你真的喜欢数学吗（第五部分）

        3、无序性：{a，b，c}和{c，b，a}是同一个集合。

        4、纯粹性：所谓集合的纯粹性，用个例子来表示。集合A={x|x＜2}，集合A中所有的元素都要符合x＜2，这就是集合的纯粹性。

        5、完备性：仍用上面的例子，所有符合x＜2的数都在集合A中，这就是集合完备性。完备性与纯粹性是相呼应的。

        在上面5个性质中，只有前3个性质属于集合的三要素。

集合的运算结论：

        若A包含于B，则A∩B=A，A∪B=B。若A和B有一集合为空集，∅∩B=∅，A∪∅=A。全集的补集是空集，全集的空集等于它本身（包括全集等同于补集）。

集合的表示方法：

        列举法：常用于无限集合，把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内，这种表示集合的方法叫做列举法。例如{1，2，3，……}。

        描述法：常用于有限集合，把集合中的元素的公共属性用文字，符号或式子等描述出来，写在大括号内，这种表示集合的方法叫做描述法。{x|P}（x为该集合的元素的一般形式，P为这个集合的元素的共同属性）如：小于π的正实数组成的集合表示为：{x|0＜x＜π}。

        韦恩图（Veen图）：为了形象表示集合，我们常常用画一条封闭的曲线（或者说圆圈），用它的内部来表示一个集合。

常用数集符号：

        1、全体非负整数的几何通常简称非负整数集（或自然数集），记作N。

        2、非负整数集内排除0的集，也称正整数集，记作Z+（或Z*）。

        3、全体整数的集合通常称作整数集，记作Z。

        4、全体有理数的集合通常简称有理数集，记作Q。

        5、全体实数的集合通常简称实数集，记作R。

        6、复数集合记作C。

集合容斥原理：

        在研究集合时，会遇到集合中元素个数的问题。现今我们只研究了两个元素的容斥原理和三个元素的容斥原理。

        两个元素的容斥原理：对于任意的集合{A，B}，都符合该公式：A∪B=A+B-A∩B。

        三个元素的容斥原理：对于任意的集合{A，B，C}，都符合该公式：A∪B∪C=A+B+C-A∩B-A∩C-B∩C+A∩B∩C。

集合的运算律：

        集合交换律：A∩B=B∩A。A∪B=B∪A。

        集合分配律：（A∩B）∩C=A∩（B∪C）。（A∪B）∪C=A∪（B∪C）。

        集合德·摩根律：Cu（A∩B）=CuA∪CuB。Cu（A∪B）=CuA∩CuB。

        集合吸收率：A∪（A∩B）=A。A∩（A∪B）=A。

        集合求补律：A∪CuA=U。A∩CuA=∅。

                                            第三十六章：不等式

不等式简介：

        用不等号将两个解析式连起来的式子。在一个式子中的关系，不全是不等号，含不等号的式子，那它就是一个不等式。例如2x+2y≥2xy，sinx≤1，ex＞0，2x＜3，5x≠5等。根据解析式的分类也可以对不等式分类，不等号两边都是解析式都是代数式的不等式，称为代数不等式，也分一次不等式或多次不等式。只要有一边是超越式，就称为超越不等式，例如lg（1+x）＞x是超越不等式。

        不等式分为严格不等式与非严格不等式。一般地，用纯粹的大于号、小于号、不等号连接的不等式称为严格不等式，用不小于号（大于等于号），不大于号（小于等于号）连接的不等式称为非严格不等式，或称广义不等式。

        通常不等式中的数是实数，字母也代表实数，不等式的形式一般为F（x，y……z）≤G（x，y……z）（其中不等号也可以为＜，＞，≥，≠中的某一个），两边的解析式的公共定义域称为不等式的定义域，不等式即可以表达一个命题，也可以表示一个问题。

整式不等式：

        不等号两边都是整式且未知数不在分母上。

        一元一次不等式：含有一个未知数（即一元），并且未知数的次数是1次（即一次）的不等式。如3-x＜0

        同理：二元一次不等式：含有两个未知数（即二元），并且未知数的次数都是1次（即一次）的不等式。

        类似：一元二次不等式：含有一个未知数（即一元），并且未知数的最高次数是2次（即最高二次）的不等式。一元二次不等式可以没有一次项，但不能没有二次项，二次项系数不能为0。

        类比：一元三次不等式：含有一个未知数（即一元），并且未知数最高次数是3次（即最高三次）的不等式。一元三次不等式可以没有二次项，但不能没有三次项，三次项系数不能为0.

分式不等式：

        分母中含有未知数的不等式叫做分式不等式，有意义的条件是分母不能为0。和分式方程差不多。例如3/（2+x）＜1，当2+x≠0时该不等式就有意义，2+x=0时该不等式就无意义。

连不等式：

        由三个或三个以上连成的一个不等式，叫做连不等式。连不等式并非要求每个解析式都是从小到大或从大到小，不是从大到小或从大到小的不等关系的连不等式也是连不等式，只要保证每个区间的不等关系成立即可。

不等式的基本性质：

        （1）如果x＞y，那么y＜x；如果y＜x，那么x＞y（对称性）。

        （2）如果x＞y，y＞z，那么x＞z（传递性）。

        （3）如果x＞y，z为有意义的分式或整式，那么x+z＞y+z（加法原则）。

        （4）如果x＞y，z＞0，那么xz＞yz；如果x＞y，z＜0，那么xz＜yz（乘法原则）。

        （5）如果x＞y，m＞n，那么x+m＞y+n（充分条件）。

        （6）如果x＞y＞0，m＞n＞0，那么xm＞ym（必要条件）。

        （7）如果x＞y＞z，那么x＞y，y＞z（逆向思维）。

        （8）如果x＞z，y＞z，那么x＞y=z（子集关系）。

解不等式的原理：

        （1）不等式F（x）＜G（x）与不等式G（x）＞F（x）同解。

        （2）如果不等式F（x）＜G（x）的定义域被解析式H（x）的定义域所包含，那么不等式F（x）＜G（x）与不等式F（x）+H（x）＜G（x）+H（x）同解。

        （3）如果不等式F（x）＜G（x）的定义域被解析式H（x）的定义域所包含，并且H（x）＞0，那么不等式F（x）＜G（x）与不等式F（x）H（x）＜G（x）H（x）同解。

不等式注意事项：

        1、验证解集：在解分式不等式中，化为整式不等式再解之后，解完的不等式的解集要检验。

        2、符号：不等号两边都乘或除以一个负数，要改变不等号的方向。

        3、确定解集：同大取大，同小区小，小大大小取中间，小小大大空集，两个以上不等式组成的不等式组类推。

        4、也可以在数轴上确定解集：把每个不等式（组）在数轴上表示出来。大于几的数在该数为起点用曲线向右画，小于几的数将在该数的起点用曲线向左画。起点处要画一个空心的圆圈，注意圆圈必须与数轴相交，∵解出来的不等式的解集的最值虽然不是这个数，但你仍然不能丢掉这个数，否则人家就会看你画成实心的了。大于等于几和小于等于几的画法类似于大于几和小于几，只不过圆圈必须是实心的了，但仍要画在数轴上，∵解出来的不等式的解集的最值存在这个数。画不等式组的解集时同理。对于解集取中间的不等式组，可以是半封闭的，也可以是全封闭的。有几个解集就画几个。

        5、整理解集：如果解的是不等式组，那么最后需要整理解集。整理解集时利用描述法表示集合的形式确定解集（前面要加“∴”）。

        6、类比方程：不等式两边相加或相减同一个式子，不等号的方向不变号。不等式中的式子移项要变号（不等式的性质）。

        7、系数化为1：不等式两边相乘或除以同一个数，不等号的方向不变，未知数的系数最后为1（前提是数为正数且未知数系数为正数）。

        8、是否需要在数轴上表示不等式组的解集：如果是解不等式组，那么需要在数轴上表示不等式组的解集（前面要加上“因此”）。如果是解决不等式组实际问题，那么不需要在数轴上表示不等式组的解集。

不等式中的解集和解的区别：

        在不等式中，解析式的取值范围（即不等式的解），称为“解的集合”，简称“解集”，∵不等式解出来的是一个有范围的解析式，而解析式中的字母可是任意实数。那么对于不等式的解而言，就是这个解析式中的每一个值。例如x＜3，它是一个解析式，符合x＜3的x值有2，1，0以及负数，∴x＜3是一个解集。但其中又有比3小的数，例如2，1，0以及负数，这些数只是符合这个解集有意义几个数，∴其中的2，1，0以及每一个负数只能算是不等式的解。

不等式的证明：

        1、比较法：包括比差法和比商法两种。

        2、综合法：证明不等式时，从命题的条件出发，利用公理、定理、法则等，逐步推导出要证明的命题的方法成为综合法，综合法又叫顺推证法或因导果法。

        3、分析法：证明不等式时，从待证命题出发，分析使其成立的充分条件，利用已知的一些基本原理，逐步探索，最后将命题成立的条件归结为一个已经证明过的定理、简单事实或题设的条件，这种证明的方法称为分析法，它是执果索因的方法。

        4、放缩法：证明不等式时，有时根据需要把证明的不等式的值适当放大或缩小，使其化繁为简，化难为易，达到这种目的，这种方法称为放缩法。

        5、数学归纳法：用数学归纳法证明不等式，要注意两步一结论。在证明第二步时，一般多用到比较法、放缩法和分析法。

        6、证明不等式时，首先假设要证明的命题的反面成立，把它作为条件和其他条件结合在一起，利用已知定义、定理、公理等基本原理逐步推证出一个与命题的条件或已证明的定理或公认的简单事实相矛盾的结论，以此说明假设不成立，从而肯定原命题的结论成立的方法称为反证法。

柯西不等式：

        对于2n个任意实数x1，x2，……，xn和y1，y2，……，yn，恒有（x1y1+x2y2+……+xnyn）²≤（x1²+x2²+……+xn²）（y1²+y2²+……+yn²）

排序不等式：

        又称排序原理。对于两组有序的实数x1≤x2≤……≤xn，y1≤y2≤……≤yn，设yi1，yi2，……yin是后一组的任意一个排列。记S=x1yn+x2y（n-1）+……+xny1，M=x1y1+x2y2+……+xnyn，L=x1y1+x2y2+……xnyn，那么恒有S≤M≤L。

                                第三十七章：多变的函数

区间的概念：

        提到函数，就离不开区间。∵区间与函数有着一定的联系，∴在谈函数之前，我们就先认识一下区间的概念。

 区间简说：

        在初等代数，传统上区间指一个集，包含在某两个特定实数之间的所有的实数，亦可能包含两个实数（或其中之一）。期间表示法时表示一个变数在某个区间内的方式。通用的区间表示法中，圆括号表示排除，意味着这个数不存在，方括号表示包括，意味着这个数存在。例如开区间（10，20）表示所有10和20之间的实数，但不包括10和20。另一方面，闭区间[10，20]表示所有在10和20之间的实数，以及10和20。

区间的严格定义：

        区间的定义可以推广到任何全序集T的子集S，若使得x和y均属于S，且x＜z＜y，则z亦属于S。特别重要的是当T=R时，R的区间有以下10种（a和b为实数且a＜b）：

        （a，b）={x|a＜x＜b}。[a，b]={x|a≤x≤b}。[a，b）={x|a≤a＜b}。(a，b]={x|a＜x≤b}。（a，+无穷大）={x|x＞a}。[a，+无穷大）={x|x≥a}。（-无穷大，b）={x|x＜b}。(-无穷大，b]={x|x≤b}。（-无穷大，﹢无穷大）=R自身，实数集。[a，a]={a}，即单元素集合。

区间总结：

        区间有且仅由两个实数构成。分为开区间和闭区间，一边为开区间另一边为闭区间称为半开半闭区间，根据端点位置又分为左开右闭区间和左闭右开区间。开区间的符号用小括号表示，闭区间的括号用中括号表示。实数还无穷大，无穷大分为正无穷大和负无穷大，这取决于数的正负。

函数的经典定义：

        在某变化过程中有两个变量x，y，按照某个对应法则，对于给定的x，有唯一确定的y与之对应，那么y就叫做x的函数。其中x叫自变量，y叫因变量。

函数的现代定义：

        一般地，给定非空数集A，B，按照某个对应法则f，使得A中任意元素x，都有B中唯一确定的y与之对应，那么从集合A到集合B的这个对应，叫做从集合A到集合B的一个函数。记作x→y=f（x），x∈A。集合A叫做函数的定义域，记为D，集合{y|y=f（x），x∈A}叫作值域，记为C，f（x）的值叫做函数的值。定义域、值域、值称为函数的三要素。一般书写为y=f（x），x∈D。

判断是否为同一函数：

       首先看定义域是否相同，然后再看对应法则是否相同，即经化简两函数为同一形式。检验方法：第一步先求两函数的定义域。任取一个数x，第二步将x分别 两式子中看两式是否同时得一个数。定义域相同且得数相同则为同一函数，否则不为同一函数。

用映射给函数下定义：

        一般地，给定非空数集A，B，从集合A到集合B的一个映射，叫做从集合A到集合B的一个函数。

计算机中的函数定义：

        函数过程中这些语句用于完成某些有意义的工作——通常是处理文本，控制输入或计算数值。通过在程序代码中引入函数名称和所需的参数，可在该程序中执行（或称调用）该函数。

        类似过程，不过函数一般都有一个返回值。它们都可以在自己结构里面调用自己，称为递归。

        大多数编程语言构成函数的方法里面都有Function关键字（或称保留字）。

        与数学上的函数类似，函数多用于一个等式，如y=f（x）（f由用户自己定义）。

函数简介：

        函数是数学中的一个基本概念，也是代数学里面最重要的概念之一。

        首先要理解，函数是发生在非空数集之间的一种对应关系。然后，要理解发生在A、B之间的函数关系不止一个。最后，要重点理解函数的三要素。

        函数的对应法则通常用解析式表示，但大量的函数关系是无法用解析式表示的，可以用图像，表格及其他形式表示。

分段函数的概念：

        分段函数，就是y对自变量x的不同数值范围，有着不同解析式的函数。它是一个函数，而不是几个函数；分段函数的概念是各段函数定义域的并集，值域也是各段函数的并集。

        分段函数的图像由一个折线或不规则的曲线构成，解题时需要分类讨论。类型有两种。第一种：分界点左右的数学表达式一样，但单独定义分界点处的函数值一样。第二种：分界点左右的数学表达式不一样，但单独定义分界点处的函数值一样。

        求分段函数的表达时的常用方法有：待定系数法、数形结合法和公式法等。

映射概念：

        设A和B是两个非空集合，如果按照某种对应关系f，对于集合A中的任何一个元素a，在集合B中都存在唯一的一个元素b与之对应，那么，这样的对应（以及集合A到集合B的对应关系f）叫做集合A到集合B的映射记作f：A→B。其中，b称为a在映射f下的象，记作：b=f（a）；a称为b关于映射f的原象。集合A中所有元素的象的集合记作f（A）。

        则有：定义在非空数集之间的映射称为函数。（函数的自变量是一种特殊的原象，因变量是特殊的象）。

几何与函数：

        函数与不等式和方程存在联系（初等函数）。从几何的角度看。令函数值等于0，从几何角度看，对应的自变量的值就是图像与x轴的坐标；从代数角度看，对应的自变量是方程的解，另外，把函数的表达式中的“=”换成“＞”或“＜”，再把y换成其他代数式，函数就变成了不等式，可以求自变量的范围。

函数的集合论：

        如果x到y的二元关系f：x×y，对于每个函数x∈X，都有唯一的y∈Y，使得x＜y＜f，则称f为X到Y的函数，记作：f：x→y，记作f：x→y.

        当x=x1×……×xn时，称f为n元函数。其特点，前域与定义域重合。单值性：y＜f，y∈f，f＜x，y′＞∈f，则y=y′。

定义域、对应法则、值域和值：

        输入的集合x被称为f的定义域，输出值的集合y被称为f的值域。函数的值域是从定义域中的全部元素通过映射f得到的实际输出值的集合。函数的值是从定义域中的单选出元素得出的值通过映射f得到唯一输出的值。注意，把对应域称作值域是不正确的，函数的值域是函数对应域的子集。把值看成对应法则也是不正确的，虽然算法相同，但是对应法则用于判断是否为同一函数，而值却是一个函数中通过给定的x值求得y的值。

        计算机科学中，参数和返回值的数据类型分别确定了子程序的定义域和对应域。因此定义域和对应域是函数一开始就确定了强制进行约束。另一方面，值域和实际的实现有关。

单射、满射和双射函数：

        单射函数，将不同的变量映射到不同的值。即：若x和y∈定义域，则仅当x≠y时有f（x）≠f（y）。

        满射函数，其值域即为其对应域。即：对映射f的对映域中指任意y，都存在至少一个x满足f（x）=y。

        双射函数，既是单射的又是满射的。也叫一一对应。双射函数经常被用于表明集合x和y是等势的，即有一样的基数。如果在两个集合之间可以建立一个一一对应，则说明这两个集合等势。

象和原象：

        元素x∈X在f的象就是f（x），它们所取的式值为0。子集A∈x在f的象是以其元素的象组成Y的子集，即f（A）={x|f（x），x∈A}。

函数的单调性：

        函数的单调性也叫函数的增减性，可以定性描述在一个指定区间内，函数值变化与自变量变化的关系。当f（x）的自变量在其定义区间内增大（或减小）时，函数值也随着增大（或减小），则称该函数为该区间上具有单调性（单调递增或单调递减）。在集合论中，有序集合之间的函数，如果它们保持给定的次序，是具有单调性的。

        一般地，设一连续函数f（x）的定义域为D。则：

        如果对于属于定义域D内的某一个区间上的任意两个自变量的值x1，x2∈D且x1＞x2，都有f（x1）＞f（x2），即在D是具有单调性且单调增加，那么就说f（x）在这个区间上是增函数。

        相反地，如果属于定义域D内某个区间上的任意两个自变量的值x1，x2且x1＞x2，都有f（x1）＜f（x2），即在D上具有单调性且单调减少，那么就说f（x）在这个区间上是减函数。

        则增函数和减函数统称单调函数。

        判断单调性的方法有图像观察法、定义法、等价定义法、求导法、复合函数法。利用函数的单调性可以解决很多与函数相关的问题，如求最值、证明不等式等。

单调区间：

        如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，那么就说函数y=f（x）在这一区间具有严格地单调性，区间D叫做y=f（x）的单调区间。否则都叫函数不具有严格的单调性。

函数的最值：

        一般的，函数的最值分为函数最小值和函数最大值。简单来说，最小值即定义域中函数值的最小值，最大值即定义域中函数的最大值。函数的最大（小）值的几何意义——函数的最高（底）点的纵坐标即为函数的最大（小）值。

        设函数y=f（x）的定义域为I，如果存在实数M满足：（1）对于任意实数x∈l，都有f（x）≥M。（2）存在x0∈l，使得f（x0）=M，那么，我们称实数M是函数y=f（x）的最小值。

       设函数y=f（x）的定义域为I，如果存在实数M满足：（1）对于任意实数x∈l，都有f（x）≤M。（2）存在x0=I。使得f（x0） ，那么，我们称实数M是函数y=f（x）的中最大值。

函数的有界性：

        设函数f（x）的定义域为D，数集X包含于D，如果存在数K1，使得f（x）≤K1对任一x∈X都成立，则称函数f（x）在X上有上界，而K1称为函数f（x）在X上的一个上界。如果存在数K2，使得f（x）使得f（x）≥K2对任一x∈X都成立，则称f（x）在X上游下界，而K2成为函数f（x）在X上的一个下界。如果存在正数M，使得|f（x）|≤M对任一x∈X都成立，则称函数f（x）在X上有界，如果这样的M不存在，就称函数f（x）在X上无界。

函数的奇偶性：

        若对于定义域内的任意一个x，都有f（-x）=f（x），那么f（x）称为偶函数。若对于定义域内的任意一个x，都有f（-x）那么f（-x）。对于定义域内的任意一个x，都有f（-x）=-f（x）=-f（x），那么f（x）称为既奇又偶函数。对于定义域内的任意一个x，都有f（-x）≠-f（x）≠f（x），那么f（x）称为非奇非偶函数。奇函数关于原点对称，偶函数关于y轴对称，既奇又偶函数即关于原点对称又关于y轴对称。既不关于原点对称又不关于y轴对称。既奇又偶函数和非奇非偶函数都各有无数个。

        例题：判断下列函数的奇偶性：（1）f（x）=x**4。（2）f（x）=x**5。（3）f（x）=x+1/x。（4）f（x）=1/x²。

        解答：（1）对于函数f（x）=x**4，其定义域为（-无穷大，+无穷大）。∵对定义域的每一个x，都有f（-x）=（-x）**4=x**4=f（x），∴f（x）=x**4为偶函数。

        （2）对于函数f（x）=x**5，其定义域为（-无穷大，+无穷大）。∵对定义域的每一个x，都有f（x）=x**5=（-x）**5=-x**5=-f（x），∴f（x）=x**5为奇函数。

        （3）对于函数f（x）=x+1/x，其定义域为{x|x≠0}。∵对定义域的每一个x，都有f（-x）=-x+（1/-x）=-（x+1/x）=-f（x），∴函数f（x）=x+1/x为奇函数。

        （4）对于函数f（x）=1/x²，其定义域为{x|x≠0}。∵对定义域的每一个x，都有f（-x）=1/（-x）²，∴函数f（x）=1/x²为偶函数。

函数的周期性：

        设函数f（x）的定义域为D。如果存在一个整数l，使得对于任一x∈D有（x±l）∈D，且f（x+l）=f（x）恒成立，则称f（x）为周期函数，l称为x的周期。通常我们说周期函数的周期是指最小正周期，周期函数的定义域D为至少一边的无界区间，若D为有界的，则该函数不具周期性。

        并非每个函数都有最小正周期，例如狄利克雷函数。

函数的连续性：

        在数学中，连续是函数的一种属性。直观上来说，连续的函数就是当输入值的变化足够小的时候，输出的变化也会随之足够小的函数。如果输入值得某种微小的变化会产生输出值得一个突然跳跃甚至无法定义，则这个函数被称为是不连续的函数。

        设f是一个从实数集的子集射到的函数。f在中的某个点c处是连续的当且仅当一下的两个条件满足：

        f再点c上有定义。c是中的一个聚点，并且无论自变量x处中以什么方式接近c，f（x）的极限都存在且等于f（c）。我们成函数到处连续或处处连续，如果它在其他定义域中的任一点处都连续，我们说一个函数在他的定义域的子集上是连续的，当它在这个自己的每一个点处都连续。

        不用极限的概念，也可以用下面所谓的方法来定义实值函数的连续性：

        仍然考虑函数，假设c是f的定义域中的元素。函数f被称为在c点连续，当且仅当以下条件成立：

        对于任意一个正实数，存在一个正实数δ＞0使得对于定义域的δ，只要x满足c-δ＜x＜c-δ，就会成立。

函数的凹凸性：

        设函数f（x）在I上连续，如果对于I上的两点x1≠x2，恒有f[（x1+x2）/2]≤[f（x1）+f（x2）]/2，[f（x1+x2）/2]≤[f（x1）+f（x2）]/2，那么称f（x）是区间I上的凸函数。如果恒有f[（x1+x2）/2]≥[f（x1）+f（x2）]，[f（x1+x2）/2≥[f（x1）+f（x2）]/2，那么称f（x）是区间I上的凹函数。

实函数和虚函数：

         实函数，只定义域和值域均为实数域的函数。实函数的特性之一是可以在坐标上画出图形。

        虚函数的图像是面向对象程序设计中的一个重要概念。当从父类中继承的时候，虚函数和被继承的函数具有同样的签名。但是在运行过程中，运行系统将根据对象的类型，自动选择适当具体的形式实现运行。虚函数是面向对象编程实现多态的基本手段 。

反函数：

        一般地，设函数y=f（x）（x∈A）的值域是C，根据这个函数中的x，y的关系，用y把x表示出，得到x=f（y） 。若对于y在C中的任何一个值，通过x=f（y），x在A中都有唯一的值和它对应，那么x=f（y）就表示y是自变量，x是自变量y的函数，这样的函数x=f（y）  （y∈C） 叫做函数y=f（x）（x∈A）的反函数，记作x=f**-1（y）。反函数y=f**-1（x）的定义域、值域分别是y=f（x）的值域、定义域。

        说明：在函数x=f**-1（y）中，y是自变量，x是函数，但习惯上，我们一般用x表示自变量，用y表示函数，为此常常对调x=f**-1（y）中的字母x，y，把它改写成y=f**（-1）（x），今后凡无特别说明，函数y=f（x）的反函数都可以采用这种经过该写的形式。

        反函数也是函数，∵它符合函数的定义，对于任意一个函数y=f（x）来说，不一定有反函数，若函数y=f（x）有反函数y=f**-1（x）,那么函数y=f**-1（x）的反函数就是y=f（x）,这就是说，函数y=f（x）与y=f**-1（x）互为反函数。

        从映射的定义可知，函数y=f（x）是定义域A到值域C的映射，而它的反函数y=f**-1（x）是集合C到集合A的映射，因此，函数y=f（x）的定义域正好是它的反函数y=f**-1（x）的值域，函数y=f（x）的值域正好是反函数y=f**-1（x）的定义域AC，值域CA。

反函数的应用：

        直接求函数的值域困难时，可以通过求其函数的定义域来确定原函数的值域，求反函数的步骤是这样的：

        1、先求出原函数的值域，∵原函数的值域就是反函数的值域。2、反解x，也就是用y来表示x。3、改写，交换位置，也就是把x改写成y，把y改成x。4、写出反函数及其定义域。

        就关系而言，一般是双向的，函数也如此，设y=f（x）为已知的函数，若对每一个y∈Y，有唯一的x∈X，使得f（x）=y，这是一个由y找x的过程，即x成了y的函数，记为y=f**-1（x），例如y=sinx与y=arcsinx互为反函数。在同一坐标系中，y=f（x）与y=f**-1（x）的图形关于直线y=x对称。

隐函数：

        若能有方程F（x，y）=0确定y为x的函数y=f（x），即F[x，f（x）]=0，就称y是x的隐函数。注意：此处为方程F（x，y）=0并非函数。思考：隐函数是否为函数？答：不是，∵在其变化的过程中并不满足“一对一”或“多对一”。

多元函数：

        设点（x1，x2，……，xn）∈G；Rn，U；R1，若对每一点（x1，x2，……，xn）∈G，由某规则f为一个n元函数，G为定义域，U为值域。

一次函数的做法与图形：

        （1）列表（每个自变量对应的因变量）。（2）描点（一般取两个点）。（3）连线，可以做出一次函数的图像——一条直线（通常找函数图像与x轴与y轴的交点分别是-k/b与0，0与b）

一次函数的性质：

        （1）在一次函数上的任意一点P（x，y），都满足等式y=kx+b（k≠0）。

        （2）一次函数与y轴的交点的坐标总是（0，y），正比例函数的图像都经过原点。

函数简说：

        函数不是数，它是指某一变化过程中两个变量之间的关系。

正比例函数和一次函数所在象限：

        y=kx时（即b=0，y与x成正比例）：

        当k＞0时，直线过第一、三象限、原点，y随x的增大而增大。

        当k＜0时，直线第过二、四象限、原点，y随x的增大而减小。

        y=kx+b时：

        当k＜0，b＞0时，直线过第一、二、三象限。

        当k＞0，b＜0时，直线过第一、三、四象限。

        当k＜0，b＜0时，直线过第一、二、四象限。

        当k＞0，b＜0时，直线过第二、三、四象限。

一次函数的特殊位置关系：

        当平面直角坐标系中两直线平行时，其中解析式K值（即一次项系数）相等。当平面直角坐标系两直线互相垂直时，其函数解析式中K值互为负倒数。

反比例函数的概念：

        形如y=k/x（x≠0）函数叫做反比例函数，其中k是常数，x是自变量，y是因变量。

反比例函数的图像与性质：

        作反比例图像采用“一点法”，一般取6个点（每条曲线各6个），连成两条平滑的双曲线，双曲线不与坐标轴相交。双曲线关系关于原点对称，其中每条曲线的中点是与x轴和y轴坐标垂直的点。

        反比例函数是正比例函数的反函数，∵y=k/x（x≠0）可以改写x=ky**（-1）。

反比例函数与正比例函数的关系：

       反比例函数与正比例函数图像的关系是关于平面直角坐标系原点对称。奇偶性都是奇函数。经过图像的增减性相反：对于正比例函数中的y随x的增大而增大，对应的反比例函数中的y随x的增的而减小；反之正比例函数中的y随x的增大而减小，对应的反比例函数中的y随x的增大而增大。

二次函数：

        一般地，自变量x和因变量y存在如下关系：y=ax²+bx+c（a≠0），a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项，y是x的二次函数。a决定函数的开口方向，a＞0时开口向上，a＜0时开口向下。|a|还决定开口大小，|a|越大开口越小，|a|越小开口越大。二次函数表达式的右边通常是二次三项式。

二次函数的三种表达式：

        一般式：y=ax²+bx+c（a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项，a≠0）

        顶点式：y=a（x-h）²+k[抛物线的顶点P（h，k）对于二次函数y=ax²+bx+c其顶点坐标为（-b/2a），（4ac-b²）/4a]

        交点式：y=a（x-x1）（x-x2）[仅局限于x轴有交点A（x1，0）和B（x2，0）]，其中x1，x2=[-b±根号（b²-4ac）]/2a。注：在3种形式的互化中，有如下关系：h=-b/（2a）k=（4ac-b²）/（4a），x1，y=[-b±根号（b²-4ac）]/2a。

抛物线的性质：

        1、抛物线是轴对称图形，对称轴为x=-b/2a（顶点式x=h）。对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。特别地。当b=0时，抛物线的对称轴是y轴（即x=0）。

        2、一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左边。当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右边。

        3、常数项c决定于抛物线与y轴交点。抛物线与y轴交于（0，c），c是纵截距。

        4、抛物线与x轴交点个数。△＞0时，抛物线与x轴有2个交点。△=0时，抛物线与x轴有1个交点（即坐标系原点）。△＜0时，抛物线与x轴有0个交点。X的取值是虚数（x=△的相反数，乘上虚数i，整个式子除以2a）。

        5、当a＞0时，函数在x=-b/2a处取得最小值f（-b/2a）=4ac-b²/4a；在{x|x＜-b/2a}上是增函数，抛物线的开口向上；函数的值域是{x|x≥4ac-b²/4a}相反不变。当b=0时，抛物线的对称轴是y轴，这时，函数是偶函数，解析式变形为y=ax²+c（a≠0）

二次函数与一元二次方程：

        函数与x轴的交点分别是一元二次方程的每个实根。

        二次函数y=ax²，y=a（x-h）²，y=a（x-h）²+k，y=ax²+bx+c（各式中a≠0）形状相同，只是位置不同。它们的顶点坐标及对称轴如下：

        对应顶点坐标：（0，0）；（h，0）；（h，k）；[-b/2a，（4ac-b²）/4a]

        对应对称轴：x=0；x=h；x=h；x=-b/2a

二次函数汇总：

        二次函数只是很容易与其他知识综合应用，而形成较难的综合题。因此，以二次函数知识为主的综合性题目是中考的热点考题，往往以大题形式出现。

复变函数：

        复变函数是定义域为复数集合的函数。

        复变函数的概念起源于求方程的根，在二次、三次方程的求根中就出现了负数开平方的情况。在很长的时间里，人们对这类数不能理解，但随着数学的发展，这类数的重要性就显现出来，复变函数的形式是y=a+bi。

        以复数作为自变量的函数就叫做复变函数，而与之相关的理论就是复变函数论。解析函数是复变函数中一类具有解析性质的函数，复变函数论主要研究复数域上的解析函数，因此通常也称复变函数论为解析函数论。

幂函数：

        幂函数的一般形式为y=x**a。

        如果a取非0的有理数是比较容易理解的，不过初学者对于a取无理数，则不太理解，在我们的课程里，不要求掌握如何理解指数为无理数的问题，∵这涉及实数连续统的极为深刻的知识。因此我们只要接受它作为一个事实即可。

        对于a取值非0为非零有理数，有必要分成几种情况来讨论各自的特性：

        首先我们知道如果a=p/q，p和q都是整数，则x×（p/q）=q次根号（x的p次方）如果q是奇数， 函数的定义域是R，如果q是偶数，函数定义域是（0，+无穷大）。当指数n是负整数时，设a=-k，则x=1/（x×k），显然x≠0，函数的定义域是（-无穷大，0）∪（0，+无穷大），因此可以看到x所收到的限制源于两点，一是有可能作为分母而不能是0，二是有可能在偶数次的根号下不能为负数，那么我们就可以知道：

        排除了0与负数两种可能，即对于x＞0，则a可以是任意实数。排除了为0这种可能，即对于x＜0和x＞0的所有实数，q不可能是偶数。

        排除了为负数这种可能，即对于x为大于且等于0的所有实数，a就不能是负数。

        总结起来，就可以得到当a为不同的数值时，幂函数的定义域的不同情况如下：

        如果a为任意实数，则函数的定义域为＞0的所有实数。

        如果a为负数，则x肯定不能为0，不过这是函数的定义域还必须根据q的奇偶性来确定，即如果同时q为偶数，则x不可能＜0，这时函数的定义域必须为＞0的所有实数；如果q同时为奇数，则函数的定义域为≠0的所有实数。

        在x＞0时，函数的值域总是大于0的实数。在x＜0时，函数的值域为非零的实数。而只有 a为正数，0才进入函数的值域。

        由于x＞0是对a的任意取值都有意义的，因此下面给出幂函数在第一象限的各自情况。可以看到：

        （1）所有的图形都经过（1，1）这点。（2）当a＞0时，幂函数是单调递增的，a＜0时，幂函数为单调递减函数。（3）当a＞1时，幂函数图形向下凹；当a＜1＞0时，幂函数图形向上凸。（4）当a＜0时，a越小，图形倾斜程度越大。（5）a＞0，函数过（0，0）；a＜0，函数不过（0，0）点。（6）显然幂函数无界。

复合函数的定义：

        设y=f（米欧），米欧=磁通（x），当x在米欧=磁通（x），的定义域D磁通中变化时，米欧=磁通（x）的值在y=f（米欧）的定义域Df内发生变化，因此变量x与y之间通过变量米欧形成的一种函数关系，记为y=f（米欧）=f[磁通（x）]称为复合函数，其中x称为自变量，米欧为中间变量，y为因变量（即函数）。

复合函数生成条件：

        任何两个函数都可以复合成一个复合函数，只有当米欧=磁通（x）的值域Z磁通和y=f（米欧）的定义域Df不为空集时，二者才可以复合成一个复合函数。

复合函数的定义域：

        若函数y=f（u）的定义域是B，函数u=g（x）的定义域是A，则复合函数y=f[g（x）]的定义域是D={x|x∈A，且g（x）∈B}

复合函数的周期性：

        设y=f（x）的最小正周期为T1，米欧=磁通（x）的最小正周期为T2，则y=f（米欧）的最小正周期为T1×T2，任一周期可表示为k×T1×T2（k∈R＋）。

周期函数性质：

        （1）若T（T≠0）是f（x）的周期，则-T也是f（x）的周期。

        （2）若T（T≠0）是f（x）的周期，则nT(n为任意非零正数）也是f（x）的周期。

        （3）若T1和T2都是f（x）的周期，则T1±T2也是f（x）的周期。

        （4）若f（x）有最小正周期T*，那么f（x）的任何正周期T一定是T*的整数倍。

        （5）T*是f（x）的最小正周期，且T1、T2分别是f（x）的两个周期，则T1、T2∈Q

        （6）若T1、T2是f（x）的两个周期，且T*是无理数，则f（x）不存在最小正周期。

        （7）周期函数f（x）的定义域M必定是双方无界的集合。

复合函数的增减性：

        依y=f（x），米欧=磁通（x）的增减性决定。即“增增得增，减减得增，增减得减”，可以简化为“同增异减”。

判断函数单调性的步骤：

        （1）求复合函数定义域；

        （2）将复合函数分解成若干个常见函数（一次、二次、幂、指、对数函数）；

        （3）判断每个常见函数的单调性；

        （4）将中间变量的取值范围转化为自变量的取值范围；

        （5）求复合函数的单调性。

        例如：讨论函数y=0，8**（x²-4x+3）的单调性。

        解：函数的定义域为R。令u=x²-4x+3，y=0.8**u。指数函数，y=0.8**u在（-无穷大，﹢无穷大）上是增函数，u=x²-4x+3**（x²-4x+3），∴函数y=8**（x²-4x+3）在（-无穷大，2）上是增函数，在（2，+无穷大）上是减函数。

利用复合函数求参数取值范围：

        求参数的取值范围是一类重要问题，解题关键是建立关于这个参数的不等式组，必须将所有的已知条件加以转化。

                                第三十八章：数学算法

算法概念：

        在数学上，现代意义上的“算法”通常是指可以用计算机来解决某一类问题的程序或步骤，这些程序或步骤必须是明确和有效的，而且能够在有限步之内完成。

算法的特点：

        （1）有限性：一个算法的步骤序列是有限的，必须在有限操作后停止，不能是无限的。

        （2）确定性：算法中的每一步应该是确定的并且能有效地执行且得到确定的结果，而不应当是模棱两可。

        （3）顺序性与正确性：算法从初始步骤开始，分为若干明确的步骤，每一个步骤只能有一个确定后续步骤，前一步是后一步的前提，只有执行完前一步才能执行下一步，并且每一步都准确无误，才能完成问题。

        （4）不唯一性：求解某一个问题的解法不一定是唯一的，对于一个问题可以有不同的算法。

        （5）普遍性：很多具体的问题，都可以设计合理的算法去解决，如心算、计算器计算都要经过有限、事先设计好的步骤加以解决。

程序构图基本概念：

        程序框图又称流程图，是一种用规定的图形、指向线及文字说明来准确、直观地表示算法的图形。

        一个程序框图包含以下几部分：表示相应操作的程序框；带箭头的流程线、程序框外必要文字说明。

构成程序框的图形的图形符号及其作用：

  程序框（图形）         名称         功能

    圆矩形                    起始框        表示一个算法

                                                      的起始和结束

                                                      ，是任何流程

                                                       图中必不可少

                                                        的。

 平行四边形         输入、输出框     表示一个算法

                                                        输入和输出的 

                                                        信息，可用在

                                                        算法中任何需

                                                        要输入、输出

                                                         的位置。

    矩形                    处理框            赋值、计算，算

                                                      法中处理数据需

                                                      要的算式、公式

                                                      等分别写在不同

                                                       的用以处理数据

                                                      的处理框内。

    菱形                    判断框            判断某一        

                                                      条件是否

                                                      成立，成

                                                      立时在出口

                                                     处标明“是” 

                                                     或 “Y”；不

                                                      成立时标

                                                     明“否”或

                                                      “N”。

画程序框图的规则：

        学习这部分知识的时候，要掌握各个图形的形状、作用及使用规则，画程序框图的规则如下：

        1、使用标准的图形符号。2、框图一般按从上到下、从左到右的方向画。3、除判断框外，大多数流程图符号只有一个进入点和一个退出点，框图具有超过一个退出点的唯一符号。4、判断框分为两大类，一类判断“是”与“否”两分支的判断，而且有且仅有两个结果；另一类是多分支判断，有几种不同的结果。5、在图形符号内描述的语言要非常简练清楚。

算法的三种基本逻辑结构：

        1、顺序结构：顺序结构是最简单的算法结构，语句与语句之间，框与框是按从上到下的顺序进行的，它是由若干个以此执行的处理步骤组成的，它是任何一个算法都离不开的一种基本算法结构。

        顺序结构在程序框图中的体现就是用流程线将程序框自上而下地连接起来，按顺序执行算法步骤。例如A框和B框是依次执行的，只有在执行完A框指定的操作后，才能接着执行B框所指定的操作。

        2、条件结构：条件结构是指在算法中通过对条件的判断，根据条件是否成立而选择不同流向的算法结构。

        条件P是否成立而选择执行A框和B框。无论P条件是否成立，只能执行A框或B框之一，不可能同时执行A框和B框，也不可能A框、B框都不执行，一个判断结构可以有多个判断框。

        3、循环结构：在一些算法中，经常会出现从某处开始，按照一定条件，反复执行某一处理步骤的情况，这就是循环结构，反复执行的处理步骤为循环体，显然，循环结构中一定包含条件结构。循环结构又称重复结构，循环结构可细分为两类：当型循环结构、直到型循环结构。

        注意：循环结构重要在某个条件下终止循环，这就需要条件结构来判断。因此循环结构中一定包含条件结构，但不许“死循环”。再循环结构中都有一个计数变量和累加变量。计数变量用于记录循环次数，累加变量用于输出结果。计数变量和累加变量一般是同步执行的，累加一次，计数一次。

输入语句：

        （1）输入语句的一般格式：INPUT“提示内容”；变量→图形计算器格式→INPUT“提示内容”；变量。（2）输入语句的作用是实现算法输入信息的功能。（3）“提示内容”提示用户输入什么样的信息，变量是指程序在运行时其值是可以变化的量。（4）输入语句要求输入的值只能是具体的常数，不能是函数、变量或表达式。（5）提示内容与变量之间用分号隔开，若输入多个变量，变量与变量之间用逗号隔开。

输出语句：

        （1）输出语句的一般形式：PRINT“提示内容”；表达式→图形计算器格式→Disp“提示内容”，变量。（2）输出语句的作用是实现算法的输出结果功能。（3）“提示内容”提示用户输入什么样的信息，表达式是指程序需要输出的数据。（4）输出语句可以是输出常量、变量或表达式的值以及字符。

赋值语句：

        （1）赋值语句的一般格式：变量=表达式→图形计算器格式→表达式→变量。（2）赋值语句的作用是将表达式所代表的值赋给变量。（3）赋值语句中的“=”称作赋值号，与数学中的等号的意义是不同的。赋值号的左右两边不能对换，它将赋值号右边的表达式的值赋给赋值号左边的变量。（4）赋值语句左边只能是变量名字，而不能是表达式，右边的表达是可以是一个数据、常量或算式。（5）对于一个变量可以多次赋值。

        注意：（1）赋值号左边只能是变量名字，而不能是表达式。如2=X是错误的。（2）赋值号左右不能对换。如“A=B”“B=A”的含义运行结果是不同的。（3）不能利用赋值语句进行代数式的演算（如化简、因式分解、解方程等）。（4）赋值号“=” 与数学中的等号意义不同。

条件语句：

        条件语句的格式有两种：（1）IF——THEN——ELSE语句；（2） IF——THEN  语句。

IF——THEN——ELSE语句分析：

        在IF——THEN——ELSE语句中，“条件”指的是判断的条件。“语句（1）”表示满足条件时执行的操作内容；语句“（2）”表示不满足条件是操作的内容；END——IF表示条件语句的结束。计算机在执行时，首先对IF后的条件进行判断，如果条件符合，则执行THEN后面的语句（1）；若条件不符合，则执行ELSE后面的语句（2）。

 IF——THEN  语句注意事项：

        “条件”表示判断的条件；“语句”表示满足时首先对END——IF表示条件语句的结束。计算机在执行时首先对IF后的条件进行判断，如果条件符合就执行THEN后边的语句，若条件不符合则直接结束该条件语句，转而执行其他语句。

循环语句：

        循环结构是由循环语句来实现的。对于程序框图中的两种循环结构，一般程序设计中也有当型（WHILE型）和直到型（UNTIL型）两种语句结构。即WHILE语句和UNTIL语句。

        当计算机遇到WHILE语句时，先判断条件的真假，如果条件符合，就执行WHILE与WEND之间的循环体；然后检查上述条件，如果条件符合，再次执行循环体，这个过程反复执行，直到某一次条件不符合为止。这时，计算机将不执行循环体，直接跳到WEND语句后，接着执行WEND之后的语句。因此，党性循环有时也称“前测试型”循环。

        直到型循环又称“后测试型”循环，从UNTIL型循环结构分析，计算机执行该语句时，先执行一次循环体，然后进行条件的判断，如果条件不满足，继续返回执行循环体，然后再进行条件的判断，如果条件不满足，继续返回执行循环体，然后再进行条件的判断，这个过程反复进行，直到某一次条件满足时，不再执行循环体，跳到LOOPUNTIL语句后执行其他语句，是执行循环体后进行条件判断的循环语句。

当型循环和指导型循环的区别：

        当型循环先判断后执行，直到型循环先执行后判断；在WHILE语句中，是当条件不满足时执行循环体，在UNTIL语句中，是当条件不满足时执行循环。

                            第三十九章：常用逻辑用语

逻辑用语讲义：

        常用逻辑用语是数理逻辑的一个知识点。什么是数理逻辑？数学与逻辑学结合的一个学科，或者说是有逻辑性的数学理论。

命题的概念：

        命题的第一概念：在数学中以“如果……那么……”的形式的句子叫做命题。命题的第二概念：在数学中用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题。但习惯地，我们都以第二概念给命题下定义。无论是对第几个概念而言，都是其中判断为真的语句叫真命题，判断为假的语句叫假命题。

        例如：今天是谁的生日?对不起，祝您下次走运！这都不是命题，∵它们都不能判断真假（不是陈述句）。再例如：x=1。xOy平面。这也都不是命题，∵它们虽然是陈述句，但是不能判断真假。不过例如：篮球比赛中进一个球最多得3分。跳水比赛中0分是失败。这些都是命题，∵它们都是可以判断真假陈述句。

        由此可以得出这样的结论：在所有的语句中，不是所有的陈述句都是命题，但所有的非陈述句都不是命题。

四种命题：

命题            表述形式

原命题        若p，则q

逆命题        若q，则p

否命题        若非p，则非q

逆否命题     若非q，则非p

四种命题的逆否关系：

        原命题与逆命题互逆，否命题与逆否命题互逆，原命题与否命题互否，逆命题与逆否命题互否，原命题与逆否命题互为逆否，逆命题与否命题互为逆否。

四种命题的真假关系：

        两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系。

充分条件与必要条件的相关概念：

        如果p→q（p能推出q，q不能推出p），则p是q的充分不必要条件，简称充分条件。

        如果p←q（p不能推出q，q能推出p），则p是q的不充分必要条件，简称必要条件。

        如果p←→q（或记为p=q，p既能推出q，q又能推出p），则p是q的充分必要条件，简称充要条件。

        如果p←×→q（或记为p≠q，p既不能推出q，q又不能推出p），则p是q的既不充分又不必要条件，简称不充分不必要条件。

判断充要条件的方法：

        1、定义法：（1）p是q的充分不必要条件←→{p→q，p←×q}。（2）p是q的必要不充分条件←→{p→×q，p←q}。（3）p是q的充要条件←→{p←q，p→q}。（4）p是q的既不充分又不必要条件←→{p→×q，p←×q}。

        2、集合法：设P={p}，Q={q}。（1）若P不是Q的真子集，Q是P的真子集，则p是q的充分不必要条件，q是p的不充分必要条件。（2）若P=Q（Q=P），则p是q的充要条件（q也是p的充要条件）。（3）若P不是Q的真子集且Q不是P的真子集，则p是q的既不充分又不必要条件

        3、逆否命题法：（1）非p非q的充分不必要条件←→p是q的充分不必要条件。（2）非p非q的必要不充分条件←→p是q的必要不充分条件。（3）非p非q的充要条件←→p是q的充要条件。（4）非p非q的既充分又不必要条件←→p是q的既不充分又不必要条件。

简单的逻辑联结词、真值表和结论：

        逻辑联结词中涉及到了复合命题。复合命题我们可以把它定义为：由两个或两个以上联结起来的命题叫做复合命题。判断复合命题的真假取决于每个简单命题的真假和逻辑联结词的名称。

        命题中的“且”“或”“非”叫做逻辑连接词。用联结词“且”联结命题p和q，记作p^q，读作“p且q”。用联结词“或”联结命题p和q，记作pVq，读作“p或q” 对一个命题p全盘否定，就得到一个新的命题，读作“非p”。

 p    q    p ^q    p Vq    非p

真   真     真       真       假                                               

假   假     假       真       真                                                   

真   假     真       假       假

假   真     假       假       真

        由此我们可以得出的结论是：当两个简单的命题构成一个复合命题的时候，对于且命题，只有当两个简单命题都为真命题的时候，这个复合命题才为真命题，其余情况都是假命题，对于或命题，只有当两个简单命题都为假命题的时候 ，这个复合命题才是假命题，其余情况都是真命题，对于非命题，简单命题的真假与复合命题的真假恰好相反。

全称量词与存在量词：

         全部存在的量词叫全称量词，部分存在的量词叫存在量词。       

         常见的全称量词有：“任意一个”“一切” “每一个” “任给” “所有的” 等。常见的存在量词有：“至少有一个” “有些” “有一个” “某个” “有的” 等。

        全称量词用符号用倒写的A表示，存在量词用倒写的 E表示。

全称命题与特称命题：

        含有全称量词的命题叫全称命题：“对M中任意一个x，有p（x）成立”  ，可用符号简记为对任意x∈M，p（x），读作“对任意x属于M，有p（x）成立”  。

        含有特称量词的命题叫特称命题：“存在M中的一个xo，使p（xo）成立” 可用符号简记为存在xo∈M，P（xo），读作“存在M中的元素xo，使p（xo）成立”  。

含有量词命题的否定：

        含有量词命题的否定：全称命题p：任意x∈M，p（x）  的否定非p：存在x∈M，否定p（x）;全称量词的否定为特称命题。

        特称命题p：存在x∈M，p（x）的否定非p：任意x∈M，p（x）否定。

        其中p（x）P（X）是关于x的命题。

含有逻辑连接词的否定：

        “p ^q”的否定：“非pV非q”；“pVq”的否定：“非p^非q”。

“若p则q”的否定：

        只否定结论。

特别提醒：

        命题的“否定”与“否命题”是不同的概念，命题的否定：只否定结论；否命题：全否。对命题p的否定（即非p）是否命题p所作的判断，而否命题是“若否p则否q”。

        例题：命题p：关于x的不等式x²+2ax+4＞0对于一切x∈R恒成立；命题q：函数f（x）=logax在（0，﹢无穷大）上递增。若pVq为真，p^q为假，求实数a的取值范围。

        解答：命题p：关于x的不等式x²+2ax+4＞0对于一切x∈R恒成立；pT→△（2a）²-4²＜0，即-2＜a＜2。命题q：函数f（x）=logax在（0，﹢无穷大）上递增；qT→a＞1。∵p Vq为真，而p^q为假，∴pq一真一假。p真q假时，pT→-2＜a＜2；qF→a≤1，∴-2＜x≤1。p假q真时，pF→a≤-2或a≥2；qF→a＞1，∴a≥2。

“且或非”与“交并补”：

        逻辑连接词“且或非”与集合的“交并补”之间有什么关系吗？

        先看一个具体的例子。

        我们知道，由“2是偶数”与“2是素数”都是真命题，可以得到“2是偶数且是素数”是真命题。另一方面，由集合的“交”运算可以知道：由2∈{偶数}，2∈{素数}，可以得到2∈{偶数}∩{素数}。如果把“真”对应于“∈”，“且”对应于“交”，那么，“2是偶数是真命题”可以对应于“2∈{偶数}”，“2是素数是真命题”可以对应于“2∈{素数}”，“2是偶数且是素数是真命题”就可以对应于“2∈{偶数}∩{素数}”。

        从上述例子得到启发，我们可以在逻辑联结词“且”与集合的“交”运算