第 一章  函数与极限

第四节 无穷小与无穷大

一、无穷小

概念——

• 无穷小：如果函数f(x)当x→x0（或x→∞）时的极限为零，那么称函数f(x)为当x→x0（或x→∞）时的无穷小。

• 数列的无穷小：以零为极限的数列{xn}称为n→∞时的无穷小。

• 无穷大：设函数f(x)在x0的某一去心邻域内有定义（或|x|大于某一正数时有定义），如果对于任意给定的正数M（不论它多么大），总存在正数δ（或正数X），只有x适合不等式0<|x-x0|<δ（或|x|>X），对应的函数值f(x)总满足不等式|f(x)|>M，则称函数f(x)为当x→x0（或x→∞）时的无穷大。

定理——

1. 在自变量的同一变化过程x→x0（或x→∞）中，函数f(x)具有极限A的充分必要条件是f(x)=A+a，其中a是无穷小。

2. 在自变量的同一变化过程中，如果f(x)为无穷大，则1/f(x)为无穷小；反之，如果f(x)为无穷小，且f(x)≠0，则1/f(x)为无穷大。

第五节 极限运算法则

定理——

• 有限个无穷小的和也是无穷小。

• 有界函数与无穷小的乘积是无穷小。

• 常数与无穷小的乘积是无穷小。

• 有限个无穷小的乘积是无穷小。

• 如果lim f(x)=A，lim g(x)=B，那么

• 如果lim f(x)存在，而c为常数，则lim[c f(x)]=c lim f(x)。

• 如果lim f(x)存在，而n为正整数，则

• 设有数列{xn}和{yn}，如果
  

    ——那么

• 如果φ(x)>=ψ(x)，而limφ(x)=a，limψ(x)=b，那么a>=b。

• （复合函数的极限运算法则）设函数y=f[g(x)]是由u=g(x)与函数y=f(u)复合而成，f[g(x)]在点x0的某去心邻域内有定义，若
  

第六节 极限存在准则 两个重要极限

准则I：如果数列{xn}、{yn}及{zn}满足下列条件——

准则II：

1. 单调有界数列必有极限。

2. 设函数f(x)在点x0的某个左邻域内单调并且有界，则f(x)在x0的左极限必定存在。

柯西（Cauchy）极限存在准则：数列{xn}收敛的充分必要条件是：对于任意给定的正数ε，存在着这样的正整数N，使得m>N，n>N时，就有|xn-xm|<ε.

两个重要极限：

第七节 无穷小的比较

概念——

• 高阶的无穷小：如果lim(β/α)=0，就说β是比α高阶的无穷小，记作β=o(α)。

• 低阶的无穷小：如果lim(β/α)=∞，就说β是比α低阶的无穷小。

• 同阶无穷小：如果lim(β/α)=c≠0，就说β是比α同阶无穷小。

• k阶无穷小：如果lim(β/α^k)=c≠0，就说β是关于α的k阶无穷小。

• 等价无穷小：如果lim(β/α)=1，就说β与α是等价无穷小，记作α~β。

定理——

1. β与α是等价无穷小的充分必要条件为β=α+o(α)。

2. 设α~α'，β~β'，且lim(β'/α')存在，则lim(β/α)=lim(β'/α')。