你真的喜欢数学吗（第四部分）
三点一线：
垂心、重心、外心和九点圆圆心四点共线，这条直线称为欧拉线。
界心：
三角形三条周界中线的交点叫做三角形的界心。三角形的界心性质：设点D、E、F分别为△ABC的BC、CA、AB边上的周界中点，R、r分别为△ABC的外接圆和内接圆的半径，则：（1）S△DEF/S△ABC=r/2R，（2）S△DEF≤S△ABC/4。
五心的距离：
OH²=9R²-（a²+b²+c²），OG²=R²-（a²+b²+c²）/9，OI²=R²-abc/（a+b+c）=R²-2Rr，GH²=4OG²，GI²=（p²+5r²-16Rr）/9，HI²=4R²-p²+3r²+4Rr=4R²+2r²-（a²+b²+c²）/2。
稳定性和不稳定性：
证明：任取三角形两条边，则两条边的非公共端点被第三条边连接。∵第三条边不可伸缩或弯折，∴两端点距离固定，∴这两条边的夹角固定，∵这两边是任取的，∴三角形三个角都固定，进而将三角形固定。 任取n（n≥4）两条邻边，则两条边的非公共端点被不止一条边连接，∴两端点距离不固定，∴这两边夹角不固定，∴n（n≥4）每个角都不固定，∴n（n≥4）边形没有稳定性。任取圆周上的两个点，则这两个点连成的线包含直径也包含弦。∵圆的直径和弦都不止一个，且弦与直径相交，∴两端点不固定，∴任意一条边的圆心距不固定，∴圆的每条边的圆心距都不固定，∴圆没有稳定性。任取椭圆的两个点。当取左右或上下两点时，由于椭圆的长轴有短轴长度不等，进而将椭圆不固定。当不去上下左右四个任意的点时，由于离心率不同，斜率也就不同，∴两端点不固定，∴任意一条边的离心率都不同，进而得到椭圆每条边的斜率都不同。综上所述，椭圆没有稳定性。
三角形的作用：
三角形的稳定性使其其它图形易于变形，有着稳固、坚定、耐压的特点。三角形结构在工程上有广泛的应用，许多建筑都是三角型的结构，如：埃菲尔铁塔、金字塔等。
周长固定三角形面积的最大值：
首先，我们要建立数学模型！那么什么是矩形呢？它有些什么性质呢？初等几何说：有一个角是直角或π/2的平行时四边形叫做矩形。那么什么是平行四边形呢？它有些什么性质呢？几何又说：两组对边平行且相等的平行四边形叫做平行四边形。
现在我们对矩形有一个印象了。简单来说是一个四条互相垂直的线段所组成的东西，而且我们知道它的面积公式：S=ab，由平行四边形的性质可知它的周长公式：L=2（a+b）。
有了这些，就可以建模分析了，首先我们分析L=2（a+b），经过简单的处理，有：b=L/2-a（a＞0）.现在把b=L/2-a带入S=ab就有S=a（L/2-a）=-a²+（L/2）×a（a＞0）；这是一个关于a的二次函数，且A=-1＜0，函数S有最大值。
微积分的解法：∵S=-a²+（L/2）×a（a＞0）∴S′=-2a+L/2（a＞0）令S′=0有2a=L/2，∴a=L/4。∴L4（L2-L4）=L²/16，max：b=a=L/4（此时矩形为正方形）。
也可以利用不等式：∵（a-b）²≥0，又（a-b）²=（a+b）²-4ab，∴有（a+b）²-4ab≥0即ab≤（a+b）**（2/4），当a=b时，去“=”，S有最大值。
现在，来谈一谈周长固定三角形面积的问题，说有一根长度固定为L的绳子，现要围成一个三角形，问：什么样的三角形面积才是最大的？
不妨设绳子L，围成的三角形一边为x，另两边之和为L-x，根据三边关系定理有x＜L-x，于是有：0＜x＜L/2。假设x是一个常量，则L-x也是常量。且x＜L-x总成立，满足解析几何中的椭圆的定义：2a=L-x，2c=x，且有2a＞2c。以2c=x的中点建立坐标系，则a²=（L-x/2）²，b²=（L-x/2）²-（x/2）²=L（L-2x）。∴椭圆方程为X²/（L-2x）²+Y²/L（L+2x）/4=1，三角形的面积为S=（1/2）2c×Y，∵x=2c是固定的，∴S取决于Y，当Y取max时，即Y=b，S有最大值。
即S=S（x）max（该三角形为等腰三角形）=（1/4）x（L²-2Lx）**（1/2）（0＜x＜L/2）。
现在，我们得到了函数的最大值，剩下的就是微积分的技巧了，对S=S（x）max，求导：S′=-LX=（L²-2Lx）**（1/2）+（L²-2Lx）**（1/2）令S′=0有：LX/（L²-2Lx）**（1/2）=（L²-2Lx）**（1/2），则LX=L²-2Lx解知得x=L/3且有x=L/3＜L/2满足三角形条件。
此时的三角形是一个正三角形！此模型的思想有点类似变分法，函数的函数，但还是有本质的差别。
也可以利用海伦公式S=[p（p-a）×（p-b）×（p-c）]**（1/2），其中p=（a+b+c）/2。用不等式来解决，或者用二次函数的偏导及拉格朗日乘法来解决也行。
不要以为海伦公式比微积分简单，前提是你必须知道这个公式，而且能够证明！
要证明海伦公式，首先要知道余弦定理：a²=b²+c²-2bcosA，则有cosA=（b²+c²-a²）/2bc，∴sinA={[（a²+b²+c²）²-2（a**4+b**4+c**4）]/（2bc）²}**（1/2），又∵三角形面积公式：S=（1/2）×bcsinA=（1/4）[（a²+b²+c²）²-2（a**4+b**4+c**4）]**（1/2）（与角度A无关），又（a²+b²+c²）²-2（a**4+b**4+c**4）=b²c²-2abc²+a²c²-（b**4+a**4-2a²b²）+a²c²+b²c²+2abc²-c**4（配方）=c²（b-a）²-c**4-（b+a）²（b-a）²+c²（b+a）²（分解因式）=[（b-a）²-c²][c²-（b+a）²]（提公因式）={[（a+b+c）/2][（a+b+c）/2-c][（b+c+a）/2-b][（a+c+b）/2-a]}**（1/2），载再令p=（a+b+c）/2，就得到海伦公式：s=[p（p-a）（p-b）（p-c）]**（1/2），有了此公式，再利用不等式，问题就可以解决了。需要知道的一个不等式：（a+b+c）**（3/27）≥abc（a，b，c∈＋，当a=b=c时，取“=”），即S≤[3**（1/2）/36]p²，当p-a=p-b=p-c，即a=b=c时，取“=”S有最大值[3**（1/2）/36]L²
（2006全国卷一理科第11题） 用长度分别为2、3、4、5、6的5根细棒围成一个三角形，允许连接但不许折断，得到的三角形的最大面积是（B）。A、8×5**（1/2） B、6×10**（1/2） C、3×55**（1/2） D、20
分析：首先这几个整数成公差为1的等差数列，和为20。现要把这5个数任意分3组，然后围成三角形，最后找出这些三角形面积最大的一个。
如果真的去分组再比较，时间上显然不够！这时就要建立数学模型了，并且能够转化为数学。把离散组合，转化为连续的数学。
上面研究过，正三角形面积最大，并且由S=S（x）max（此时为等腰三角形）=（1/4）x（L²-2Lx）**（1/2）（0＜x＜L/2）的函数图像可知，x在区间（0，L/3）为增函数，在（L/3，L/2）为减函数。∴当三角形周长固定时，越接近正三角形面积越大！20÷3≈6.6667，显然这里的5个数是组不成6.6667的，只能退而求其次了，我们猜出：2+5、3+4、6的组合时最接近正三角形的，∴它的面积最大。经过计算就知道结果了，选B。
根据这种经验，是否可以数学归纳，提出猜想1：在平面内曲线周长固定时，围成的n边形中，圆的面积最大！猜想2：在平面内曲线周长固定时，围成的n边形中，正n边形的面积最大！
事实上，第一个猜想是正确的，不过需要变分法来处理。同样需要微积分来研究，不过是高等微积分了。
相似三角形：
1、相似三角形的概念：（1）对应边成比例、对应角相等的两个三角形叫相似三角形。（2）如果a、b、c三个量连成比例即a∶b=b∶c，b叫做a和c的比例中项。2、相似三角形的性质：（1）相似三角形对应边的比叫做相似比。（2）相似三角形的周长等于相似比，面积等于相似比的平方。（3）相似三角形的对应线段（角平分线、中线、高）之比等于相似比。3、相关推理条件：（1）两个三角形全等→两个三角形相似。（2）相似三角形每条边的比例关系可以在比例式与等积式互换，且互换过程中等量关系不变。
相似三角形的判定：
如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似（简称：三边对应成比例的两个三角形相似），用字母表示为SSS。
如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似（简称：两边对应成比例且其夹角相等的两个三角形相似），用字母表示为SAS。
如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似（简称：两角对应相等的两个三角形相似），用字母表示为AA。
如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个三角形相似。用字母表示为HL。
等腰三角形的性质：
1、两底角相等。2、两条腰相等。3、顶角的角平分线、底边上的中线、底边上的高重合（简称：三线合一）。
等要三角形的判定：
1、等角对等边。2、两底角相等。（巧用：在特定题目中，等腰三角形、平行、角平分线这三量，知二可推一。）
等边三角形的性质：
1、顶角的角平分线、底边上的中线和底边上的高重合（简称：三线合一）。2、等边三角形的各角都相等，并且都等于60°。3、四心重合（重心、垂心、外心、内心）。
等边三角形的判定：
1、三个内角或三个对应位置的外角都相等的三角形是等边三角形。2、有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。
等边三角形的推理条件：
一个三角形每个角都相等可推出这个三角形每条边相等，一个三角形每条边相等可推出这个三角形每个角都相等。
三角形面积公式：
1、S△=1/2×ah（a是底，h是高）。
2、S△=1/2acsinB=1/2bcsinA=1/2absinC（三个角为∠A、∠B、∠C，对边分别为a，b，c，参见三角函数）。
3、S△=根号[p（p-a）（p-b）（p-c）]，其中p=1/2（a+b+c）（海伦秦九韶公式）。
4、S△=abc/（4R）（R是外接圆半径）。的顺序从右上角开始取
5、S△=[（a+b+c）r]/2（r是内切圆半径）。
6、|ab1|S△1/2|cd1||ef1|[|ab1|S△=1/2|cd1||ef1|[|ab1|……|cd1|……|ef1|为三阶行列式，此三角形ABC在平面直角坐标系内A（a，b），B（c，d），C（e，f），这里三角形ABC最好按逆时针顺序从右上角开始取，∵这样取得的结果一般都为正值，如果不按这个规则取，可能会得到负值，但只要取绝对值就可以了，不会影响三角形面积的大小]。
7、S△=c²sinAsin²B/2sin（A+B）
8、S正△=[（根号3）/4]a²（正三角形的面积公式，a是三角形边长）；[海伦公式（3）特殊情况]。
三角形定理：
中位线定理：三角形的中位线平行与第三边且等于第三边的一半。推论：经过三角形一边中点且平行于另一边的直线，必平分第三边。
中线定理：三角形一条中线两侧所对边平方和等于底边的一半平方与该边中线平方和的2倍。
射影定理：在任何一个Rt△中，做出斜边上的高，则斜边上的高的平方等于高所在斜边上的点到不是两直角边垂足的另外两定点的线段的长度的乘积。几何语言：若△ABC满足∠ABC=90°，作BD⊥AC，则BD²=AD×DC。扩展：若△ABC满足∠ABC=90°，作BD⊥AC。（1）AB²=AD×AC（2）BC²=CD×AC（3）AB×BC=AC×BD。
梅涅劳斯定理：如果一条直线与△ABC的三边AB、BC、CA或其延长线交于F、D、E点，那么（AF/FB）×（BD/DC）×（CE/EA）=1。证明：过点A作AG∥BG交DF的延长线于G，则AF/FB=AG/BD，BD/DC=BD/DC，CE/EA=DC/AG，三式相乘得AF/FB×BD/DC×CE/EA=AG/BD×DC×DC/AG=1。它的逆定理也成立：若有三点F、D、E分别在边AB、BC、CA或其延长线上，且满足（AF/FB）×（BD/DC）×（CE/EA）=1，则F、D、E三点共线。利用这个逆定理，可以判断三点共线。
莫利定理：将三角形的三个内角三等分，某紧靠边的两条三分角线相交的到一个交点可以构成一个正三角形，这个三角形常被称作莫利正三角形。
三角形的重要线段：
中线：顶点与对边中线的连线，平分三角形的面积。
高：从三角形的一个顶点（三角形任意两条边的交点）向其对边所做的垂线段（顶点至对边垂足间的线段），叫做三角形的高。
角平分线：平分三角形其中的一个角的线段叫做三角形的角平分线，它到两边的距离相等（注：一个角的平分线是射线，平分线的所在直线是这个角的对称轴）。
中线：任意两边中点的连线。
三角函数：
三角函数是基础函数、初等函数和高等函数中的超越函数的一类函数。基础函数中三角函数局限于锐角三角函数，本质是三角形的边角关系。初等三角函数和高等三角函数局限于任意角的三角函数，它们的本质是任意角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射。通常的三角函数是在平面直角坐标系中定义的，其定义域为实数域，另一种定义是在直角三角形中，但并不完全是。传统数学把它们描述成各类锐角三角函数名称的列举及其特殊角度的值。现代数学把它们描述成无限数列的极限和微分方程的解，将其定义扩展到负数系。它由于三角函数的周期性，它并不具有单值函数意义上的反函数，但有特殊的反三角函数（如arsin），三角函数在复数中有较为重要的作用。在物理中，三角函数也是常用的工具。
三角函数种类：
包含六种基本函数：正弦（sin）、余弦（cos）、正切（tan）、余切（cot）、正割（sec）、余割（csc）。
锐角三角函数：
在Rt△中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，∠C为直角。则有以下公式：
sinA=∠A的对边/斜边，sinA记为∠A的正弦。cosA=∠A的邻边/斜边，cosA记为∠A的余弦。cosA=∠A的对边/∠B的对边，cosA记为∠A的正切。当∠A为锐角时，sinA、cosA、tanA统称锐角三角函数。sinA=cosB，sinB=cosA。
特殊角的三角函数值：
0° 30° 45° 60° 90°
sinα 0 1/2 根号2/2 根号3/2 1
cosα 1 根号3/2 根号2/2 1/2 0
tanα 0 根号3/2 1 根号3 ∅
cotα ∅ 根号3 1 根号3/3 0
生活中三角形的物品：
在生活中，三角形物品主要包括雨伞、彩旗、灯罩等。
倾斜角和斜率：
直线的倾斜角的概念：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的α叫做直线的倾斜角。特别的，当直线l与x轴平行或重合时，规定α=0°。
倾斜角的范围：0°≤α＜180°。当直线l与x轴垂直时，α=90°。
直线的斜率：一条直线的倾斜角α（α≠90°）的正切值叫做这条直线的斜率，斜率通常用字母k表示，也就是k=tanα。
（1）当直线l与x轴平行或重合时，α=0°，k=tan0°=0；（2）当直线l与x轴垂直时，α=90°，k不存在。
由此可知，一条直线l的倾斜角α一定存在，但是斜率k不一定存在。
直线的斜率公式：给定两点P1（x1，y1）P（x2，y2），x1≠x2，用两点坐标来表示直线P1P2的斜率：k=（y2-y1）/（x2-x1）。
两条直线的相交、平行与垂直：
将两个一般式方程（参见直线的一般式方程）建立成一个二元一次方程组，这个方程组的解的坐标就是两条直线的交点。和一次函数与二元一次方程组的关系差不多。
两条直线都有斜率而且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之如果它们的斜率相等，那么它们平行，即l1∥l2←→k1=k2（充要条件）。
注意：上面的等价是在两条直线不重合且斜率存在的前提下才成立的，缺少这个前提，结论不成立，即如果k1=k2，那么一定l1∥l2。
两条直线都有斜率，如果它们互相垂直，那么它们的斜率互为负倒数；反之，如果他们的斜率互为负倒数，那么它们互相垂直，即k1k2=-1←→l1⊥l2（充要条件）。
直线的方程：
1、直线的点斜式方程：直线l经过点Po（xo，yo），且斜率为k，则有：y-yo=k（x-xo）。
2、直线的截斜式方程：已知直线l的斜率为k（k≠0），且与y轴的交点为（0，b），则有：y=kx+b。
3、直线的两点式方程：已知两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），其中x1≠x2，y1≠y2，则有：y-y1/y-y2=x-x1/x-x2。
4、直线的一般式方程：关于x，y的二元一次方程（A，B不同时为0），则有Ax+By+C=0。
与直线方程有关的距离公式：
1、两点间的距离公式：P1P2=根号[（y2-y1）²+（x2-x1）²]。
2、点到直线距离公式：点P（xo，yo）到直线Ax+By+C=0的距离为：d=|Axo+Byo+C|/根号（A²+B²）。
3、两平行线距离公式：已知两条平行的直线l1和l2的一般式方程为l1：Ax+By+C1=0，l2：Ax+By+C2=0，则l1与l2的距离为d=|C1-C2|/根号（A²+B²）。
长方形的定义：
有一个角是直角的平行四边形叫做长方形，又叫矩形。
长方形长于宽的定义：
第一种意见：长方形长的那条边叫长，短的那条边叫宽。
第二种意见：和水平面同方向的叫做长，反之就叫宽。长方形的长和宽是相对的，不能绝对的说“长比宽长”，但习惯的，更服从于第一种意见。
长方形的性质：
两条对角线相等、两条对角线互相平分、两组对边分别平行、两组对边分别平行且相等、四个角都是直角、有2条对称轴。
矩形的判定：
根据长方型定义判定、对角线相等的平行四边形是矩形、临边互相垂直的平行四边形是矩形、有三个角的平行四边形是矩形、对角线相等且互相平分的四边形是矩形。
矩形的判定延伸：
方法一：在平行四边形ABCD中，∠BAD=90°或BD=AC，∴平行四边形ABCD为矩形。
方法二：在四边形ABCD中，∠ABC=∠BCD=∠CAD=90°，∴四边形ABCD为矩形。
长方形面积公式：
S=ab（S表示面积，a表示长，b表示宽）。
长方形周长公式：
C=2（a+b）或C=2a+2b（C表示周长，a表示长，b表示宽）。
四边中点：
顺次连接举行个边中点得到的四边形式菱形。
正方形简介：
在平面几何学中，正方形是具有四条相等的边和四个相等的多边形。正方形是正多边形的一种，即正四边形。
正方形定义：
正方形是平行四边形的一种，同时也具有菱形和矩形的范畴，具有菱形和矩形的所有性质：有一组邻边且相等的矩形是正方形、有一组邻边相等的矩形是正方形、有一个角是直角的菱形是正方形。
正方形的性质：
1、边：两组对边分别平行，四条边都相等，临边互相垂直。
2、内角：四个角都是90°。
3、对角线：对角线互相垂直；对角线相等且互相平分，每条对角线平分一组对角。
4、对称性：既是中心对称图形，又是轴对称图形，有4条对称轴。
5、正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质。
6、特殊性质：正方形的一条对角线把正方形分成两个等腰直角三角形，对角线与边的夹角是45°。
7、在正方形里画一个最大的圆，该圆的面积约是正方形面积的78.5%；正方形外接圆面积约是正方形面积的157%。
正方形的判定：
对角线相等的菱形是正方形。有一个角是直角的菱形是正方形。对角线互相垂直的矩形是正方形。一组邻边相等的矩形是正方形。一组临边相等且有一个角是直角的四边形是正方形。对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形。对角线互相垂直，平分且相等的四边形是正方形。一组临边相等，有三个角是直角的四边形是正方形。既是菱形又是矩形的四边形是正方形。
正方形计算公式：
若S为正方形的面积，C为正方形的周长，a为对角线的边长，则有面积计算公式：S=a×a，或a²（a的2次方或a的平方），或S=对角线×对角线÷2；周长计算公式：C=4a。
梯形的定义：
梯形是指一组对边平行而另一组对边不平行的四边形。平行的两边叫作梯形的底边，其中长边叫下底，短边叫上底；也可以单纯的认为上面的一条叫上底，下面的一条叫下底。不平行的两边叫作腰；夹在两底之间的垂线段叫作梯形的高。一腰垂直于底的梯形叫直角梯形，两腰相等的梯形叫等腰梯形。与等腰三角形判定方法类似。
梯形的性质：
梯形的上下两底平行。梯形的中位线（两腰中点相连的线）平行与两底并且等于上下底和的一半。
梯形的判定：
一组对边平行、另一组对边不平行的四边形是梯形。一组对边平行且不相等的四边形是梯形。
梯形常用辅助线：
做高（根据题目实际确定）；平移一腰；平移对角线；延长两腰交于一点；取一腰中点，另一腰两端点连接并延长；取两底中点，过一底中点作两腰的平行线。
等腰梯形的性质：
等腰梯形的两腰相等。等腰梯形在同一底上的两个底角相等。等腰梯形的两条对角线相等。等腰梯形是轴对称图形，对称轴是上下底中点的连线所在直线（过两底中点的直线）。
等腰梯形的判定：
两腰相等的梯形是等腰梯形。同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形。对角线相等的梯形是等腰梯形。
直角梯形简介：
定义：一腰垂直于底的梯形是直角梯形。性质：直角梯形有两个角是直角。判定：有一个内角是直角的梯形是直角梯形。
梯形周长和面积公式：
梯形的周长公式：上底+下底+腰+腰，用字母表示：a+b+c+d。等腰梯形的周长公式：上底+下底+2×腰。
梯形的面积公式：（上底+下底）×高÷2，用字母表示S=（a+b）×h÷2。变形1：h=2S÷（a+b）；变形2：a=2S÷h-b；变形3：b=2S÷h-a。另一梯形的面积计算公式：中位线×高，用字母表示：L×h。对角线互相垂直的梯形面积为：对角线×对角线÷2。
圆的定义：
圆是一种几何图形。当一条线段围绕着它的一个端点在平面内旋转一周时，它的另一个端点的轨迹叫做圆。
与圆有关的概念：
1、到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆。2、连接圆心和圆上的任意一点的线段叫做半径。3、通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径。4、连接圆上任意两点的线段叫做弦，最长的弦是直径。5、圆上任意两点间的部分叫做弧，大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧叫做劣弧，半圆既不是优弧也不是劣弧。6、由两条半径和一条弧围成的图形叫做扇形。7、顶点在圆心上的叫圆心角。8、顶点在圆周上，且与它的两边分别有另一个交点的角叫做圆周角。9、圆周长度与圆的直径长度的比值叫做圆周率，用π表示，一般取3.14。
圆有关的计算公式：
圆的周长：C=2πr=πd。圆的面积：S=πr²。弧长：L=nπr/180。扇形面积：S=（nπR²）/360=Lr/2。
圆与点的位置关系：
P在圆O外，则PO＞r。P在圆O上，则PO=r。P在圆PO内，0＜PO＜r。
证明：以点A为圆心画一个矩形ABCD。根据矩形的定义，AB较短，AD较长，∴AB为宽，AD为长。又已知点A在圆心上，B又连A，且满足AB＜AD，∴AB＜r，AD=r，AC连成的线是对角线，斜边＞直角边，∴点C在圆外。由此可知，与圆心重合、连接于圆心且为宽的另一个点重合，且不在圆上，反之这个点在圆上，与圆心不相邻的点在圆外。
圆与直线的位置关系：
（1）直线和圆无公共点，称相离。AB与圆O相离。这个关系的线没有定义（不能说成离线）。PO＞r。
（2）直线和圆有两个公共点，称相交，这条直线叫做圆的割线（不能说成交线），AB与圆O相交，O＜r＜PO。
（3）直线和圆有一个公共点，称相切，这条直线叫做圆的切线，这个唯一的公共点叫做切点。AB与圆O相切，PO=r。
证明：在圆内画一个半径r，在圆外做一条直线l，与点O作一个垂线段。设这条垂线段长度为d的话，如果用d表示直线到圆心的距离，得到d＞r。如果把直线d移到圆上，圆心到直线的距离恰好等于半径的长度，得到d=r。如果把直线移到圆内，此时连接的线段的垂足与圆相离，得到d＜r。
公切线：与多个圆同时相切的切线叫做公切线。公切线分为内公切线和外公切线。在两圆里面的公切线是内公切线（绝对在两圆的左右中间），在两圆外面的公切线是外公切线（在两圆的上边或下边）。如果有三个圆，那么没有内公切线，但有外公切线；以此类推。
平面内，直线Ax+By+C=0与圆x²+y²+Dx+Ey+F=0的位置关系判断的一般方法是：
方法一：由Ax+By+C=0，可得y=（-C-Ax）/B（B≠0），带入x²+y²+Dx+Ey+F=0，即成为一个关于x的方程：如果b²-4ac＞0，则圆与直线有2个交点，即圆与直线相割。如果b²-4ac=0，则有1个交点，即圆与直线相切。如果b²-4ac＜0，则圆与直线有0个交点，即圆与直线相离。
方法二：如果B=0即直线AX+C=0，即x=-C/A，它平行于y轴，将x²+y²+Dx+Ey+F=0化为（x-a）²+（y-b）²=r²。令y=b，求出此时的两个值x1、x2，并且规定x1＜x2，那么：当x=-C/A＜x1或x=-C/A＞x2时，直线与圆相离；当x1＜x=-C/A＜x2，直线与圆相交。
圆与圆的位置关系：
（1）无公共点，一圆在另一圆之外叫外离，在之内叫内含。（2）有唯一公共点的，一圆之外叫外切，在之内叫内切。（3）有两个公共点的叫相交。两圆圆心之间的距离叫做圆心距。
设大圆半径为R，小圆半径为r，且R＞r，圆心距为d，则结论：外切：d=R+r，内切：d=R-r；外离：d＞R+r；内含：d＜R-r；相交：R-r＜d＜R+r。证明如下：
外切：连接大圆圆心O和小圆圆心o作线段d，它这个圆心的距离d相当于大圆中的半径R，小圆中半径的r，合起来就是d=R+r。
内切：直线d与半径R作垂线时，最右端与圆相离，可以在画一个以该点为圆心且两圆弧内切的一个小圆，在做一个小圆的半径d，直线恰好补到大圆的圆弧上，可知d=R-r。
外离：当大圆内做一个互相垂直的另一个半径R，小圆内做一个互相垂直的另一个半径r后，中间还可以连接一个直线d，合起来就是d＞R+r。
内含：在大圆上作一个同心圆。大圆的半径用R表示，小圆的半径用r表示。假设位置关系R=R成立，那么R=d也成立。但由于小圆内作了两个互相垂直的半径r，把小圆圆心到大圆圆心间的d，大圆的圆弧与小圆的圆弧间的R隔开了。两者之间矛盾，故假设不成立。∴最后的结果是d＜R-r。
相交：将大圆圆心O与小圆圆心o连一条线段d。利用三角形定理，也就是两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，∴d大于R减去r，得到R-r＜d＜R+r。
圆的性质：
（1）圆具有旋转不变性。
（2）圆是轴对称图形，其对称轴是通过圆心的直线。圆也是中心对称图形，其对称中心是圆心。垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的2条弧。逆定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的2条弧。
（3）有关圆心角和圆周角的性质和定理在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两个圆周角，两组弧，两条弦，两条弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。直径所对的圆周角是直角。90°的圆周角所对的弦是直径，如果一条弧的长是另一条弧的2倍，那么其所对的圆周角和圆心角是另一条弧的2倍。
有关外接圆和内接圆的性质和定理：
1、一个三角形有唯一确定的外切圆和内切圆。外接圆圆心是三角形各边垂直平分线的交点，到三角形三个顶点的距离相等。
2、内切圆的圆心是三角形各内角平分线的交点，到三角形三边距离相等。
3、R=2S△÷L（R：内切圆半径，S：三角形面积，L：三角形周长）。
4、两相切圆的连心线过切点（连心线：两个圆相连的直线）。
5、圆O中的弦PQ的中点M，过点M任作两弦AB，CD，弦AD与BC分别交PQ于X，Y，则M为XY之中点。
6、如果两圆相交，那么连接直线两圆圆心的线段（直线也可）垂直平分公共弦。
7、圆心角的度数等于它所对的弧的度数。
8、圆周角的度数等于他所对的弧的度数的一半。
9、弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半。
10、圆内角的度数等于这个角所对的弧的度数之和的一半。
11、圆外角的度数等于这个角所截两段弧的度数之差的一半。
切线的性质：
经过切点垂直于过切点的半径的直线是圆的切线。经过切线垂直于切线的直线必经过圆心。圆的切线垂直于经过切点的半径。
与切线有关的定理：
切线是垂直于过点的半径的直线。经过半径的一端，并且垂直于这条半径的直线，是这个圆的切线。
切线的判定方法：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
切线长定理：从圆外一点到圆的两条切线的长相等，那点与圆心的连线评分切线的夹角。
切割线定理：圆的一条切线与一条割线相较于P点，切线相交于C点，割线交圆于AB两点，则有PC²=PA×PB。
切线定理与切割线定理相似。两条割线交于P点，割线m交于A1B1两点，割线n交于A2B2两点，则PA1×PB1=PA2×PB2。
圆的方程：
1、圆的标准方程：在平面直角坐标系中，以点O（a，b），以r为半径的圆的标准方程是（x-a）²+（y-b）²=r²。
2、圆的一般方程：把圆的标准方程展开、移项、合并同类项后，可得圆的一般方程是x²+y²+Dx+Ey+F=0（Dx+Ey-4F＞0）。其中和标准方程对比，其实D=-2a，E=-2b，F=a²+b²-r²。该圆圆心坐标为（-D/2，-E/2），半径r=0.5根号（D²+E²-4F）。
3、圆的参数方程：以点O（a，b）为圆心，以r为半径的圆的参数方程是x=a+r×cosθ，y=b+rsinθ（其中θ为参数）。
圆的端点式：若已知两点A（a1，b1），B（a2，b2）,则以线段AB为直径的圆的方程为（x-a1）（x-a2）+（y-b1）（y-b2）=0。
圆的离心率e=0，在圆上任意一点的曲率半径都是r。
经过圆x²+y²=r²上一点M（ao，bo）切线方程为aox+boy=r²。
在圆（x²+y²=r²）外一点M（ao，bo）引该圆的两条切线，且两切点为A，B，则A，B两点所在的直线方程也为aox+boy=r²。
菱形的概念 ：
在一个平面内，一组临边相等的平行四边形是菱形。对角线互相垂直的平行四边形是菱形。四条边都相等的四边形是菱形。
菱形的性质：
1、对角线互相垂直且平分，并且每条对角线平分一组对角。2、四条边都相等。3、对角相等，邻角互补。4、菱形既是轴对称图形，对称轴是两条对角线所在直线，也是中心对称图形。5、在60°的菱形中，短对角线等于边长，长对角线是短对角线的根号3倍。6、菱形是特殊的平行四边形，它具备平行四边形的一切性质。
菱形的判定：
前提：在同一平面内。1、一组临边相等的平行四边形是菱形。2、四边相等的四边形是菱形。3、对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
依次连接四边形各边中点所得的四边形称为中点四边形。不管原四边形的形状怎样改变，中点的四边形始终是平行四边形。菱形的中点四边形是矩形。
菱形是在平行四边形的前提下下定义的，首先他是平行四边形，但它是特殊的平行四边形，特殊之处就是“有一组邻边相等”，因而就增加了一些特殊的性质和不同于平行四边形的判定方法。
菱形面积：
1、S=底×高（菱形的面积等于底乘高）。（2）S=1/2（对角线×对角线）（菱形的面积也等于对角线乘积的一半）。3、设菱形的边长为a，一个夹角为θ，则面积公式是S=a²×sinθ。
计算机图形：
菱形必须一条对角线与x轴平行，与另一条对角线与y轴不平行。不满足此条件的几何学菱形在计算机图形上视作一般四边形。
一些图形的周长和面积、立体图形的表面积和体积：
圆锥的表面积：πr²+nπl（n是底面半径长度，l是高，π是圆周率）。
圆锥的体积：1/3πr²h（h是高）。
球的表面积：S=4πr²（这里是正球）。
球的体积：V=4/3πR³（V是体积，R是球的半径）。
椭圆的面积：S=πab（a，b分别是椭圆的长半轴，短半轴）。
椭圆的周长：L==T（r+R）（L是周长，T为椭圆系数）。
圆台的表面积：S=πr²+πr′2+πrl+πr′1。
棱锥的表面积：S=n×S侧（三角形）+S底（其中n为棱锥的棱条数，即侧面数）。
棱柱的表面积：S=LH+2S.。
圆台的体积：V=1/3πh（R²+r²+R+r）（r为顶面半径，R为底面半径，h为圆台高）。
棱锥的体积：V=1/3Sh。
棱柱的体积：V=Sh。
弓形的面积：S=πr²-S扇。
球的定义：
空间中到顶点的距离小于或等于所有点组成的图形叫做球。球是一个连续曲面的立体图形。世界上没有绝对的球，但在理论中存在。
球体的立体物：
指球体的体育用品，包括手球、篮球、足球等。
球的组成：
球的表面是一个曲面，这个曲面就是球面。求和圆类似，也有一个中心叫做球心。星体，特指“地球”。
球的基本概念：
半圆以它的直径为旋转轴，旋转所围成的曲面叫做球面。球面所围成的几何体叫做球体，简称球。半圆的圆心叫做球心。连接球心和球面上任意一点的线段叫做球的半径。连接球面上两点并且经过球心的线段叫作球的直径。
球的性质：
用平面去截一个球，截面是圆面。球的截面有以下性质：1、球心和截面圆心的连线垂直于截面。2、球心到截面的距离d与球的半径R及截面的半径r有下面的关系：r²=R²-d²。
球面被经过球心的平面截得的圆叫做大圆，被不经过球心的截面截得的圆叫做小圆。
在球面上，两点之间的最短连线长度，就是经过这两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度，我们把这个弧长叫做两点的球面的距离。
圆柱的定义：
以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆柱，即AG矩形的一条边为轴旋转360°所得的旋转体就是圆柱。其中AG叫做圆柱的轴，AG的长度叫做圆柱的高，所有平行于AG的线段叫做圆柱的母线，DA和D′G′旋转形成的两个圆叫做圆柱的底面。DD′旋转形成的曲面叫做圆柱的侧面。
在同一个平面内有一条定直线和一条动线，当这个平面围绕着这条定直线旋转一周时，这条动线所成的面叫做旋转面，这条定直线叫做旋转面的轴，这条动线叫做旋转面的母线。如果母线是和轴平行的一条直线，那么所生成的旋转面叫做圆柱面。如果用垂直与轴的两个平面去截圆柱面，那么两个截面和圆柱面围成的几何体叫做直圆柱，简称圆柱。
直圆柱：
直圆柱也叫正圆柱、圆柱，可以看成是以矩形的一边所在直线为轴、其余各边绕轴旋转而成的曲面所围成的几何体。
圆柱各部分的名称：
圆柱是两个完全相同的圆面叫做底面（分上地面和下底面）；圆柱有一个曲面，叫做侧面；两个底面的对应点之间的距离叫做高（有无数条高）。
圆柱的特征：
圆柱的两个底面都是圆，并且大小一样。两个面之间的距离叫做高，把圆柱的侧面打开，得到一个长方形，这个长方形就是圆柱底面的周长。
圆柱与圆锥的关系：
与圆柱等底等高的圆锥体积是圆柱体积的三分之一。
体积和高相等的圆锥与圆柱（等底等高）之间，圆锥的底面积是圆柱的三倍。
体积和底面积相等的圆锥与圆柱（等底等高）之间，圆锥的高是圆柱的三倍。
椭圆的第一定义：
平面内与两定点F1、F2的距离和等于常数2a（2a＞|F1F2|）的动点的轨迹叫做椭圆。即：|PF1|+|PF2|=2a。其中两定点F1、F2叫做椭圆的焦点，两焦点的距离|F1F2|=2c＜2a叫做椭圆的焦距。长轴长：|A1A2|=2a，|B1B2|=2b。
椭圆的第二定义：
平面上到定点F的距离到顶点直线的距离之比为常数e（椭圆的离心率，e=c/a）的点的集合（定点F不在直线上，该常数小于1的正数），其中定点F为椭圆的焦点，定直线称为椭圆的准线（该定直线的方程是x=±a²/c＜焦点在x轴上＞或y=±a²/c＜焦点在y轴上＞）。
椭圆的简单几何性质：
1、范围：一般来说，标准的椭圆位于直线x=±a和y=±b所围成的矩形里 2、对称性：关于x轴对称和y轴对称。3、顶点：（a，0）、（-a，0）、（0，b）、（0，-b）。4、离心率e=c/a。
切线与法线的几何性质：
定理1：设F1、F2为椭圆C的两个焦点，P为C上任意一点。若直线AB切椭圆C于点P，且A和B在直线位于P的两侧，则∠APF1=∠BPF2。
定理2：设F1、F2为椭圆C的两个焦点，P为C上任意一点，若直线AB为C在P点的法线，则AB平分∠F1PF2。
椭圆的标准方程：
高中课本在平面直角坐标系中，用方程描述了椭圆，椭圆的标准方程中的“标准”指的是中心在原点，对称轴为坐标轴。
椭圆的标准方程有两种，取决于焦点所在的对称轴：（1）焦点在x轴时，标准方程为x²/a²+y²/b²=1（a＞b＞0）。（2）焦点在y轴时，标准方程为y²/a²+x²/b²=1（a＞b＞0）。
其中a＞0，b＞0。a、b中较长者为椭圆长半轴长，较短者为短半轴长。椭圆有两条对称轴，对称轴被椭圆所截，有两条线段，它们的一半分别叫椭圆的长半轴和短半轴。当a＞b时，焦点在x轴上，焦距为2×（a²-b²）**0.5，焦距与长、短半轴的关系：b²=c²-a²，准线方程是x=a²/c和x=-a²/c，c为椭圆的半焦距。
如果中心在原点，但焦点的位置不明确在x轴或y轴时，方程可设为mx²+ny²=1（m＞0，n＞0，m≠n）。即标准方程的统一形式。
椭圆可以看做圆在某方向上的拉伸，它的参数方程是：x=acosθ，y=bsinθ。标准形式的椭圆在（xo，yo）点的切线就是xxo/a²+yyo/b²=1
椭圆的一般方程：Ax²+By²=C（A＞0，B＞0，且A≠B）。
椭圆的参数方程：x=acosθ，y=bsinθ。
椭圆的极坐标方程：一个焦点在极坐标系原点，另一个在θ=0的正方向上。r=a（1-e²）/（1-ecosθ）。e为椭圆的离心率。
椭圆的有关公式：
e=c/a（0＜e＜1），∵2a＞2c。离心率越大，椭圆越扁平；离心率越小，椭圆越接近于圆。椭圆的焦准距：椭圆的焦点与其相应准线（如焦点（c，0）与准线x=a²/c的距离为b²/c）。
椭圆焦半径公式：焦点在x轴上：|PF1|=a+ex，|PF2|=a-ex（F1，F2分别为左右焦点）。椭圆过右焦点的半径r=a-ex，过左焦点的半径r=a+ex。焦点在y轴上：|PF1|=a-ey，|PF2|=a+ey（F1，F2为上下焦点）。椭圆的通径：过焦点的垂直于x轴（或y轴）的直线与椭圆的两交点A，B之间的距离，数值：2b²/a。
椭圆的斜率公式：过椭圆上x²/a²+y²/b²=1上一点（x，y）的切线斜率为-（b²）x/（a²）y。
椭圆的曲率公式：K=ab[（b²-a²）（cosθ）²+a²]**（3/2）。
点与椭圆的位置关系：
设点M（xo，yo）椭圆的方程为x²/a²+y²/b²=1，那么有：点在椭圆内：xo²/a²+yo²/b²＜1；点在椭圆上：xo²/a²+yo²/b²=1；点在椭圆外：xo²/a²+yo²/b²＞1。
直线与椭圆的位置关系：
y=kx+m（1），x²a²+y²b²=1（2），由（1）（2）可推出x²/a²+（kx+m）²/b²=1，相切△=0；相离△＜0无交点；相交△＞0可利用弦长公式：A（x1，y1）B（x2，y2），|AB|=d=根号（1+k²）[（y1+y2）²-4x1×x2]。
椭圆参数方程的应用：
求解椭圆上点到定点或到顶点直线距离的最值时，用参数坐标可将问题转化为三角函数问题求解。x=a×cosβ，y=b×sinβ，a为长轴的一半。
椭圆相关性质：
由于平面截圆锥得到的图形是椭圆，∴它属于圆锥曲线。例如：有一个圆柱，被截得到一个截面，下面证明他是一个椭圆（用椭圆第一定义）：将两个半径与圆柱半径相等的半球从圆柱两端向中间挤压，它们碰到截面的时候停止，那么会得到两个公共点，显然它们是与球的切点。设两点为F1、F2，对于截面上任意一点P，过P做圆柱的母线Q1、Q2，与球、圆柱相切的大圆分别交于Q1、Q2，则PF1=PQ1，PF2=PQ2，∴PF1+PF2=Q1Q2，由椭圆第一定义知：截面是一个椭圆，且以F1、F2为焦点。用同样的方法，也可以证明圆锥的斜截面（不通过底面）为一个椭圆。
例：已知椭圆C：x²/a²+y²/b²=1（a＞b＞0）的离心率为根号6/3，短轴一个端点到右焦点的距离为根号3。问：（1）求椭圆的方程。（2）直线l：y=x+1与椭圆交于A，B两点，P为椭圆上一点，求△PAB面积的最大值。（3）在（2）的基础上求△AOB的面积。
解析：（1）分析短轴的端点到左右焦点的距离和为2a，端点到左右的距离相等（椭圆的定义），可知a=根号3，又c/a=根号6/3，代入得c=根号2，b=根号（a²-c²）=1，方程是x**2/3+y**2/1=1。
（2）要求面积，显然以ab作为三角形的底边，联立x**2/3+y**2/1=1，y=x+1解得x1=0，y1=1，x2=-1.5，y2=-0.5。利用弦长公式有[根号（1+k²）]（x2-x1）=2的立方根/2，对于P点面积最大，它到弦的距离应最大，假设已经找到P到弦的距离最大，过P作弦的平行线，可以发现这个平行线是椭圆的切线时才会最大，这个切线与弦平行，故斜率等于弦的斜率，设y=x+m，利用判别式等于0，求得m=2，-2。结合图形得m=-2，x=1.5，y=-0.5，P（1.5，-0.5）。
（3）直线方程x-y+1=0，利用点到直线的距离公式求得根号2/2，面积1/2×根号2/2×3根号2/2=3/4。
平面基本公理：
1、过相异两点，能做且只能做一条直线。2、一条有限线段可以无限延长。3、以任意点为圆心及任意的距离可以画圆。4、凡直角都彼此相等。5、同平面内一条直线和另外两条直线相交，若在某一侧的两个内角和小于二直角的和，则这二直线经过无限延长后在这一侧相交。
二面角的定义和常见物品：
二面角是指从一条直线出发的两个半平面所组成图形，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面。常见的二面角的物品有：铅笔盒、书、平板电脑等。
异面直线的定义：
不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。空间中两条位置关系有三种，即相交和平行，这两种情况的两条直线在同一平面内。另外一种情况就是不相交也不平行成为异面直线。
注意，以下关于异面直线的说法是错误的：1、分别在两个平面内的直线是异面直线。2、在空间内不相交的两条直线是异面直线。3、平面内的一条直线和平面外的一条直线是异面直线。
与立体图形相关的判定和性质：
平面与直线平行的判定：a不包含于α，b包含于α→a∥α。平面与直线平行的性质：a∥α，a包含于β，α∩β=b→a∥b。平面与平面平行的判定：a包含于α，b包含于α，a∩b=P，a∥β，b∥β→α∥β。平面与平面平行的性质：α∥β，α∩γ，β∩γ→a∥b。平面与直线垂直的判定：m包含于α，n包含于α，m∩n=P，a不包含于α，a⊥m，a⊥n→a⊥α。平面与直线垂直的性质：a⊥α，b⊥α→a∥b。平面与平面垂直的判定：a包含于α，b包含于α，l⊥a，l⊥b，a∩b=P，l包含于β→α⊥β。平面与平面垂直的性质：α⊥β，α∩β=a，l包含于β，l不包含于α，l⊥a→l⊥α。
例题：在如图所示的几何体中，面CDEF为正方形，面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AC=根号3，AB=2BC=2，AC⊥FB。（1）求证：AC⊥平面FBC。（2）求四面体FBCD的体积。（3）线段AC上是否存在点M，使得EA∥平面FDM？证明你的结论。
回答：（1）证：在△ABC中，∵AC=根号3，AB=2，BC=1。∴AC²+BC²=AB²。∴AC⊥BC。又∵AC⊥FB，BF∩CB=B，∴AC⊥平面FBC。
（2）∵AC⊥平面FBC，∴AC⊥FC。∵CD⊥FC，∴FC⊥平面ABCD。在Rt△ACB中，BC=1/2AB，∴∠CAB=30°，∴在等腰梯形ABCD中可得∠ABD=∠CDB=∠CBD=30°，∴CB=DC=1，∴FC=1，∴△BCD的面积S=1/2×1²×sin120°=根号3/4。∴四面体FBCD的面积为：V（F-BCD）=1/3FC=根号3/2。
（3）线段AC上存在点M，且M为中点时，有EA∥平面FDM，证明如下：连接CE与DF交于点N，连接MN。由CDEF为正方形，得N为CE中点。∴EA∥MN。∵MN包含于平面FDM，EA不包含于FDM，∴EA∥平面FDM，∴线段AC上存在点M，使得EA∥平面FDM成立。
第三十四章：封闭的多边形
概念：
又在同一平面内且不在同一条直线上的三条或三条以上的线段首尾顺次连接且不相交所组成的封闭图形叫做多边形。在不同平面上的多条线段首尾顺次连接且不相交组成的图形也叫多边形，是广义的多边形。
组成多边形的线段至少有3条，三角形是最简单的多边形，组成多边形的每一条线段叫做多边形的边；相邻的两条线段的公共端点叫做多边形的顶点；多边形相邻两边所成的角叫做多边形的内角；连接多边形的两个不相邻的顶点的线段叫做多边形的对角线。
多边形还可以分为正多边形和非正多边形。正多边形各边相等←→正多边形各角相等（充要条件）。
多边形也可以分为凸多边形和凹多边形，凸多边形可称为平面多边形，凹多边形又称空间多边形（此定理只适用于凸多边形，即平面多边形，空间多边形不适用），广义的多边形也包括五角星等。
多边形的定理：
n边形的内角和=180°×（n-2）。可逆用：n边形的边=（内角和÷180°）+2。
过n边形一个顶点有（n-3）条对角线。n边形共有n×（n-3）÷2条对角线。n变形过过一个顶点引出所有对角线后，把多边形分成n-2个三角形。
推论：1、任何凸多边形的外角和都等于360°。2、多边形对角线的计算公式：n边形的对角线的条数等于1/2×n（n-3）。3、在平面内，各边相等，各内角也都相等的多边形不一定叫做正多边形[两个条件必须同时满足，反例：矩形（各内角相等，各边不一定相等），菱形各边相等，各角不一定相等）]。
多边形外角和定理：
n边形外角和=n×180°-（n-2）×180°。
多边形的每个内角与它相邻的外角是邻补角，∴n边形内角和加外角和等于n×180°。
第三十五章：集合
集合讲义：
集合在数学上是一个基础概念。什么是基础概念？基础概念是不能用其他概念加以定义的概念，也不能被其他概念定义的概念。集合的概念，可通过直观、公理的方法下定义。
集合的定义：
集合是把人们直观的或思维中的某些确定的能够区分的对象集合在一起，使之成为一个整体，这一整体就是集合。组成一集合的那些对象成为这一集合的元素。
集合的公理：
外延公理：对于任意的集合S1和S2当且仅当对于任意的对象a，都有若a∈S1，则a∈S2，若a∈S2，则a∈S1。
无序集合存在公理：对于任意的对象a与b，都存在一个集合S，使得S恰好有2个元素，一个对象是a，一个对象是b，由外延公理，由它们组成的无序对集合是唯一的，记做{a，b} 。由于a，b是任意两个对象，它们可以相等，也可以不相等。当a=b时，{a，b} 可以记做域，并且称之为单元集合。
空集存在公理：存在一个集合，它没有任何元素。
集合的概念和与元素的关系：
一定的范围的，确定的，可以区别的事物，当作一个整体来看待，就叫做集合，简称集，其中各事物叫作集合的元素或简称元。集合与元素的关系有“属于”和“不属于”两种。
集合的分类：
并集：以属于A或属于B的元素为元素的集合称为A与B的并（集），记作A∪B（或B∪A），读作“A并B” （或“B并A”） ，即A∪B={x|x∈A，或x∈B} 。
交集：以属于A且属于B的元素为元素的集合称为 A与B的交（集），记作A∩B（或B∩A），读作“A交B”（或“B∩A”），即A∩B={x|x∈A，或x∈B}。
全集和补集：以不属于A但属于全集U的元素称为A是U的全（集），记作x∉A，但∈U，读作x∉A，x∈U（或“x∈U，x∉A”），如果用文字读读法和开头相同，如果结合符号读读作CuA是A的补（集）。有趣的说，就是不管多少，反正不是你有，就是我有。
无限集：集合里含有无限个元素的集合叫做无限集。
有限集：令N*是正整数的全体，且Nn={1，2，3，……，n}，如果存在一个正整数n，使得集合A与Nn一一对应，那么A叫作有限集合。
差：以属于A而不属于B的元素为元素的集合称为A与B的差（集）。
注意：空集也被认为是有限集合，包含于任何集合，但不能说：“空集属于任意集合”。
补集：属于全集U不属于集合A的元素组成的集合称为集合A的补集，记作CuA，即CuA={x∈U且∉A}。
说明一下：如果集合A的所有元素同时都是集合B的元素，则A称作是B的子集；如果集合A的所有元素同时都不是集合B的元素，则A称作不是B的子集。若A是B的子集，且A不等于B，则A称作是B的真子集；若A是B的子集，且A等于B，则A称作不是B的真子集。
集合的性质：
1、确定性：每个对象都能确定是集合的元素，没有确定性就不能构成集合，反之能构成集合。例如“一个小数”不能构成集合，“小数中的小数点”能构成集合。这个性质主要用于判断一个集合是否能形成集合。
2、互异性：集合中每个元素都是不同的对象。如{1，1，2}等同于{1，2}。但实际第一个集合的形式是错误的，第二个集合的形式是正确的。互异性是集合中的元素是没有重复，两个相同的对象在同一个集合中时，只能算作这集合中的一个元素，两个以上的对象同理。
