵃ-1 ~ ax
题型1：求极限
（1）确定型：代入法
（2）分式型未定型：找等价无穷小
（3）分式型未定型：提tanx
注意：当无穷小加减无穷小，不能用等价无穷小。只有乘法或除法可以替换。
使用等价无穷小替换的注意事项：
（1）无穷小才能替换，即x→0，如习题(1) limx→1 tanx/x
（2）方块思维（整体观），如习题(2)limx→3
（3）当无穷小量相加减时，不可将其中任意一个进行替换，如习题(3)limx→0 tanx-sinx /x³
乘除用等价无穷小替换，加减用麦克劳林替换
题型2：无穷小比较
设f(x)= 2ˣ+3ˣ-2，则当x→0时
A. f(x)是x的等价无穷小量
B. f(x)与x同阶但非等价无穷小量✓
C. f(x)是比x较高阶无穷小量
D. f(x)是比x较低阶无穷小量
- 第一步：判断出是未定型
- 第二步：判断出是分式型
- 第三步：用极限的加法运算，拆成两个极限，再找等价无穷小
注：■指的是有限值x₀或无穷大∞.
lnx < xᵃ <xᵇ < cˣ <<dˣ <<x! << xˣ（x→+∞，0<a<b，1<c<d）
2️⃣函数连续与间断
（1）有定义
（2）有极限
（3）极限值等于函数值
连续特点：—笔画
2. 间断点定义：
设函数f(x)在点x₀某去心领域内有定义，如果函数f(x)有下列三种情况之一，
（1）在x = x₀没有定义；
就称f(x)在x₀处不连续，或点x称为函数f(x)的不连续点或间断点
间断特点：不是一笔画
第一类间断点（左、右极限都存在）
（1）可去间断点
（2）跳跃间断点
第二类间断点（左、右极限至少一个不存在）
（1）无穷间断点
（2）振荡间断点
间断点判断的两步法：
（1）寻找间断点
- 函数定义域边界
- 分段函数分界点
（2）算左右极限
- 第一步：找间断点：定义域
- 第二步：算左右极限
3️⃣函数的渐近线
渐近线：曲线上一点M沿曲线无限远离原点或无限接近间断点时，如果M到一条直线的距离无限趋近于零，那么这条直线称为这条曲线的渐近线。
- 水平渐近线
- 斜渐近线
- 铅直渐近线
（1）水平渐近线：
（2）斜渐近线：
（3）铅直渐近线：
- 水平渐近线：y=c，c = lim x→∞ f(x)
- 分母→∞，f(x)→0
- 铅直渐近线：x=a，lim x→a f(x)=∞
- f(x)是分式，让分母=0
总结
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