大饼老师 | 1-2 函数极限求法

1️⃣函数极限

（1）自变量x趋于有限值x₀时的函数极限

定义：设函数f(x)在x₀的某个去心邻域内有定义，如果当x→x₀时，函数f(x)无限趋近于某个确定的常数A，则称A为函数f(x)在x→x₀时的极限，记为lim x→x₀ f(x)=A或f(x) →A(x→x₀)

简而言之：lim x→x₀ f(x)：x向某个值靠近时，f(x)向哪个值靠近

函数极限存在：左极限=右极限

（2）自变量x趋于无穷大时的函数极限

定义：如果当x→∞时，函数f(x)无限趋近于某个确定的常数A，则称A为函数f(x)在x→∞时的极限，记为lim x→∞ f(x)=A或f(x) →A(x→∞)

简而言之：lim x→∞ f(x)：x向无穷大靠近时, f(x)向哪个值靠近

函数极限：当x向某个值x₀（或无穷远处）靠近时，f(x)向哪个值靠近

考试注意：自变量x到底是趋近于这6种情况中的哪一种

2️⃣求法一：代入法

代入法：将自变量的极限值代入函数表达式

注意

• 例3：x=5≠x→5

“代入法"的注意事项：

（1）无穷小和无穷大是倒数关系，即1/∞=0” =0；1/“0” =∞

• 例2：lim x→∞ =0
• 例3：lim x→5 1 /5-x =∞

（2）极限方向性问题，即区分“x→x₀⁺ /x₀⁻ /x₀ / +∞ / -∞ / ∞"；

• 例4：lim x→0⁺ |x| /x= 1

（3）有界函数与无穷小的乘积是无穷小

• 例5：lim x·sin 1/x =0

练习题

2️⃣求法二：找大哥

找大放小

练习题

“找大哥”的必背内容：

家庭作业