你真的喜欢数学吗（第一部分）

                                第一章：数的概念与运算

数的概念：

        什么是基础数学？基础数学是难度最简单，最初认识的数学。没有比它更容易理解的了，但同时也是打好初等数学的基础。数的概念就是基础数学中最初认识的知识点。

        在基础数学中，数的概念我们只涉及到非负数的内容。数可以分为整数、分数、小数。

        整数单独由数字本身构成，没有其他的元素，例如0、12，分别读作零，十二。反之在写的时候，只需把该汉字转化为对应的数字即可。以几分之几的形式表达的数就是分数，例如1/6，3/4。分别读作六分之一、四分之三。也就是说“/”表示分数线，分数线上面的数表示分子，分数线下面的数表时分母；读的时候和整数同理，只不过是先读分母再读分子，分数线放在中间，反之在写的时候也和整数同理，只不过和读时要把“分之”放在分子和分母两个数的中间。带有小数点的数是小数，例如7.3、26.52。分别读作七点三、二十六点五二。其中“.”是小数点，小数点左面是整数位，小数点右面是小数位。这就告诉了我们，在读的时候和整数同理，只不过先读整数位再读小数位；在读整数位时按整数的方法去读读到小数位时就必须一位一位读了，就对于上面所列举的26.52而言，读成二十六点五十二就是错的。反之在写的时候也和整数同理，即便有多个小数位也是没有问题的。在回答数的写法或读法时，开头一定要把“读作”或“写作”在开头标上。

        上面的几个数，除了分数以外，都涉及到了数位的问题。数位即每位数的位置；与数级不同的是，数位仅针对每位数，而数级却是至多4位数的合成。数级只有在整数位4位以上时才会涉及到，例如192834567，最右面的4位数4567是个级，中间的4位数9283是万级，1是亿级，读作一亿九千二百八十三万四千五百六十七，反之在写的时候只是把亿、万两字省略掉了。

        位数有限的小数叫有限小数，位数无限的一数叫循环小数，其中循环的那一部分是循环节，在写的时候，如果后面用省略号表示，要写2循环节，如果在循环节的开头和结尾各在上面标一个点，只需写1循环节，不过在读时必须读2个循环节。从小一数点后第一位开始循环的数是纯循环小数，例如0.1313……不从小一数点后第一位开始循环的一数是混循环小数，例如0.21313……

        在比较整数的时候，如果两个数位数不相同，可直接推断出位数多的那一位大，对于两个以上的数而言以此类推。如果两个位数相同，应该从最高位到最低位一位一位依次比较大小。在比较小数的时候，和整数同理，只不过是小数点不用管了。在比较分数时，当分母相同分子不同时，分子越大则这个分数越大；当分子相同分母不同时，分母越大则这个分数越小；当分子和分母都不同时需要通分或转化为小数比较（方法到数的运算时会进一步讲到）。

数的代表性、意义和基本性质：

        整数可以代表任意的量。小数的基本性质是在数字的小数位末尾加上多少个0，大小都不变。小数点每向左移动1位，数就扩大10倍；小数点向右移动1位，数就缩小10倍；以此类推。分数代表把几份量分成其中的几份量。例如3/7表示把1份平均分成，7份，取其中的3份。小于1的数是真分数，等于1和大于1的数是假分数，这个可以用分数与除法来证明。上面列举的数就是真分数，4/4和8/7就是其中的一例。等于1的分数取的是平均份数中所有的份数，而大于1的分数就无法用份量来表示了，因为它分出的份量超出了指定所分的份量。由整数和小数部分构成的分数是带分数，不过前提是分数部分为真分数，因为带分数的份量是由全部的份量与一个部分的份量构成的。如果带分数的分数部分是假分数，那么这个分数就没有意义了。0可以作分数的分子，但不能作分母，因为0是一个空数。分数的基本性质是分子和分母同时乘或除以同一个数，大小都不变。

分数与除法：

分数可以化成整数，也可以化成小数，但不可能出现余数。其中分子是被除数，分数线是了除号，分母是除数，那么如果分子用a表示，分母用b表示，则a/b=a÷b。

基本算法：

        列算式及其算法有以下几种形式：1、分步算式：把整个算式分成几步来算。2、综合算式：把每个算式合一成一个算式进行运算。3、脱式计算：把原式一行一行的算出来。4、竖式计算：将算式竖向列出，进而得到结果。

        上述的几种列式方法中，所有方法都是万能的，唯独竖式计算不是能的。因为分步算式和综合算式都是横式，是要直接写出结果的。脱式计算是多步的，但它是遵循指定的运算法则来运算的，在运算的过程中，可以是一步一步算，也可以是合并的来算，甚至是巧算。竖式计算首先就要按一数位分步计算，其次顺序都是从右到左，从上到下，最后仅局限于整数和小数以及加减乘除。

        在运算的过程中，要先乘除再加减，有括号去括号。如果有多个括号，先去小括号，再去中括号，最后去大括号。

四则运算的验算：

        1、加法验算时，把两个加数进行交换，看和是否原来的和相等。2、减法验算时，把差和减数相加，看和是否等于被减数。3、乘法验算时，把两个乘数进行交换，看积是否与原来的积相等。4、除法运算时，如果能整除或除尽，就把商和除数相乘，看积是否等于被除数。如果有余数，就用余数加上商，再乘上除数，看结果是否等于被除数。

具体运算：

       对于整数的加减法，只需要一运算过程中一数位对齐即可，加法满十进一位，减法不够十退一位。对于多位一数乘以一位数，将一位一数多位一数的每一数相乘，所乘的一数位与积的数数位要对齐，满几十就进几就，多位数乘多位数只有用竖式才能算出来，先用个位数乘另一个多位数，再用十位乘另一个多位数，以此类推。由于数是十进制的，所以每次相乘得出的结果都要向左移动一位。接下来把所有的积相加，得到最终的结果。除法也要用竖式才能算出来，先用被除数的个位除以除数，如果不够除到位上看，以此类推，一直到能够除为止，下一部算这步的余数，同时把后面一位数落下来，进行下一步的试除，每一步试除同理，如果落下来后仍然除不开，除数直接上0，继续落被除数，直到又能除为止。对于小数的加减法，既要数位对齐，又要小数点对齐，因为小数点不对齐，数位也不可能对齐，先按整数的算法来算，再落小一数点，如果两个数的小数位的位数不同，就把缺的那几位用0补齐再进行运算。对于小数的乘法，先按整数乘法的法则去算，再根据原式小数点的位数，来确定结果的小数点从个位向左移动几位。对于小数的除法，先处理小数点，商的小数位有几位，被除数的小数点就向右移几位，再根据整数除法的法则进行运算，若到末尾不能整除则用0补被除一数并落下来继续除，直到除了为止，要是除不尽，只需求出循环节既可，不用再管余数。所有分数的分母相同的加减法叫同分母加减法，它在运算过程中分母不变，只需对分子进行加减，但要注意结果遇到能约分的要约分。至少有两个分数的分母不同的加减法叫异分母加减法，由于分数单位不同，所以要通分，化为同分母再计算。分数乘法分子乘分子，分母乘分母，这里建议在原式约分，不过要上下约，而不能左右约，分一数除法先取除一数的倒数转化为乘法才能进行运算。

        在约分时，取分子和分母的最大公因数，再同时除以这个最大公因数。在通分时，取每个数的分母的最小公倍数，接下来每个数都将分子和分母分别同时乘以括大的数。

        有些时候会遇到估算的问题。这时我们要知道什么是四舍五入，就是不满五就把该位不变，后面的所有位全舍去 ，但这并不代表这些数不存在了，而是化为了0。满五就向前进一位，前面若是9还要向前进，并且后面所有位都保留。一般情况下没有特别说明，这时计算只需要估一位就可以了，除非要连进。如果题目中给出了条件，你就要根据条件进行估算，让你估到哪位你就估到哪位。其中估到整数位就是估到个位。另外的，还有用估到几的方式问，这时就要看估到小数点后多少，观察数的小一数位的位数，确定最后面一位的名称，进而得到所估的位数。例如12.398估到整数位就是13.000，估到十分位就是12.400，估到0.001就是12.400。

运算律：

        加法交换律：a+b=b+a。加法结合律：a+b+c+d=（a+b）+（c+d）。乘法交换律：a×b=b×a。乘法结合律：a×b×c×d=（a×b）×（c×d）。乘法分配律：a×b±a×c=a×（b±c）。

循环小数化为分数：

        在分数与除法中，讲到的内容只适用于分数化为小数。可是在小数化为分数时，要是遇到了循环小数该怎么办呢？我们只以整数位为0为例。首先看是纯循环小数还是混循环小数。如果是纯循环小数，看循环节的位数，循环节有几位，分母就有几个9，分子照抄到分子上。如果是混循环小数，还是看循环节的位数，循环节有几位就有几个9，在看不循环的小数位有几个，有几位不循环就在最后一位9的后面添上几个0，分子为循环的部分减不循环部分的值。如果能约分的话要约分。例如0.1212……化成分数就是12/99=433，0.31212就是（12—3）/990=9/990=1/110。

相关证明：

我们都知道，余数小于除数；如果两个数乘积互为1，那么这两个数为倒数；0没有倒数；1的倒一数等它本身；假分数的倒数是大于1的真分数，大于1的真分数的倒数是假分数。那么这些结论该如何证明呢？证明过程如下。

假设A/B=C……D（B≠0），A为被除数，B为除数。C为商，D为余数，若D＞B—1，则D/B≥1，则D不是A/B的余数，与D是A、B的余数矛盾。则假设不成立，D应≤1，即余数≤除数—1，∴余数小于除数。

∵分数乘法约分时上下约分，又当被除数与除数相同时，商为1（不包含0）。且a/b=a÷b，∴如果两个数乘积互为1，那么这两个数为倒数。

假设b作为分母，a作为分子，那么分数与除法的关系就变成了b/a=b÷a。再假设a=0，b≠0，根据分数的意义可知，当分母不为0时有意义可以得出，该算式是没有意义的，那么回到原来的a/b=a÷b也没有意义，∴0没有倒数。

一个分数仅当分子和分母都相同时，它的值为1，而从形上看，倒数最明显的特点就是分子和分母上下颠倒，这样一来，得出的数还是原来的数，∴1的倒一数等它本身。

∵从形上看，真分数就是分子比分母小，大于1的假分数就是分子比分母大，∴假分数的倒数是大于1的真分数。

根据分数与除法的特征可知，大于1的真分数b＜a，假分数a＜b。∵b＜a和a＜b是相反的不等关系，∴大于1的真分数的倒数是假分数。

                            第二章：有趣的拆分

拆分的定义：

      把一个数分成几个数相加（或减、乘、除）的形式，就叫做拆分。在研究对象所分配的数量时，通常我们利用整数来拆成整数相加的形式，在研究计算的时候，我们利用数字凑整的方法进行拆分计算。

拆分的区别：

        拆分分为不同对象的拆分和相同对象的拆分。在不同对象的拆分中，我们只需思考数字拆几即可；而在相同对象的拆分中，不光要思考拆几，还要注意对象的组合顺序，不能有重复。

拆分的形式：

        把一个数拆成两个数，如果要求是两个整数，那么只要把这个数以内的所有数都列举出来，再用原数减去列举的数，就得到另一个所要拆的数。要是换成三个整数，就要先待定第一个数，用原数减去待定的书，再将结果对另两个数进行拆分。往上以此类推。

例题1：有5块巧克力，分给甲或甲和和乙，有相同的哪些分法？

        解：题目中既出现了甲，又出现了甲和乙，说明甲可以没有巧克力，但是乙必须有巧克力。那么只有甲可以分0块，而乙不能分0块。那么有以下的分法：甲0块乙5块、甲1块乙4块、甲2块乙3块，除了甲0块乙5块以外，其他的分发反着分也可以，但只能取其中的一种顺序。

例题2：有8块糖，分给小红、小黄、小绿，每人至少有2个，有多少种不同的分法？

        解：由于每人至少有2个，∴拆分的数不能小于2。假设小红有2块，那么小黄2块小绿4块，或小黄3块小绿3块，或小绿4块小黄3块；先假设小黄、小绿的数量都是可以的，但从下一步开始和第一种方法都是一样的。其中分的顺序既包含正着分，又包含反着分。

补数：

        如果两个数相加能凑整，也就是整十整百整千这样的数，那么这两个数就互为补数。在找补数时，先看两个数的位数，它的补数必然是位数比它大1且能凑整的数，换做是小数也是同理。不过分数的补数1，因为根据分数的代表性，1才能凑出分数的整体，所以一个分数的补数，是和等于1减去这个数所得的数。

数字凑整推广到算式：

        在第一章我们讲到了数的运算，那么现在能否用数字凑整的算法来运算呢？如果是整数，将每个数进行凑整拆分，再将每个数进行运算，小数、分数也是一样的，只要不是除法就可以（包括分数乘法）。

例题3：用凑整法计算：（1）21+12（2）3.4×4.3（3）7/9+1/11+2/9+4/11。

        解：（1）21+12=20+1+10+2=20+10+1+2=30+3=33（2）3.4×4.3=3+0.4×4+0.3=3+1.6+0.3=3+1.9=4.9（4）7/9+1/11+2/9+4/11=7/9+2/9+1/11+4/11=1+5/11=1又5/11。

                                第三章：错中求解

错中求解的意义：

提问：什么是错中求解？我们学错中求解有什么用？回答：在原题解决过程错误的情况下，进行适当的加以改正，得到正确的答案。互为逆向解题过程的思维叫逆向思维，错中求解就是一种，逆向解题过程。这也向我们诠释了为什么减法验算时用加法算，除法验算时用乘法算。

倒推法：这种解法的题目，原题会提到“把几看成了几。”这时先把“正确算式、错误算式”记上标记，下一步看知条件。“把几”中的那个数在正确算式中，“看成了几”那个数在错误算式中，定要注意题目中所给出的算式名称要与解答过程中记下的算式名称相对应。条件全了之后，利用这些条件在错误算式倒推记算，求出最前面的数。然后将其结果直接代到正确算式中，还是要注意算式的名称要相对应。最后计算正确算式，其中的结果就是错中求解结果。

根据数的倍数变化错中求解：

两个整数相加，如果正确的加数比错误的数大1，那么正确的和也比错误的数1。反之正确的加数比错误的加数小1，正确的和也比错误的和小1，这仅针对个位。要是换成十位，正确错误的关系就要扩大10倍，往再高位以此类推。两个整数相减，如果正确的被减数比错误的被减数大1，那么正确的差也比错误的差大1。反之正确的被减数比错误的被减数小1，正确的差也比错误的差小1，这也仅针对个位，要是换成十位，还是正确与错误的关系扩大10倍，每往上1位以此类推。如果正确的减数比错误的减数大1，那么正确的差比错误的差小1，反之同理，这还仅针对个位，要是换做十位，正确与错误的关系也扩大10倍，每往上以此类推。两个数相乘，如果正确的乘数比错误的乘数大1倍，那么正确的积就比错误的积大2，反之正确的乘数比错误的乘数小1倍，那么正确的积就比错误的积小2。前提是不能0。因为任何数乘以0都得0。这个从个位数开始就每扩大或缩小1个数以此类推的。由于有些除法除不开甚至除不尽，所以在这里除法我们不用去探究如何错求解了。

       小数的道理整数是一样的。但分数就行了，因为一个分数就包含分子和分母两个元素。

                            第四章：千奇百怪的速算

  速算的必要性：

        我们计算算式是为什么如此之慢？那是因为我们通常都用笨办法算，一看到不能直接算出来的就用笔算；而已但计算量大了之后就容易出错。这时速算就来帮忙了，只要你掌握了以下这些算式的算法，你的解体效率就会提高。当你熟练了之后，你能在第二秒内开始说出来，让别人觉得不可思议！

        我们在课内学速算时，都会从10以内的加减法、表内乘除法开始学起，接下来才开10以内的加减法，再开始学一些算式的速算。大家可能会想：这10以内的加减法、表内乘除法不用想都能回答出来，干嘛还先要学他们啊？其实先学这些类的算式，是为以后学正规的算式打基础，其中里面的步骤不是有乘除就是有加减。

速算的局限性：

不过，不是所有的算式都是能用速算来解决的。它只能解决一些普通、简短的加减乘除，当计算量再大一点，或是算式再复杂一点，这时速算就不再管用了。因为不同算式有不同算法，或说是对应法则。例如12+12就可以速算，但1.2a+1.2a就不行了。

怎样速算：

十几乘十几：百位数落1，两个乘数的个位相加放十位，两个乘数的个位相乘放十位，满几十向前进百味进一位。例如17×18，1×1=1放百位，7+8=15放十位，由于满十，要向百位进1，7×8=56放个位，由于满五十，要向十位进5，这样一来结果就是306。

几十一乘几十一：两个乘数的十位和十位相乘放百位，如果得出的是两位，其中十位作为积的千位，个位作为积的百位相加放十位，满十向百位进一。个位数1×1直接落到个位。例如51×61,5×6=30中的3放积的千位，0放积的百位，5+6=11，十位满十向百位进一，1×1=1放个位。这样一来结果就是3111。

乘数十位相同，个位互补：乘数的十位加1再乘上它本身放前面，个位与个位相乘放后面，小于10则十位用0补。这时千万别敢想进位。例如41×49。4×4=16放千位和百位，1×9=9放个位，十位空下补0，这样一来结果就是1609。

乘数个位相同，十位相同：这时千万别敢想加1。两个十位相乘再加乘数的个位，放在前面。个位乘个位放在后面,不够十用0补。这里也没有进位。例如82×88。8×8＋8=72放千位和百位，2×8=16放十位和个位。这样一来结果就是7216。

一百零几乘一百零几：被乘数加上乘数的个位放前面，两个乘数的个位和个位相乘放后面，不够10的话十位上用0补。例如108×103。108+3=111放在万位、千位、十位，8×3=24放在十位和个位。这样一来结果就是11124。

几个1乘几个1：可以看成几个1的平方。这时只剩1处几个1了，也不必考虑平方。有几个1，最中间就是几，接下来左右一对中都每往外一位递减1，一直递减到1为止。不过前提是，1的个数必须在2个到9个之间。例如，11111×11111。相当于11111的平方，这个数有5个1，那么中间就是5，每往左、往右都是按4,3,2,1开始递减的。这样一来结果就是123454321。

多个9乘1位数：原式有几个9，结果里就有几个9再减1个9，位置放在中间，再用那1位一数乘9放两边。例如9999×9。9999中有4个9，那积的中间就有4-1=3个9，9×9=81放两边。这样一来结果就是89991。

几个9乘几个9：可以看成几个9的平方。这是只剩1处处理几个9了，平方不必考虑。有几个9，就从几个9删掉1个9放在最前面，后面任何情况下都是801。例如999999×999999。999999中有6个9，那么删掉1个9还剩5个9，全放前面，百位、十位、个位分别落下8、0、1。这样一来结果就是99999801。

任意数乘11：任意数的最高位落到积的最高位，个位落到积的个位，相邻两数相加把和放中间，同时还要根据哪个相邻两数放在中间的哪位，满十进一位。例如357×11。3是最高位，积的最高位就是3，7是个位，积的个位就是7，3+5=8放在3的后一位，5+7=15，5放在3的后一位，进位后8变成9。这样一来结果就是3857。

相同的两个九十几相乘：找乘数的补数并减去补数，放在千位和百位，补数乘补数放在十位和个位，十位不够10用0补。例如94×94。94的补数是6，94-6=88，放在千位和百位，6×6=36放在十位和个位。这样一来就是8836。

不同的两个九十几相乘：求出两个数的补数，再用原数减去另一个原数的补数，放在前面（反过来也可以），个位数乘个位数放后面，不够10用0补。例如92×96。92的补数是8，96的补数是4，92-4=88放前面，2×6=12放后面。这样一来结果就是8812。

任意两位偶数乘以51：将那个偶数除以2，再直接补上一个0。例如38×51。38÷2=19放前面，后面直接补上一个0。这样一来结果就是190。

前两位都是十几，个位数任意数：十几乘十几放前面，个位乘个位放后面。例如136×137。13×13=169放前面，6×7=42放后面。这样一来结果就是16942。

任意两位数相乘：十位数与十位数相乘放前面，内侧积（前面的个位数与后面的十位数的积）与外侧积（前面的十位与后面的个位的积）相加放中间，满几位进几位，个位乘个位放后面，也要考虑进位。例如72×39。7×3=21放前面，2×3+7×9=69，满6向前进6，2×9=18，满十向前进1。这样一来结果就是2808。

除数是2的除法：如果被除数是偶数，直接所有位数除2。如果是奇数，个位数减1再除2放个位，个位和小数位是点5，其余位数直接除2。例如131÷2。131是奇数，那么就（131-1）÷2=130÷2中5.5确定了，分别在个位和十分位，13也是奇数，那么十位就是（13-1）÷2=6也确定了。这样一来结果就是65.5。

除数是5的除法：被乘数乘2再除10。例如462÷5。462×2=924，924÷10=92.4，这样一来结果就是92.4。

除数是25的除法：被乘数乘4再除100.例如931÷25。931×2=2762，2762÷100=27.62，这样一来结果就是27.62。

除数是9的除法：最高位直接落下来，依次加后面一位，一直加到个十位数，然后直接个位数除9，最后将最高位和下面加的数合在一起减1并加上个位数的结果得到商。例如232101÷9。2落下来，2+3=5放2的后面一位，5+2=7放5的后面一位，7+1=8放8的后面一位，1+8=9放8后面的1位，257889-1=257888,（8+1）÷9=1，此时得到25788+1=25789。

任意三位数乘两位数：第一步：个位数乘个位数放最后面。第二步：个位与十位交叉相乘，乘积相加，有进位要进位，和放在第一步的积的前面。第三步：首位相乘，中间相乘，两个积相加，有进位要进位，和放在第二步的前面。第四步：首位相乘，有进位要加上。例如365×36。第一步：5×6=30，个位是0，向十位进3。第二步：6×6+5×3再加进位3得54，十位是4，向百位进5。第三步：6×3+3×6=36加进位5得41，百位是1向千位进4，个位是3。第四步：3×3加进位4得13，千位是3，万位是1。这样一来结果就是13140。

异分母且分母互质的加减法：分母乘分母得分母，两对分子与分母交叉相乘再根据加还是减确定两个乘积加还是减作为分子。最后能约分的要约分。例如4/7+2/5。5×7=35可得分母为35,7×2+4×5=34可得分子为34，这样一来结果就是34/35。

                                第五章：巧算简便和24点

基准数法：找出这个数的补数，这个数的补数就是与它能凑整的数。将这两个数合成一个加法，再利用凑整的数算出结果。例如92+20。92最接近凑成整百的数，那么92就可以拆分成100-8。原式将得到100-8+20，把整十和不整十的数分开，并带上前面的运算符号进一步得到100+20-8=112。

合并基准数：即便算式中有多个基准数，和上面所述的方法还是一样的，只是计算量相对大了一点。例如49+55+149+62。原式中有两个数后面都是49。此时找补数有2种方法，一种是找凑整的数，一种是找能被10整除的数。我们先看能凑整的数。如果凑整百的数，那么49的补数就是51，149的补数也是51，但这个数求的是200的补数，不能凑整百。∴第一种不可靠。再看第二种。49最接近且能被10整除的数就是50，而50+50=100，正好能凑整百。那么49可以拆成50-1，149可以拆成150-1。55离50也很接近，可以拆成50+5,62最接近60，可以拆成60+2。合并一起得50-1+150-1+50+5+60+2，把整十和不整十的分开，得到50+150+50+60-1-1+5+2=310-2+7。+7比-1好算，就把+7移到-2的前面，得到310+7-2=315。

有括号的加减法：如果括号内只有一个符号，同时括号内是加号，去掉括号不变号。反之括号内是减号，去掉括号之后变号。如果括号内有多个符号也是一样。例如9+99+999+9999。先利用基准数法将它变形为10-1-（100-1）+（1000-1）+（10000-1）。去括号后变为10-1+100-1+1000-1-10000-1，把凑整的数和1分开，变为10+100+1000+10000-1-1-1-1=11110-4=11106。

乘法分配律与基准数：如果算式中有一个数接近整百整千类的数，只需用基准数将它拆分，然后变形为乘法分配律的形式，最后按正常方法算出结果就可以了。例如98×12。98非常接近它的基准数100，那么我们可以把它拆分成100-2，12落下来，变形为乘法分配律后得到（100-2）×12=100×12-2×12，再接下来就是1200-24=1176。

找倍数关系：多个数的运算中如果有除法，那么就要从这些数中找到某种倍数关系，这样能保证能除开，也不会加大运算难度。例如900÷16÷8。900与16、8显然都是没有任何倍数关系的，这就说明从左往右除或把8和16调过来再除都是不可靠的。那么我们看看16和8有什么倍数关系，16是8的2倍。这就说明我们第一步可以先算16÷8=2。接下来我们又发现到900和2有倍数关系了，因为900和2都是偶数，900÷2=450。那这个算是的结果就是450。

移动小数点：有些乘法算式凑整不太直观，但你又不能改变人家的题目。怎样才能在不直观变为前提下，保证不会改变运算结果呢？这里就要涉及到小数点的移动。我们知道乘法与除法互为逆运算，小数除小数应该按相同方向移动小数点，那么反过来两个数相乘就是按相反的方向移动小数点。例如1.25×0.8，我们把1.25的小数点向右左移动一位变成0.125，0.8的小数点向右移动一位变成8。125×8=1000，可以凑成整千，后面有3个小数点，1000向左移动3个小数点，得到1。

商不变的规律：在除法里，被除数和除数同时扩大或缩小相同的倍数（0除外），商不变。考虑较小的那个数，乘上几倍或除以几倍能凑整。例如625÷25。我们验证一下25是否能被100整除。100÷25=4，说明25能被100整除。625中25在后面，说明它的4倍也是100的倍数。那么被除数和除数就同时扩大4倍，得到（625×4）÷（25×4）=2500÷100。被除数和除数中的两个0同时消去得到25÷1=25。

挖掘基准数：在小数连乘时，有些算是虽然能简便运算，但找不到已知条件，这时就要把隐藏的那个条件找出来，这个隐藏条件必是运算过程中能利用基准数法计算的数字。例如2×2.5×20。先看把哪个数拆分成几乘几可以和谁凑整。把2.5拆分成0.5×5的话，原式就变成了2×0.5×5×20，2与0.5可以凑整，5与20可以凑整，那么下一步就是1×100。这步就不必再讲了，1乘几谁都会算，结果是100。

分数连加：如果有一对分数结果为1，另一对分数同分母的和为真分数且不必约分，那么就可以进行简便运算。例如1/12+4/7+11/12+1/7。如果不用上面介绍的方法，而去通分来算的话，算起来是很麻烦的。这里可以利用加法交换律，把能凑成1和不能凑成1的分别合并到一起，得到1/12+11/12+4/7+1/7，下一步为1+5/7。到这一步也不要相加，因为这种方法还不是最简便的，最简便的还是直接合并到一起，得1又5/7。

巧算24点

         1、利用3×8=24、4×6=24求解。把牌面上的四个数想办法凑成3和8、4和6，再相乘求解。如3、3、6、10可组成（10-6÷）×3=24等。又如2、3、3、7可组成（7+3-2）×3=24等。实践证明，这种方法是利用率最大、命中率最高的一种方法。

        2、利用0、11的运算特性求解。如3、4、4、8可组成3×8+4-4=24等。又如4、5、J、K可组成11×（5-4）+13=24等。

        3、在所有解的牌组中，用的最为广泛的时以下六种解法（我们用a、b、c、d表示牌面上的4个数）：

        （1）（a-b）×（c+d）如（10-4）×（2+2）=24等。（2）（a+b）÷c×d如（10+2÷2）×4=24等.（3）（a-b÷c）×d如（3-2÷2）×12=24等。（4）（a+b-c）×d如（9+5-2）×2=24等。（5）a×b+c-d如11×3+1=10=24等。（6）（a-b）×c-d如（4-1）×6+6=24等。

例1：3388：解法8÷（3-8÷3）=24按第一种方法来算，我们有8就先找3，你可能会问这里并没有3，其实除以1/3，就是乘3。

例2:5551：解法5×（5-1÷5）这道题型比较特殊，5×1.5算是比较少见，一般的简便算法都是3×8，2×12，4×6，15+9，25-1，但5×1.5也是其中一种，一般情况下，先要看4张牌中是否有2，3，4，6，8，Q。如果有，考虑用乘法，将剩余的3个数凑成对应数。如有两个相同的6，8，Q，比如已有两个6，剩下的只要能凑成3，4，5都能算出24，已有两个8，剩下的只要能凑成2，3，4，已有两个Q，剩下的只要能凑成1，2，3都能算出24，比如（9，J，Q，Q）。如果没有2，3，4，6，8，Q，看是否能先把两个数凑成其中之一。总之，乘法是很重要的，24是30以下公因数最多的整数。

                            第六章：式与方程

用字母表示数：

        为了将数的概念进一步推广，这时就要用字母表示数。数代表它数字本身，而字母可以代表任何数。例如1就是1，但a可以表示任何数，换成A也是同理。只不过我们在研究用字母表示数时，习惯于用小写字母。在数学中，我们把一个字母定义为代数式，因为用字母表示数也可以是多个字母或数字相加减乘除合在一起的。

        不光是数，字母也有自己的符号。至少有一个数（字母）相加或相减的代数式，加减号必须写；至少有一个数（字母）相乘时，数子放在字母的后面的乘号不能省略，其余情况都可以省略；除法和加减法同理；如果有括号还需要综合考虑。例如a+5表示比a多5，6-b表示从6中少了b，cd表示c的d的倍，e/f表示把e平均分成f份。6（g-h）表示g-h的6倍。

        求代数式的值非常简单，只需题目中告诉你当哪个字母代表几时，你就把哪个数带入到对应的哪个字母进行运算。例如3（a+7），其中a=1，那么你把a=1带入到原始，直接求出结果，即当a=1时，原式=3×（1+7）=24。

等量关系：

        “等量关系”特指数量间的对等关系，是数量关系的一种。数学题目中含有多种等量关系，如果要用方程解答时，就需要找出题中的对等关系。

方程：

        含有未知数的等式叫方程。例如x+2=3就是方程。如果没有或不是等号的话，就不是方程了，即便有等号，等号任意一边也不能单独有未知数。例如2+3，3+x都不是方程，因为2+3里面没有未知数，3+x不是等式再例如3-2=x也不是方程，因为通过3-2的计算可以直接求出x的值，就体现不出“方程”这个词了。这就说明了方程一定是等式，但等式不一定是方程。

        一个方程中有几个未知数（多个相同字母只能代表一个未知数）就是几元方程，未知数最高次数是几（不考虑前面的倍数）就是几次方程。

        求方程的解的过程称为“解方程”。使含有未知数的等式成立的未知数的值称为“解”，到初三时应把“解”换成“根”。

        方程的性质有以下几种：1、两边同时加上或减去同一个数，原方程的解不变。2、两边乘上或除以同一个数（0除外），原方程的解不变。3、如果原方程有多项的话，在第2条的基础上，每项同时乘上或除以同一个数（0除外），原方程的解不变。4、在第2条的基础上，等号两边同时乘上相同的次方或开相同的奇数次方（最小为3），原方程不变。

 解方程的过程：

        1、已知数移到等号另一边，加变减，减变加，乘变除，除变乘。2、未知数移到等号另一边，正变负，负变正。

方程的解法：

一元一次方程：第一步去分母，第二步去括号，第三步移项，第四步合并同类项，第五步系数化为1。

二元一次方程：先待定任意一个未知数的解，再根据一元一次方程解。

一元二次方程：

方法一、直接开平方法：形如（a+x）**2=0的形式。第一步两边分别开平方，拆成两个等号右边互为相反数的一元一次方程方程；第二步把两个一元一次方程解出来。

方法二、配方法：形如ax**2+bx+c=0（a≠0）的形式。第一步把常数项移到等号右边并算出结果；第二步二次项系数化为1；第三步配平方，配一次项系数一半的平方；第四步整理成（a+x）**2=0的形式；第五步两边同时开方；到第五步时看判别式，如果△＜0回答“∵△＜0，∴原方程无实根。”到此为止，否则需要继续第六步；第六步把该方程拆成两个等号右面互为相反数的一元一次方程；第七步接着两个一元一次方程。

方法三、公式法：第一步化为一般式ax**2+bx+c=0（a≠0）。第二步确定判别式，计算△=b？-4ac。第三步若△＞0，该方程实数域内有两个不相等的实数根x=[-b±√△]/2a；若△=0，该方程在实数域内有两个相等的实数根x1=x2=-b/2a；若△＜0，该方程在实数域内无实数根，但在虚数域内解为x=-b±√（b**2-4ac）/2c。

方法四：因式分解法第一步化为一般式ax**2+bx+c=0（a≠0）；第二步将等号左边的代数式进行因式分解，如果能因式分解且等号右边为0，否则那么这个方程不能用因式分解法解；第三步：拆成两个等号右边都是0，等号左边两个不同被分解的因式的一元一次方程求解。这告诉了我们，因式分解法和直接平方法不是万能的，配方法和公式法才是万能的。

用方程解应用题的步骤：

第一步审题，第二步找等量关系，第三步设未知数，第四步解方程，第五步写答语。

                            第七章：比和比例

比的意义：

        比的意义是两个数相除又叫做两个数的比。比是有一个前项和后项组成的除法算式，只不过是把“÷”（除号）换成了（：）比号而已，但除法算式表示的是一种运算，而比则表示两个数的关系，和分数线类似。

        比号前面的数是前项，比号后面的数是后项，比的结果叫比值，可以是分数，也可以是小数。再广义一些，可以说比的项数有无数项，但是当比的项数超过了2个，每项的数和比号就没有定义了，但仍可以求出比值。比的任何一项都不能为0。例如3:2这个比是有意义的，但3:0这个比是无意义的。4:2中4是前项，2是后项。不过4:3:2不能说4是前项，3是中项，2是后项；也不能说4是3的前项，3是4的后项（2的前项），2是3的前项（后项）。

        例题：为什么我们生活中所说的比的任何一项都可以为0，而我们数学中的比的任何一项都不能为0？这告诉了我们什么道理？

        就举一个例子来说，甲和乙比台球，第一局甲得了0分，乙得了100分，说明甲没获得打进球的分，而乙打进了总共100分的球，这里的0和100都属于数量，而数学中的比的每一个数都属于份量。数量可以为0，但份量不能为0,。所以我们生活中所说的比的任何一项都可以为0，而我们数学中的比的任何一项都不能为0。这告诉了我们生活中所说的比与数学中的比的意义不同，一定要区分开。

比的基本性质：

        比的前项和后项同时乘上或除以同一个数（0除外），比值不变。化简比，是把一个比化到最简。

        例题：化简比18:8。

        解答：18与8的最大公因数是2，∴前项和后项同时除以2，得到（18÷2）：（8÷2）=9:4。

比的应用：

        关于比的应用题，考察的都是一个物品分量的配比问题。通过给出的总数量，以及比的大小，求出该物品中每个配比中的数量。这时有两种方法：第一种：用总数量去除以比中每项的总和，得到每份的数量。再用每份的数量去分别乘以比中的每个数，得到不同名称的配比的数量。

        例题：现有一瓶600mL的苹果梨混合果汁，苹果汁和梨汁的配比是10:6，问：苹果汁和梨汁分别有多少mL？

        解答：600÷（10+6）=37.5（mL），37.5×10=375（mL），37.5×6=225（mL），答：苹果汁有375mL，梨汁有225mL。

比例与比的区别与联系：

        比是除法关系的一种运算，而比例表达的是两个比之间的相等关系，两个还必须是两项的，例如3:2=6:4，但4:6=4×6就不是比例，因为它不符合两个比的相等关系，5=5也不是比例，因为等号两边不属于比。

我们为什么要学比例：

        因为我们学过了比的意义和等量关系的定义，就要综合起来探究除法关系与等量关系之间又有一种什么样的关系，比例又会涉及到哪些应用题。

比例的基本性质：

        内项之积等于外项之积。内项是指比例中等号左边的后项和等号右边的前项，外项是指比例中等号左边的前项和等号右边的后项。正因为“内项”与“外项”有2个词，而每个词都有且仅有2项，一共有4个项。为了不产生矛盾，才不允许比例中不能出现两项以上的一个比。

解比例：

        解比例是一种特殊的除法方程，以比例的形式出现的，需要解出比例的数叫未知数，通常用x表示。求比例中未知数的过程叫解比例。通过比例的基本性质可以求出比例的解，步骤如下：第一步内项与外项交叉相乘，第二步把交叉相乘得到的代数式和算式放到等号两边，第三步求出算式的乘积，第四步系数化为1。

比例尺：

        在绘制地图时，需要把实际距离按一定比缩小或扩大，再画在图纸上。这时，就要确定图上距离和相对应的实际距离的比。一幅图，图上距离与实际距离的比，叫做这幅图的比例尺。为了计算方便，通常都把比的前项或后项都设为1。

        解决比例尺的实际问题时，根据题目中的已知条件，进行区分哪些数表示图上距离，哪些数代表实际距离，这样解决问题就不难了。

        例题：一辆火车要从乌兰浩特市火车站出发，一直开往到长春火车站的终点站，中途需要经过420千米。一位旅客测得乌兰浩特市火车站到长春火车站的终点站的比例尺是1：2000000，问这位旅客测得的图上距离是多少？

        解答：根据比例尺的公式，比例尺中的1代表图上距离，2000000代表实际距离，而火车是一个物体，那么420千米也是实际距离。两个图上距离对准在“/”的上面，两个实际距离对准在“/”的下面。根据题意可得到：解：设这位旅客测得的实际距离为x千米。x/420=1：2000000，x=0.00021。答：这位旅客测得的实际距离为0.00021千米。

变化的量：

        由于比例引入了比的等量关系，有除就有乘，这时就产生了变化的量。量有一段的，也有分段的，变化的两种的等量关系可以用算式表示，通过这些算式列表，可以得到对应的图像，这个图像就能反应变化的量。它还能为到初中开始学函数打好基础。

        成比例的量有正比例、反比例、不成比例3种。如果两个变化的量的比值相等，那么这两个比就成正比例；如果两个变化的量的乘积相等，那么这两个比就成反比例；如果这两个量既比值不相等又乘积不相等，那么这两个量就不成比例；两个以上的变化的量以此类推。

        例题：正方形的边长与周长成哪种比例？

        解答：当边长等于1时，周长等于4；当边长等于2时，周长等于8。∵1/4=2/8=0.25，∴正方形的边长与周长成正比例。答：正方形的边长与周长成正比例。

比例中的等量关系：

        掌握比例法解应用题，要懂得各个量之间的关系。比例是这样的。如果1=5那么2=几呢？你肯定要这样计算：1:2=5：几呢？那么答案是10，因为答案=5×2明白这个以后，就懂得比例中的等量关系了。

        基本公式：路程=速度×时间；路程÷时间=速度；路程÷速度=时间。

        举一个例子：小明从甲地到乙地，用了10个小时，已知甲乙两地共120千米。问：（1）出发后4个小时，小明共走了多少米？（2）小明走到72千米时，小明已经出发了多长时间？

        解：（1）设小明走了x千米，则：120：x=10:4，x=120×4÷10=48。（2）设小明走了y小时，10：y=120:72，y=10×72÷120=6。答：（1）小明走了48千米。（2）小明走了6小时。

                                第八章：路程、速度、时间

平均速度和总路程速度的平均数：

        平均速度指的是物体在通过一段路程S与所需时间t的比值，总路程速度的平均数得的是几个速度相加后除以它们的个数的数值。

        平均速度需要考虑时间因素，其中的算法是：假定这段路程的总距离，用总距离去除以每段所用时间所得的速度，再用假定的速度去除以路程和。总路程速度的平均数无需考虑时间因素，只需根据已知数据套入平均数的公式求得结果即可。

        例题：玲玲骑自行车从A地到B地用了150分钟，再到C地用了120分钟，最后到D地用了90分钟（每两地之间没有间隔）。问：（1）求玲玲骑自行车从A地到D地的速度的平均数。（2）求玲玲骑自行车从A地到D地的平均速度。

        解：（1）（150+120+90）÷3=120。（2）我们假定总路程是1620000米，1620000÷150=10800，1620000÷120=13500，1620000÷90=180000，10800+13500+180000=204300（分钟），1620000÷204300=180/227（米/分钟）。答：（1）玲玲骑自行车从A地到D地的速度的平均数是120。（2）玲玲骑自行车从A地到D地的平均速度是180/227（米/分钟）

单次的行程问题：

        相遇可以概括为几个人物同时见面，是一个向量，但我们解决问题时不需要考虑向量的计算。公式：速度和×相遇时间=总路程，总路程÷速度和=相遇时间，总路程÷相遇时间=速度和，直线：甲的路程+乙的路程+……的路程=总路程，环形：甲的路程+乙的路程+……=环形周长（这里说的环形指的是一个圆弧）。

        追及可以概括为几个人物同时追赶，也是一个向量，也不需考虑向量的计算。公式：速度差×追及时间=路程差，路程差÷速度差=追及时间，路程差÷追及时间=速度差。直线：距离差=第一个追者的路程-第二个追者的路程-……-第n个追者的路程=速度差×追及时间，环形：最快的路程-倒数第二快的路程-……-最慢的路程=曲线周长（这里说的曲线是一个环形）。

        火车过桥问题：火车速度×离桥时间=桥长+火车长，（桥长+火车长）÷火车速度=离桥时间，（桥长+火车长）÷离桥时间=火车速度。

        流水行船问题：顺水：（船速+水速）×顺水时间=顺水行程，船速+水速=顺水速度，逆水：（船速-水速）×逆水时间=逆水行程，船速-水速=逆水速度，静水：（顺水速度+逆水速度）÷2=静水速度（船速），（顺水速度-逆水速度）÷2=水速。

        例1：东升从家到少年宫，如果每分走50米则正好到上课时间；如果每分钟走60米则离上课还有2分，问：家离少年宫多远？

        解答：在相同时间内，路程差是60×2=120分钟，反求时间120÷（60-50）=12（分钟），∴路程是50×12=600（米）答：家里少年宫600米。

        例2：一条跑道长400米，甲骑自行车每分行450米。乙跑步每分跑250，问：经过多少分甲乙相遇？

        分析与解答：两个人一个快一个慢，是不可能直接相遇的。这种行为就叫我们平时的“扣圈”，这样就要两人跑多一圈了，这是转化成甲和乙，要问的是甲多长时间比乙多行一圈？已知跑到400米，另外属于追及问题。于是解答如下：400÷（450-250）=2（分）。答：经过2分后甲乙相遇。

        例3：一列火车长150米，每秒行20米，全车通过一座450米长的大桥，需要多长时间。

        分析与解答：画一条直线并平分成3份。由于设火车在直线划分的右边，∴根据题意，中间那段表示长450米，是要通过的大桥。从起点到中间的最左端就表示火车行驶了450米但它只是火车头，∴不能算通过，就要继续前进，到左边的左端才算通过（是火车的终点），∴中间的长度加上左边的长度才是火车所行驶的路程。于是解答如下：（450+150）÷20=30（秒）。答：全车通过450米长的大桥，需要30秒。

        例4：甲、乙两个港口间的水路长300千米，一只船从甲港到乙港，顺水5小时到达，从乙港返回甲港，逆水6小时到达。求船在静水中的速度和水流速度。

        解答：船在顺水中的速度：300÷5=60（千米/小时），船在逆水中的速度：300÷6=50（千米/小时），∴静水速度：（60+50）÷2=55（千米/小时），水流速度：（60-50）÷2=5（千米/小时）。答：船在静水中的速度是55千米/小时，水流速度是5千米/小时。

多次的行程问题：

        由简单行程问题拓展出的多次行程问题。所有行程问题都是围绕“速度×时间=路程”这一条基本关系是展开的，多人相遇与追及问题虽然比较复杂，但只要抓住这个公式，逐步分析题目中所给的数量关系，问题就可迎刃而解。

        多次相遇与全程的关系，可以分为以下几类：1、两地同向出发：第1次相遇，共走1个全程；第2次相遇，共走3个全程；第3次相遇，共走5个全程；……，……；第N次相遇，共走2N-1个全程。注意：除了第1次，剩下的次与次之间都是2个全程。即甲第1次如果走了N米，以后每次走都是2N米。2、同地同向出发：第1次相遇，共走2个全程；第2次相遇，共走4个全程；第3次相遇，共走6个全程；……，……；第N次相遇，共走2N个全程。3、多人多次相遇追击的解体关键：多次相遇追及的解题关键：几个全程。多人相遇追及的解题关键：路程差。

        多次相遇追及问题类型还有很多，解这类题型关键还是要抓住“路程=速度×时间”这个关系式，以下面几个例题为例。

        例1：甲、乙两名同学在周长为300米的圆形跑道上从同一地点同时背向跑步，甲每秒跑3.5米，乙每秒跑4米，问：他们第十次相遇时，甲还需要跑多少米才能回到出发点？

        解析：从开始到两人第十次相遇的这段时间内，甲、乙两人共跑的路程是300×10=3000米，∵甲每秒跑3.5米，乙每秒跑4米，∴这段时间内甲共行了300×3.5÷（3.5+4）=1400米，也就是甲最后一次离开出发点后继续行了200米，可知甲还需要行300-200=100米才能回到出发点。 

        例2：甲、乙、丙三人中，甲每分钟走50米，乙每分种走60米，丙每分钟70米。甲、乙两人从A地，丙从B地同时相向出发，丙遇乙2分钟后遇到甲。问A、B相距多远？

        解答：乙比甲多走的路程（50+70）×2=240（米），乙和丙相遇的时间：240÷（60-50）=24（分钟）。A、B的距离：（60+70）×24=3120（米）

                            第九章：数论问题

数论的概念：

        所谓数论，就是数字的整除理论。这个定义只能从字面上讲。数论仅局限于正整数，这就让我们联想到了数字的整除特征。

数字的整除特征：

        不是所有正整数都有他的整除特征，但是有些不常见的整除数的特征还是可以从常见的整除数的特征进行推理而来的 。

        能被2整除的数：个位数上的数能被2整除，那么这个数能被2整除。能被3整除的数：各个数位上的数字和能被3整除，那么这个数能被3整除。能被4整除的数：个位和十位所组成的两位数字之和能被4整除，那么这个数能被4整除。能被5整除的数：个位上的数是0或5，那么这个数能被5整除。能被6整除的数：如果这个数既能被2整除，又能被3整除，那么这个数能被6整除。能被7整除的数：若一个整数的个位数字截去，再从余下的书中，减去个位数的2倍，如果差是7的倍数，如果不能直接判断出，就要继续上述，直到能直接判断出为止 。能被8整除的数：百位、十位、个位所组成的三位数能被8整除，那么这个数能被8整除。能被9整除的数：各个数位上的数字和能被9整除，那么这个数能被9整除。能被10整除的数：如果一个数的个位为0，那么这个数能被10整除。能被11整除的数：奇数位（从左往右数）上的数字和与偶数位上的数字和之差（以大减小）能被11整除，则这个数能被11整除。11的倍数的验证法也可以用上述检查7的割尾法处理，过程唯一不同的是：倍数不是2而是1！能被12整除的数：若一个数能被3和4整除，则这个数能被12整除。能被13整除的数：若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，加上个位数的4倍，如果差是13的倍数，则原数能被13整除。如果不能直接判断出，就要继续上述，直到能直接判断出数为止。能被17整除的数：若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的5倍，如果差是17的倍数，则原数能被17整除。如果不能直接判断出，就要继续上述，直到能直接判断出数为止。另一种方法：若一个数的末三位与3倍的前面的隔出数的差能被17整除，则这个数能被17整除。能被19整除的数：若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，加上个位数的2倍，如果差是19的倍数，则原数能被19整除。如果不能直接判断出，就要继续上述，直到能直接判断出为止。另一种方法：若一个整数的末三位与7倍的前面的隔出数的差能被19整除，则这个数能被19整除。能被23整除的数：若一个整数的末四位与前面5倍的隔出数的差能被23或29整除，则这个数能被23整除。能被25整除的数：十位和个位所组成的两位数能被25整除。能被125整除的数：百位、十位和个位所组成的三位数能被125整除。

        判断哪些数属于不常见的整除数，我们就要用乘法对它进行拆分。如果拆分的数中所有的数都属于常见的整除数，那么这些数就属于常见的整除数。

        例1：3224属于整除数吗？如何判断一个数能被3224整除？

       解答： 3224可以拆分成2×4×43，在这个算式中2、4都属于常见的整除数，但43不属于常见的整除数，∴3224不属于整除数。

        例2：3048219能被11整除吗？

        解答：把3048219的奇数位有3、1，偶数位有0、4、8、1、9，奇位数字之和是3+1=4，偶数位数字之和是0+4+8+1+9=22，偶数位之和减奇数位之和是18，不能被11整除，∴3048219不能被11整除。

        例3：（1）2048能被7整除吗？（2）请减小这个数字，直到它能被7整除，这个数最少可以减小多少？

        解：（1）204-8×2=188，18-8×2=2，∵16不能被7整除，∴2048不能被7整除。（2）