大饼老师 | 1-1 数列的极限

1️⃣数列极限概念的引入

1. 什么是数列极限?

当n无限增大时，xₙ越来越接近于某一实数，这个实数就叫做数列xₙ的极限

例:包子数列{xₙ} ={1，1/2，1/3，…，1/n} n →∞ ，Xₙ→0

2. 如何定义数列极限？

2️⃣数列极限定义的学习

定义：

若数列{xₙ}和常数a有下列关系，就称常数α是数列{xₙ}的极限，或称数列{xₙ}收敛于a，记为lim n→∞ xₙ =α或xₙ →a（n →∞）

对于任意给定的正数ε（不论它多么小），总存在正整数N，使得当n >N时，不等式lxₙ-al <ε都成立

ε-N四部曲：

∀ε>0，ョN，当n>N时，有|xₙ-a|<ε

注：

（1）对于正数ε，它刻画了xₙ与a的接近程度，它重在其"任意性”。因为只有这样， lxₙ-al <ε才能体现出xₙ与a的“无限接近”。

（2）对于正整数N，它与任意给定的ε有关，它随着ε的给定而选定，即ε不依赖于N，N依赖于ε。对于给定的ε，相应的N不是唯一的，即它重在其"存在性"，并没有要求其达到最小。

（3）数列的极限是否存在仅与它的发展趋势有关，只要从某项N（n>N）开始，有|xₙ-al <ε即可，与前面有限项的变化无关。

3️⃣数列极限的定义证明方法

第一步：找N

第二步：写ε-N

例1

两步法

• ①N？
• 倒着找：|xₙ-al <ε
• xₙ在题里面
• a是极限=1
• N=[ ]+1
• ②ε-N
• 四部曲

例2

• ①N？
• 倒着找：|xₙ-al<ε
• a是极限=0
• ②ε-N

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