你真的喜欢数学吗（第三部分）
C、张三去综合办，李四去人事部，王五去后勤部。
D、张三去人事部，李四去综合办，王五去后勤部。
解析：每个选项中已经告诉了每个人分别去哪些部门，这个时候怎么办？我们可以想到用排除法，代表排除。怎么代表排除？李四不去人事部，而C说李四去人事部，∴C排除。李四去过后勤，∴李四不能再去后勤，∴B排除。张三是人事，你就排除掉张三去人事部，∵人事部是张三本人的。∴D排除。那么正确答案是A。
例2：甲、乙、丙、丁四人商量周末出游，甲说：“乙去，我就肯定去。”乙说：“丙去我就不去。并说：“无论丁去不去，我都去。”丁说：“甲乙中至少有一个去，我就去。”以下哪项推论可能是正确的？
A、乙、丙两个人都去了。
B、甲一个人去了。
C、甲、乙、丁三个人去了。
D、四个人都去了。
根据题意，用“——”表示相当于，可以记为：（1）乙——甲（2）丙——非乙（3）丙（4）甲或乙——丁。AB没有确定性，D是不可能实现的，∴选C。
体育比赛中的推理：
体育比赛中的推理解题时需要用到点线图，即把每个人都画成一个点，旁边记下人物名称的标记。根据题目中提供的信息，即谁与谁比赛，用线段的方式把两个点连起来，第一个对象连好后，根据情况找出矛盾的地方，把矛盾的地方排除掉，继续推理下一个对象，往后以此类推。
由于这里我无法用几何图形来表达，那么我最后能转化成文字来表达题目的推理过程了。
例1：A，B，C，D，E五人参加象棋比赛，每两人都要赛一盘，并且只赛一盘，规定胜者得分，负者得0分，平者各得1分。现在知道比赛的结果是：A和B并列第一名，C是第三名，D和E并列第四名。问：C的得分是多少？
解析：我们先把点线图画出来。5个人最多可能比4局，那么每人最多得8分。∵已知A、B并列第一。由于两人比赛不可能全赢或全输，只可能平局，∴A、B最高为7分。7可以拆成2+2+2+1，相当于A或B赢了3局和平了1局，那么B除了跟A连以外，还跟C、E、D连。又∵D和E并列，∴D和E连起来。每个人都赛了4局，那么C的得分就是2+2+0+0=4（分）。D和E还剩4局，而剩余3局全输，总共就是1+0+0+0=1（分），但是否也有7分以下的可能呢？对于胜负情况而言，有胜有负的话，一方2分，另方0分，总共2+0=2（分），两方打平的话，两方都是1分，总共1+1=2（分），也就是任何情况下，一局比赛的积分都是2分。5个人10场比赛，总共就是2×10=20个积分。这20个积分一定在A、B、C、D、E6个人手中，∴A+B+C+D+E=20。如果A+B=12，那么A、B都是6分，C、D、E总共拿到8分。只有D、E各自拿到3分，C拿到4分，即保证D、E不为倒数第一且不与A、B积分相等的情况下才符合题意。∴C的得分是4分。
例2：A、B、C、D、E5各小组开展扑克比赛，每两个小组都要比一场，到目前为止，A已经赛了4场，B已经赛了3场，C已经赛了2场，D已经赛了1场，问：E赛了几场？
解析。先画出点线图。∵A赛了4场，∴A要把B、C、D、E4个点全连上。再看D，∵D只比赛了1场，已经和A比完了，不用再比了。又已知B比赛了3场，而B只和A比过，∴剩下2场是和C、E比。C已经比赛了2场，我们已经和B、A连上了。E与A、B共2场。此时已经全部练完了。∴E赛了2场。
第二十六章：有理数和无理数
有理数和无理数的定义：
有理数定义为正数、0、负数的统称（能开方的数也是有理数，例如根号4=±2）。无理数定义为无限不循环小数（位数不但没有限制，而且小数位还没有循环的数）。初学者会误认为有理数就是有道理的数，无理数就是没道理的数，这种理解是完全错误的。
实数的分类：
按定义分：实数分为有理数和无理数，接下来有理数分为正数、0、负数，无理数直接标注它的定义。
按大小分：实数分为正数、0、负数，接下来正数分为正有理数、正无理数，负数分为负有理数、负无理数。
有理数的概念：
如果一个数只改变符号部分不改变数字部分，那么这个数就是原来的数字的相反数。正数的相反数是负数，负数的相反数是正数，0的相反数是0。这也就对计算中去括号的法则进行了充分的证明，只不过这里只是化简数而已了。
在数学中绝对值指的是一个在数轴上所对应的点到原点的距离，用“||”来表示。非负数的绝对值是它本身，负数的绝对值是他的相反数。互为相反数的两个数的绝对互相等。
有理数的运算：
算式中的绝对值：算式中如果有绝对值，应先去掉绝对值转化为括号，再去括号进行运算。
有理数运算中列算式的注意事项：如果算是最前面是负数，加不加括号都可以，∵前面没有可算的数，例如负1加1，可以写成-1+1，也可以写成（-1）+1；但如果负号不在最前面，一定要把这个数加上括号，否则人家分不清这步的运算符号，例如我把上面的话调过来，1加负1，应该写成1+（-1），而不应该写成写成1+-1。
有理数的加法法则：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。异号两数相加，取绝对值较大的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。两个互为相反数相加得0，例如∵5和-5互为相反数，5+（-5）=0。有理数的减法法则：一个数减去另一个数，等于加上这个数的相反数。有理数的乘法法则：同号得正，异号得负（0除外）。有理数的除法法则：一个数除以一个另一个数，等于乘上这个数的倒数（除数不能为0）.
倒数的推广和负倒数：非负数的倒数同样适用于有理数，即如果两个有理数相乘得1（0除外），那么这两个有理数互为倒数。如果两个有理数相乘得-1，那么这两个有理数互为负倒数，例如∵3×（-1/3）=-1，∴3和-3互为负倒数。
有理数的乘方：乘方是几个相同的数相乘，相同数连乘的简便运算（不要和乘法搞混了）。乘方的结果叫幂，相乘的大小叫底数，相乘的个数叫做指数。做计算前先观察底数是否有括号。如果底数没有加括号。计算有理数的乘方时，只需考虑数字，即先算出绝对值作为幂的数字部分，再将符号部分直接落下来。如果底数有括号，先考虑数字，再考虑符号。数字部分是幂的绝对值，当指数是奇数时，幂是负数，当指数是正偶数时，幂是整数。当指数为0时，如果底数为0，幂则为0，其余情况幂全部为1（无论底数是否加了括号）。这两种形式的算式意义不同，就在于是否对底数加上了括号。∵当底数不加括号时，我们把该算式读作几的几次方的相反数，当底数加括号时，我们把该算式读作几的几次方。
有理数的运算过程是先乘方，再乘除，后加减，如果有括号要先去括号。
大数的科学记数法和有效数字：
把一个数转化成一个数乘10的几次方的形式的数，叫做科学记数法，也就是让这个数变得更科学一些。（注意是“记”而不是：“计”）。表示形式为a×10**n（n∈Z+）。其中a必须是整数位为一位数的小数。
如果题目中的首位只有一位数一位数的小数，那么你把a和n照抄下来就可以了。如果前面有整数但后面全是0，a的小数点要向左移到首位与下一位中间，其中移动了几位，n要加几。如果中间出现了不为0的数，要用加法把它拆成两部分科学记数法相加的形式，往后以此类推，再进行转化为科学记数法的形式。反之，要把一个用科学记数法表达形式的数转化为普通的数，要先把a、10**n次方分别转化成普通的数的形式。a的小数点移到个位数上，小数点移动了几位，n就要减几，接下来把1截去，n此时是几，后面就保留几个0，对于拆成多个部分科学记数法的形式，首先要还原一个部分的科学记数法的形式，再转化为普通的数的形式。
例题：（1）把23000048000转化为科学记数法的形式。（2）把53.22×10**8+62.26×10**5转化为普通的数的形式。
解答：（1）把23000048000拆成230000+48000，230000转化为科学记数法的形式是2.3×10**4，48000转化为科学记数法的形式是4.8×10**4。∴23000048000转化为科学记数法的形式是2.3×10**4+4.8×10**4。（2）53.22的小数点移到个位是5322，移动了2个小数点，那么10**8就变成了10**（8-2）=10**6，1截去并落下6个0与5322合在一起得5322000000，∴53.22×10**8+62.26×10**5转化为普通的数字之后就是5322000000。
在有理数中， 有效数字是指在一个数中，从该数的第一个非零数字起，直到末尾数字位置的数字称为有效数字，如0.01034600，有效数字有7个，分别是1，0，3，4，6，0，0（注意：末尾的0也是有效数字）。那么最前面的0，0就是无效数字。
实数的运算关系：
乘方求的是已知底数和指数求幂，开方求的是已知指数和幂求底数。从而我们得出一个关系：乘方与开方互为逆运算。
开方的表达形式：
开方的运算读作几的几次方根，或几根号下开几次方。写的时候左边时倒过来的V，右边是除法算式中的除号。开方也叫方根。根号内的数是被开方数，根号上写的数是开几次方的数，读作根指数，其中如果是平方根，根指数2可以省略不写，如果不是平方根，必须写上根指数。
开方的运算归纳：
负数没有正偶次平方根，但有≮3的奇数次方根，除非符号在根号外。∵没有任何数的正偶数次方根是负数，而正负得正。当负号在根号外时，表示的是几的几次方根的相反数。当根指数∉Z+时，算式无法开方。
开正偶数次方根的结果有互为相反数的两个数，开≮3的奇数次方根的结果有一个数，正负号取决于被开方数的正负号。
无理数去绝对值：
有理数去绝对值非常简单，但如果是无理数我们又该怎样去处理呢？如果绝对之内只存在一个无理数，或者两个无理数相加（以此类推），那么和有理数一样，只需要考虑数字的正负就可以了。如果是两个根指数相同的无理数相减（以此类推），我们要比较每个无理数的大小，被开方数越大，这个数就越大，从左到右按从大到小排序。如果根指数相同但是有加有减，或是根指数不同，甚至是遇到有理数，那就要先分别求出这几个数的结果，用结果比较大小，再去绝对值。
第二十七章：新定义运算
新定义运算讲义：
像*、！、△等这样代替算式中运算符号的算式，我们管它叫新定义运算。任何新定义运算都有想对应的运算法则，即哪个新定义的算式等于哪个代数式。例如5！2=2a+3b。
新定义运算的解题思路：
解决新定义运算时，要根据题目中给出的运算法则来算。对于简单的算式，只要遵循相同的数代表相同的数，不同的数代表不同的数计算就可以了，例如上面举的例子5！2=2a+3b。如果算式比较复杂 ，例如加上了括号，混合运算等，就要去括号，代数式变形。例如3*（1！6）=29a-28b，先要求出括号内的数，该步的结果作为1！6的结果，下一步继续用同样的法则计算。（3*5）÷4,=19a+10b，首先要去掉4，即把代数式的所有想的系数都缩小4倍，再进行计算。如果是新定义方程，先要求出新定义运算部分的结果，再解方程。
例题：规定[10△（13▽17）]÷2=24a+32b。问：（1）求[16△（11▽7）]÷8的值。（2）解方程{[16△（11▽7）]÷8+x}²=9。
解答：（1）原式等号两边除以2，得10△（13▽17）=12a+16b。同理，问题中的算式除以8后，所求的代数式为3a+4b，此时等式变形为16△（11▽7）=3a+4b。去括号，得3×11+4×7=61，又16△61=3×16+4×61=292，∴[16△（11▽7）]÷8的值为292。（2）将292代入原方程，得（292+x）²=9，解得x1=-289，x2=-295。
定义新运算的运算律：
我们学过四则运算的运算律，那么新定义运算是否也存在运算律吗？我们试着猜想一下。
从形上来讲，对于任意的运算符号，存在两个数字，例如“！”，满足交换律a！b=b！a。对于任意的运算符号，存在三个数字，例如“*”，满足结合律a*b*c=a*c*b=b*a*c=c*b*a（数量往上以此类推）。对于任意的运算符号，存在三个数字，例如“△、▽”满足分配律a△（b▽c）=（a▽c）△（b△c）（两个括号内的各两个字母都不满足交换律）。
从数上来讲，有些新定义运算存在运算律，有些新定义运算不存在运算律。判断是否存在运算律，需要看等式之间的对应法则，如果原式满足运算律，且这个新定义运算不是一个伪命题，那么这个新定义运算就存在运算律，其余情况都不存在运算律。那上面的算式举例子当a！b=2a+4b，求1！2，2×1+4×2=10。那么b！a呢？b！a=4b+2a=4×2+2×1=10，∵10=10，∴a！b和b！a之间存在运算律。那么这个算式符合同一法则。当a*b*c=3ab+c，求（2*3*4）×2。（2*3*4）×2=4*6*8，3×4×6+8=80。那么c*b*a呢？(3cb+a)×2=6cb+2a=6×4×3+2×2=20。∵80≠20，∴a*b*c和c*b*a之间不存在运算律。那么这个算是不符合同一法则。
第二十八章：数字裂项
整数裂项：
对于较长的算式，单靠一般的运算顺序和计算方法是很难求出结果的。如果算式中的每一项排了都是有规律的，那么我们就要利用这个规律进行巧算和简算。而裂项法就是行之有效的简便方法。通常的做法是：把算式的每一项裂变成两项的差，而且是每个裂变的后项（或前项）恰好与上一个裂变的前项（或后项）相互抵消，从而达到“以短制长”的目的。
例题：计算1×2+2×3+3×4＋……+49×50。
解答： 设S=1×2+2×3+3×4＋……+49×50。1×2×3=1×2×3。2×3×3=2×3×（4-1）=2×3×4-1×2×3。3×4×3=3×4×（5-2）=3×4×5-2×3×4……49×50×51-48×49×50，3S=1×2×3+2×3×3+3×4×3+……+49×50×51。S=49×50×51÷3=41650。
分数裂项：
遇到裂项的计算题时，要仔细观察每项的分子和分母，找出每项分子分母之间具有的相同的关系，找出共有部分，裂项的题目无需复杂的计算，一般都是中间部分消去的过程。这样的话，找到相邻两项的相似部分，让它们消去才是最根本的。
计算1/（10×11）+1/（11×12）＋……+1/（59×60）。
解答：1/10-1/11+1/11-1/12+1/12-1/13+1/13+……+1/58-1/59+1/59-1/60=1/10-1/60=1/12。
第二十九章：代数式选讲
代数式的定义及其分类：
含有字母的式子叫做代数式。代数式分为整式、分式、根式。单项式和多项式统称整式，如果是除法运算，分母内没有字母。分母内有字母的代数式叫做分式。带有根号的代数式或数字叫根式，带有多个根号的代数式叫复合根式。
代数式的概念、意义、基本性质：
在整式中，有一项的代数式叫单项式，有多项的代数式叫多项式（如果是乘法或除法运算，两个代数式相乘不能算做两项，但是相加和相减在任何情况下都必须拆开算作两项）。其中代数式的倍数叫做系数；代数式的项的数量叫做项数；如果是单项式，字母的幂叫做指数，如果是多项式，幂的总和最大的那项的幂是这个代数式的指数。对于任意项数而言，只要同时满足所有字母及其指数相同，那么这几项代数式就属于同类项。如果是除法运算，分母内既没有字母，数字又不为0时，此时代数式有意义。另外，在除法运算中，分子和分母乘上或除以一个不为0的数，大小不变。
分式可以是简单的分式，还可以是繁分式。如果是繁分式，即便是简单的分式在繁分母的下面，有且仅有分子部分有字母，它也是分式，∵它是一个整体。分式的表达形式是A/B，其中A为分子，B为分母。分式有意义的条件是分母不为0，基本性质是分子和分母同时乘上或除以相同的不为0的数字或代数式，分式的大小不变。
在根式中，根指数是几，它就是几次根式。如果不是除法运算，根号内的数如果不能继续化简，那么这个根式就是最简根式；如果是除法运算，不但要满足分子是最简根式，还要保证分母内没有根式，这个根式才是最简根式。对于任意根式而言，只要保证根式次数相同、被开方数（或代数式）相同，那么这几个根式就属于同类根式。对于不是除法运算的偶次根式而言，有意义的条件是a≥0，对于是除法运算的偶次根式而言，有意义的条件是a≥0，b＞0。对于不是除法运算的奇次根式而言，a在任何情况下都有意义，对于是除法运算的奇次根式而言，有意义的条件是b≠0。基本性质是要先满足是除法运算形式这个前提，对于偶次根式而言，分子和分母同时乘以或除以一个正数，根式的大小不变，对于奇次根式而言，分子和分母乘以或除以一个不为0的数，根式的大小不变。
整式的加减：
整式的加减法的步骤：第1步：找同类项，意为从原题中找出所有对（组）同类项。第2步：去括号，算法同理于数的运算（如需要）。第3步合并同类项，意为把原式中的所有对（组）同类项合成在一起。第4步：化简，意为把所有同类项都化到最简。
整式的加减法的运算法则是每个字母及其指数不变，只将系数进行加减。
化简求值是给出字母的数值，根据其数值算出最简代数式的结果。化简求值有两种办法：第1种：先将原始化到最简，再说题目中的“原式等于几时”，接下来把所给的每个字母相应的数字代入到最简代数式，最后计算数值。第2种：先对原式进行化简，化简完后继续返回原式，把题目中给出的每个字母相应的数字代入到原题目当中算出最终的数字。
整式的乘除运算法则：
同底数幂的运算法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。即：a**m×a**n=a**m+n。幂的乘方法则。即：（a**m）**n=a**mn。积的乘方法则：积的乘方，等于把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。即：（ab）**n=a**nb**n。单项式乘单项式：单项式与单项式相乘，只要将系数、相同字母的幂分别相乘，对于一个只在单项式中出现的字母，则连同它的指数一起作为积的一个因式。如：3a**2b×2ab**3=（3×2）×（a**2×a）×（b×b**3）=6a**3b**4。单项式乘多项式：单项式与多项式相乘，先用单项式分别乘以单项式的每一项，再把所得的积相加。积算完使如果遇到能化简的要化简。如：a（a**2m+n）=a**3m+an。多项式与多项式相乘法则：多项式与多项式相乘，每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加，积算完使如果遇到能化简的要化简。如：（2x+y）（x-y）=2x**2-2xy+xy-y**2=2**2-xy-y**2。同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减。即：a**m÷a**n=a**（m-n）。
乘法公式：
（1）两数和乘以这两数的差公式，叫做平方差公式： （a+b）（a-b）=a**2-b**2。（2） 两数和的平方公式，叫做完全平方和公式：（a+b）**2=a**2+2ab+b**2。（3）两数差的平方公式，叫做完全平方差公式：（a-b）**2=a**2-2ab+b**2。
因式分解的概念：
1、因式分解是指把一个多项式化成几个整式的积的形式，也叫分解因式。
2、因式分解最终结果特别注意以下几点：第一，必须分解成积的形式；第二，分解成的各因式必须是整式；第三，必须分解到不能再分解为止。
因式分解的方法：
1、提公因式法：一般的，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这种因式分解的方法叫做提公因式法。形如am+bm+cm=m（a+b+c）。具体方法：当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的。如果多项式的第一项是负的，一般要提出“-”号，使括号内的第一项的系数是正的。
2、公式法：形如（1）平方差公式a**2-b**2=（a+b）（a-b）、（2）完全平方公式a**2±2ab+b**2=（a±b）**2、（3）完全立方公式：a**3±3a**2b+3ab**2±b**3。
3、分组分解法：把一个多项式分组后，在进行因式分解的方法，分组分解法必须有明确目的，即分组后，可以直接提取公因式或运用公式。
4、拆项、补项法：把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项），使原始适合于提公因式法、运用公式法或分组法进行分解；要注意，必须与原多项式相等的原则进行变形。
5、十字相乘法：x**2+（pq）x+pq型的式子的因式分解：这类二次三项式的特点是：二次项系数是1；常数项是两个数的积；一次项的系数是常数项的两个因数的和。因此可以直接将某些二次项系数是1的二次三项式因式分解：x**2+（pq）x+pq=（x+p）（x+q）。kx**2+mx+n型的式子的因式分解：如果能够分解成k=ac，n=bd，且有ad+bc=m时，那么kx**2+mn+n=（ax+b）（cx+d）。
整数指数幂：
这里以负数指数幂为例，形式为a**-m。运算法则结果是取幂的相反数的倒数，例如2**-2=1/2**2=1/4=0.25。
科学记数法同样适用于小数，即a×10**n（n∈N-），其中a必须是整数位为一位数的小数。将普通形式的数字转化为科学记数法时，数小数点后面有几个无效数字，有几个无效数字，n就待定为几。然后再看假设小数点到了末尾，向左移动了几位，n就取它的相反数再减几，最后得出的数字就是a。例如0.000000001834，小数点后有8个0，接下来假设小数点在4的后面，移动到1和8之间相当于一共移动了3位，变成了1.834，∴a为1.834，n为-8-3=-11，∴0.000000001834转化为科学记数法时1.834×10**-11。反之，将科学计数法形式的数转化为普通的数字，a转化为整数，过程中a的小数点向右移动了几位，n就取它的相反数再减几，所得的结果是小数点后面0的个数，小数点左面的0落下来。例如3.451×10**-10，小数点移到整数位即向右移动3位变成3451，即a为3451放在最后面，10-3=7，说明小数点后面有7个0，整数位的0落下来，合在一起就是0.00000003451。
分式的约分与通分：
约分如果是单项式，数字与数字约分、公因式抵消、指数降次。如果是多项式，应先因式分解，再约分。
通分如果是单项式或是多项式但有相同的地方，先观察字母和指数，如果有部分相同的地方，则元素较多的那个因式不变，把不相同的地方填补在元素较少的那个因式，得出的两个因式就是公有的因式。如果因式完全不相同，则一个因式要把另一个因式在该地方补上，另一个因式同理，得到公有的因式。
分式的运算：
两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母。用字母表示为：（a/b）×（c/d）=（a×d）×（b×d）=ac×bd。两个分式相除，把分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘：（a/b）÷（c/d）=（a/b）×（d/c）=ad×bc。也可以表述为：除以一个分式，等于乘以这个分式的倒数。乘方：分子乘方做分子，分母乘方做分母，然后约分（如需要），最后化成最简：（a/b）**n=a**n/b**n。分式的加减法法则同分数的加减法法则，用字母表示为（a/b）±（c/d）=（ad/bd）±（bc/bd）=（ad±bc）/bd。
最重要也是最容易出错的一点是：运算中遇到多项式（如需要），能因式分解的要通分，这样便于约分。
分式裂项：
前面讲过了分数裂项，下面我们来继续探究分式裂项。我们先给分式裂项下个定义：把一个带有相乘的一个代数式，在保证值不变的情况下，拆分成两个分式。下面以裂差为例。
分式裂差的公式为1/[A（A+1）]=1/A-1/（A+1）。这个公式是怎么来的？如果用直接证明的话是有一定难度的，那么我们不妨和分数裂项类比一下，说不定证明起来能简单一些，也容易理解。分数列差的公式是1/[a（a+1）]=1/a-1/（a+1），其中a代表数字，那么A就代表代数式，以1/（3×4）为例，结果显然是1/12。但如果用我们平时的算法来检验这个式子，1/3-1/4=4/12-3/12=1/12，∵1/12=1/12，∴检验成立，进而1/（3×4）=1/3-1/4得证。又3+1=4。类比于分式裂差，假设A为a，那么A+1就是比A多1，符合整式的概念。进而1/[A（A+1）]=1/A-1/（A+1）得证。
例题：化简求值，其中x=1。1/（x**2+13x+42）+1/（x**2+15x+56）+1/（x**2+17x+72）+1/（x**2+19x+90）。
解析：大家发现这几个分式的分子全是1，一定是想到分式裂项了。但到底应该裂成什么结果呢？我们可以从这里下手。每个分式的分母都是二次三项式，那么我们就应该首先把他们因式分解。x**2+13x+42因式分解得到（x+6）（x+7），x**2+15x+72因式分解得到（x+7）（x+8），x**2+17x+70因式分解得到（x+8）（x+9），x**2+19x+90因式分解得到（x+9）（x+10），我们发现这几对因式中，中间每两个因式都是相同的，∴取它们的倒数时可以将这些因式全部抵消，原式就变成了1/（x+6）+1/（x+10）=[2（x+8）]/[（x+6）（x+10）]。化简求值就不用说了，原式=[2（1+8）]/[（1+6）×（1+10）]=2/693。
分式方程：
分式方程的定义是：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。分式方程与比例方程的联系和区别：联系是分式方程和比例方程的解都是一个数。区别在于，比例方程的形式必须是比例，分式方程的形式是不是比例是都可以；比例方程不可能解出0，但分式方程可能解出0。分式方程和比例方程的解法的原理不同。
解分式方程的步骤：第1步，去分母，化为整式方程，等号两边乘以最简公分母；第2步，解除整式方程的解；第3步，把解带入原方程检验（∵这步你解的是整式方程的解），第4步计算分母的值，判断是否为0，如果为0，这个方程就无解（∵分式分母为0时无意义），反之不为0，这个解就是原方程的解。
分式方程应用题是中考的一个重点，而解分式方程应用题确实大部分同学的一块新病，很多同学读完题没有头绪，根本不知道题中说的是什么，更别说列方程了，下面针对分式方程应用题介绍一种方法：在分析数量关系的时候，我们可以采用列表法，问题中通常涉及到两者之间的各种数量的比较。列表时横向表示各数量，纵向表示两者之间的比较，要能容纳题中所有的数量关系。
例题：某工厂计划在规定时间内生产24000个零件，若每天比原计划多生产30个零件，则在规定的时间内可以多生产300个零件，求原计划每天生产零件的个数和规定的天数。
解答：解：设原计划每天生产零件x个，则实际每天生产（x+30）个。24000/x=（24000+300）/（x+30），解得x=2400，经检验，x≠0，x+30≠0，∴x=2400是原方程的解。2400+30=2430（个）。答：原计划每天生产零件2400个，实际每天生产2430个。
二次根式的概念：
如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根。a可以是具体的数，也可以是代数式。
即：若x**2=a，则±根号a叫a的平方根，记做x=±根号a。其中a叫被开方数。其中正的平方根被称为算术平方根。
被开方数是正或0的，其平方根为实数；被开方数为负的，其平方根为虚数。
二次根式的化简：
从被开方数中找一个非常小的完全平方数与这个数按乘法拆分，如果另一个数还不是最简二次根式，就要按上述方法继续拆分，直到不能继续拆分为止。最后就是把这些有理数都移到根号外，移到根号外时计算它们的算术平方根。如果根号外是乘法运算，还要把这些有理数相乘。
如果是除法形式，分子和分母同时乘以与原分母所配的平方差，并加以整式化简。
二次根式化简口诀：二次根式要化简，因式分解能帮忙。
例1：3根号10和23根号6谁大？
解答：把3移到根号内，变成3²=9，9×10=90，于是这个代数式变成根号90。把23移到根号内，23²=529，529×6=3174，于是这个代数式变成根号3174。∵3174＞90，∴23根号6大。
例2：化简[根号3/根号（2+6）]。
解答：根号（2+6）与根号（2-6）可以配成平方差，同时分母乘上根号（2-6），得[根号3×（2-6）/根号（2+6）（2-6）]=根号[3×（-4）/8×（-36）]=根号[-（6/129）]。
二次根式的运算：
二次根式乘法的运算法则：根号a×根号b=根号（a×b）（a≥0，b≥0）。如果遇到有理数，则有理数乘有理数，二次根式乘二次根式。二次根式除法的运算法则：先根号（a/b）=根号a/根号b（分子中a≥0，b≥0，分母中a＞0，b＞0），再分子和分母各自进行乘法运算，最后化简。二次根式加减法法则：不是最简二次根式的先化简，化简完后合并同类二次根式，最后分别化简全部同类二次根式。化简时自然数加减被开方数不变，但是非同类二次根式不能化简。
复数的概念：
我们把形如z=a+bi（a，b均为实数）的数称为复数。 实数和虚数统称复数，实数代表存在的数字，虚数代表不存在的数字，标准的说是负数的平方根。虚数分为虚数和纯虚数，其中a是实部，b是虚部，i是虚数单位。我们规定i²=-1。互为相反数的复数称为共轭复数。
复数的四则运算：
复数的加法按照以下规定的法则进行：设z1=a+bi，z2=c+di是任意两个复数，则它们的和是（a+bi）+（c+di）=（a+c）+（b+d）i。两个复数的和依然是复数，它的实部是原来两个复数实部的和，它的虚部是原来两个虚部的和。复数的加法满足交换律和结合律，即对任意复数有z1，z2，z3，有：z1+z2=z2+z1；（z1+z2）+z3=z1+（z2+z3）。
复数的减法按照以下规定的法则进行：设z1=a+bi，z2=c+di是任意两个复数，则它们的差是（a+bi）-（c+di）。两个复数的差依然是复数，它的实部是原来两个实部的差，它的虚部是原来两个虚部的差 。
规定复数的乘法按照以下的法则进行：设z1=a+bi，z2=c+di（a、b、c、d∈R）是任意两个复数，那么它们的积（a+bi）（c+di）=（ac-bd）+（bc+ad）i。其实就是把两个复数相乘，展开得：ac+adi+bci+bdi²，∵i²=-1，∴结果是（ac-bd）+（bc+ad）i。两个复数的积仍然是一个复数。
复数除法定义：满足（c+di）（x+yi）的复数x+yi（x，y∈R）叫复数a+bi除以复数c+di的商。运算方法：可以把除法换成乘法做，在分子和分母同时乘上分母的共轭，所谓共轭你可以理解为加减号的变换，胡伟共轭的两个复数相乘是一个实常数。除法运算法则：设复数a+bi（a，b∈R），除以c+di（c，d∈R），其商为x+yi（x，y∈R），即（a+bi）÷（c+di）=x+yi，∵（x+yi）（c+di）=（cx-dy）+（dx+cy）i，∴（cx-dy）+（dx+cy）i=a+bi，由复数相等定义可知cx-dy=a，dx+cy=b，解这个方程组，得x=（ax+bd）/（c2+d2），y=（bc-ad）/（c2+d2），于是有（a+bi）/（c+di）=（ac+bd）/（c+di）=（ax+bd）/（c2+d2）+（bc-ad）/（c2+d2）。
第三十章：这些坐标系
坐标系简介：
坐标系的定义为：在几何中，坐标系是使用同一个数字或多个坐标来确定唯一点或流行上其他几何元素的位置的系统。用于描述地理位置、计算机绘图、周长面积计算、、图形解答（证明）、函数、解析几何。坐标系有数轴、平面直角坐标系、空间直角坐标系、极坐标系。
数轴：
数轴是表示数字大小的一条直线（物理上称为直线坐标系）。数轴的三要素是原点、坐标、正方向。原点即中间的0，坐标即代表数的标记，这两个要素都在直线的下边。正方向是一个箭头，在右边。缺一不可。在数轴上表示数时，在直线对应的位置画上实点，再写数字。确定有理数的坐标，只需根据原题中给出的数，在图中找出相应的位置，并标在线的上面即可。∵负数比0小，正数比0大，∴负数在0的左边，正数在0的右边。确定无理数的坐标，如果类比有理数，先计算值，再确定坐标是不对的，∵无理数是无限不循环小数。正确的方法是：先在数轴上做一个正方形，再做出对角线，将其中的对角线绕O点旋转180°，最后落下的点是无理数的坐标。
平面直角坐标系 ：
平面直角坐标系是由两个互相垂直相交的数轴构成的坐标系，属于二维坐标系。横向的坐标轴叫横坐标，用字母表示为x轴；竖向的坐标轴叫纵坐标，用字母表示为y轴；x轴与y轴相交的点是原点。画平面直角坐标系时，除了数轴外的三要素，还要在每个坐标轴的正方向旁边标x和y。读坐标时先读横坐标，再度纵坐标，写时用（x，y）表示。从中得出的结论是：有序数对上的点与平面直角坐标系上的点一一对应。当一个点在原点上，两坐标全为0，当点在x轴上时仅y轴坐标为0，当点在y轴上时仅x轴坐标为0，当既不在原点也不在坐标轴上时两坐标全不为0。平面直角坐标系有四个象限：其中右上方是第一象限，坐标大小的性质是（+，+）；其中左上方是第二象限，坐标大小的性质是（-，+）；其中左下方是第三象限，坐标大小的性质是（-，-）；其中右下方是第四象限，坐标大小的性质是（+，-）。
空间直角坐标系：
空间直角坐标系分为左手空间直角坐标系和右手空间直角坐标系，属于三维坐标系。以左手空间直角坐标系为例，有三个数轴把整个空间分成三个平面。其中斜的坐标轴称为横坐标，即x轴；其中正方向向右的坐标轴称为纵坐标，即y轴；正方向向上的坐标轴称为竖坐标，即z轴；三条数轴公有的交点成为原点，即O点。建立空间直角坐标系前，要先画出正方体或长方体，再顺着虚棱建立坐标系，∵我们要体现出它的立体感，以及“直角”这个词。空间直角坐标系面面垂直。其中被x轴和y轴划分的平面称为xOy平面，被x轴和z轴划分的平面成为xOz平面，被y轴和z轴划分的平面成为yOz平面。其中没有负数。读时先读横坐标，再读纵坐标，最后读竖坐标，写时用（x，y，z）表示。为了确定坐标方便直观，我们可以类比平面直角坐标系确定坐标的方法：∵平面直角坐标系点在原点上时x，y坐标都为0，那么空间直角坐标系上x，y，z都为0，另外在哪个坐标轴上，就仅哪个坐标不为0，在哪个平面上，没有哪个坐标元素在内，哪个坐标就为0。到这时也许有人会想：在yOz平面上有两个点，那么这两个点的坐标一定不同，这时该怎么办呢？我们确定坐标较大的时候仍采取上面的办法，确定较小的坐标的时候将不为0的那个数减半。空间直角坐标系被纳入到高中数学的知识点，在解决立体几何时做辅助线时使用。对于不同的图形，由于位置关系的不同，坐标系的倾斜角也会有所不同，但无论如何，都遵循“直角”的原则。
极坐标系：
极坐标系是指在平面内由极点、极轴和极径组成的坐标系。在平面上任取一点O，称为极点。从O点出发引一条射线Ox，称为极轴。再取定一个单位长度，通常规定角度以逆时针为正。这样，平面上任意一点P的位置就可以用线段OP的长度r以及Ox到Op的角度θ来确定，有序数对（r，θ）就称为P点的极坐标，记为P（r，θ）。r为P点的极径，x为P点的直角。极坐标换为直角坐标：r=根号（y²+x²）。直角坐标换为极坐标：x=rcosθ，y=rsinθ。极坐标系和前面几种坐标系都与众不同，前面几种坐标系都是静态的，只有极坐标系是动态的。每次高考选考题中，最后一道题都是极坐标系的题目。极坐标系和参数方程有着一定的联系。是最复杂的一种坐标系。
第三十一章：游戏中的取胜策
学习目标：
本课我们讲双方在一系列游戏中，双方对决的取胜策略。不过讲的不是我们平时玩的游戏的取胜策略，而是带有知识性的游戏取胜策略。为什么我们只学习双方的取胜策略？∵如果是一方的话，那就不是对决了，如果是双方以上的话，我们解决问题就不方便了，或说是研究不过来了。
解开报数习题：
问：甲、乙两人轮流报数，只能报1、2、3、4、5、6中的一个，将两人报出的数依次加起来，谁报数后加起来的数之和是2000，谁就获胜，如果甲先报数，他取胜的策略是什么？
解析：根据题意，报数的顺序是甲乙甲乙甲乙……乙甲，说明最后报完的是甲。第一次的甲我单独取出来，以后每次都是乙甲循环。如果这样每次乙甲循环，那么有什么解题方法？再回到原题，能报的是1、2、3、4、5、6。看看有没有可以固定住的地方，∵甲先报完后每次都是乙甲，∴固定的和是1+6=2+5=3+4。这样如果甲报1，乙报6；甲报2，乙报5；乙报3甲报4；以此类推；到最后乙报6，甲报1。也就是说甲乙报完两数之后和为7。而题目要求我们最后和为2000。我们看2000内有多少个7呢？2000÷7=285（个）……5。这是什么意思？每次乙甲之和的7可以一直控制285次，最后还剩5个数。那么第一次甲报5，甲就可以获胜。这说明，甲先报完5后，每次的乙甲报的数的和都是7，直到和为2000时就可以了。
谁先到终点：
这是游戏取胜策略中最简单的题型。就是在给定双方的路线中，谁先从起点到达终点谁就取胜。为了公平起见，双方所走的路线和路程必须是相等的。这是我们要考虑到最优先因素，也就是我怎样才能以最快的速度到达终点，解决问题时需要观察局面，不管是哪种形状的（通常题目不考察直线和立体）。观察局面的个数，即假设每走一个从起点到终点的数量。利用最有利因素来计算至少要连走多少次的数量，其中“至少”采用最有利原则。双方采用“对称法”来解决。计算数量时，如果次数除不开，那么最后走的次数就是所有步中的最后一步。如果余的步数在问题描述的区间内，那么没有什么问题；如果余的步数在问题描述的区间外，应继续考虑最有利因素。
例题：小明和小亮比走路。其中△代表小明，▽代表小亮。两人只能横竖移，最多一次移动4步，不能斜着移，也不能跳动。问：小亮是先手，小明有19条线路，小亮有20条线路，小明取胜的策略是什么？
解答：19÷4=4（次）……3（步），4+3=7（次），20÷4=5（次），说明小明始终4条4条路线走，一定能取胜。
双方取筷子：
双方取筷子的问题，话说白了就是谁把所有筷子取完了谁就获胜。对于这种问题，我们仍然采用“对称性原则”，即你每次取几个，我每次取几个，以此类推，直到一方取完为止。但是必然双方都想获胜，∴此外还要考虑先后手，如果是在问先手的情况下取胜，我们只需利用“对称性原则”解决问题就可以了。当双方数量不等时，如果问的是你如何取胜，且比对方数量少，则直接采用“抢先原则”，一直保持数量比对方少，最后你就取胜。当双方数量相等，但你是后手，就要通过作数量差，再与题中要求取的数量的区间做对比，如果差在区间内，也能采用抢先原则解决问题，反之差如果在区间外，你就必输。
例题：现有一些水晶球分给甲乙两人，要求每方至多取3个。问：（1）已知甲和乙的水晶球都有12个，如果甲是先手，甲有什么取胜策略？如果甲是后手呢？（2）已知甲有9个水晶球，乙有15个水晶球，如果甲是先手，甲有什么取胜策略？如果甲是后手呢？
解答：（1）不妨甲先拿3个，乙拿3个，此时甲乙都剩9个。接下来甲再拿3个，乙还会拿3个，此时甲乙都剩6个，以此类推：3个，0个，由于第一次是甲拿的，∴甲每一定会取胜。如果甲是后手，到最后剩下的0个是乙方的，∴甲方必输，没有取胜策略。（2）不妨加以轮流拿3个，这样坚持下去，甲必然会赢，∵9＜15。如果甲是后手，根据上述的不等关系和先后相反的逻辑，12-9=3，当乙拿完后，甲还剩3个，∴此时甲必输，没有必胜策略。
第三十二章：排队问题
专题导引：
在解决排队问题中，中间这一人既不能遗漏，又不能重复，如：小玲从队伍的右边数起是第4个，从左边数起是第8个，这里的小玲重复数了两次，∴在计算总人数时一定要把重复的人数去掉。
同学们排队，以某以个人为标准来数人数，知道他左边、邮编人数或从左、从右数他排第几，这类问题就是排队问题。排队问题的关键就是要找出重复的部分再解答。
点拔：
要分清楚“第几个人”和“有几个人”的区别。第几个人（包括自己），有几个人（不包括自己）。要分清楚“A和B之间”和“从A到B”的区别。A和B之间（不包括A和B），从A到B（包括A和B）。
例1：小朋友们排队做早操，第一排有5个小朋友，然后每排每次增加2个小朋友，一共排了8排，算一算有多少个小朋友。
解答：5+7+9+11+13+15+17+19=96（个）。答：一共有96个小朋友。
例2：12个小朋友排成一排，从左边数，小军在第4个，小乐排在小军后面第5个，那么从右往左数小乐排在第几个？
解答：4+5=9（个），12-9=3（个），3+1=4（个）。答：从右往左数小乐排在第4个。
例3：二七班同学排成6列做操。每列人数一样多，小明站在第一列，从前面、后面数他都是第5个。二七班共有多少人在做操？
解答：5+5-1=9（人），9×6=54（人）。答：二期班共有54人在做操。
例4：同学们排队做操，每行、每列人数一样多。小红的位置从左数起是第3个，从右数期是第3个，从前数起是第3个，从后数是第3个。做操的同学共有多少人？
解答：3+3-1=5（人），5×5=25（人）。答：做操的同学共有25人。
第三十三章：这些图形
三角形
由不在同一直线的三条线首尾顺次连接所组成的封闭图形叫三角形。平面上三条直线所围成的图形叫平面三角形；球面上三条弧线所围成的图形叫球面三角形，也叫三边形。
三角形定义：
由三条线段首尾顺次相连，得到的封闭几何图形叫三角形，三角形是几何图案中的基本图形。
三角形分类：
按角度分：1、锐角三角形：三个角都小于90°。2、直角三角形：简称Rt△，有一个角是90°。3、钝角三角形：有一个角大于90°。其中锐角三角形和钝角三角形统称斜三角形。
按边分：1、不等边三角形。2、等腰三角形（含等腰直角三角形）
按角度和边的关系分：1、等边直角三角形（既是直角又两直角边相等的三角形）2、不等边直角三角形，除了等边三角形外，所有三角形都是不等边直角三角形。
判定方法：
若一个三角形的三边a、b、c（a＜b＜c）满足a²+b²＞c²，则这个三角形是锐角三角形；a²+b²=c²，则这个三角形是直角三角形，a²+b²＜c²，则这个三角形是钝角三角形。
解直角三角形：
解直角三角形需要用到勾股定理，又称毕达哥拉斯定理或毕氏定理，数学公式中通常写作a²+b²=c²。其中a、b分别为直角三角形两直角边，c为斜边。
勾股弦数是指一组能使勾股定理关系成立的三个正整数。比如3、4、5。常见的勾股数有3、4、5；6、8、10；5、12、13；10、24、26等等。其中，互素的勾股数组成为基本勾股数组，例如3、4、5；5、12、13；8、5、17；等等。
解三角形：
在三角形ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，则有（1）正弦定理a/SinA=b/SinB=c/SinC（R为三角形外接圆半径）。（2）余弦定理a²=b²+c²-2bc×CosA；b²=a²+c²-2ac×CosB；c²=a²+b²-2ab×CosC。备注：勾股定理是余弦定理的一种特殊情况。（3）余弦定理变形公式：cosA=（b²+c²-a²）/2bc；cosB=（a²+c²-b²）/2ac；cosC=（a²+b²-c²）/2ab。
三角形性质：
1、三角形两边之和大于第三边，反之同理。2、三角形内角和等于180°。3、等腰三角形的顶角平分线、底边的中线、底边的高重合，即三线合一。4、直角三角形两直角边平方和等于斜边的平方。直角三角形斜边的中线等于斜边的一半。5、三角形的外角（三角形的内角的一边与其另一边的延长线所组成的角）等于与其不相邻的两个内角之和。6、三角形最少有2个锐角。7、三角形的三条角平分线交于一点，三条高线的所在直线交于一点，三条中线交于一点。8、勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a、b、c有下面关系：a²+b²=c²，那么这个三角形就是直角三角形。9、三角形的外角和是360°。10、等底同高的三角形面积相等。11、底相等的三角形的面积之比等于其高之比，高相等的三角形的面积之比等于其底之比。12、三角形三条中线的长度的平方和等于它的三边平方和的3/4。13、在△ABC中恒满足tanAtanBtanC=tanA+tanB+tanC。14、三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。15、全等三角形对应边、对应角相等。16、在三角形中至少有一个角不小于60°，也至少有一个角不大于60°（包括等边三角形）。17、△ABC恒有[tan（A/2）+tan（B/2）][tan（A/2）+tan（C/2）]=[sec（A/2）]2。18、三角形的重心是三角形三条中线的交点。19、三角形的内心是三角形内角平分线的交点。20、三角形的外心是指三角形三条边的垂直平分线的交点。21、三角形的三条高所在直线的交点叫做三角形的垂心。22、三角形的任意一条中线将这个三角形分为两个面积相等的三角形。23、三角形具有稳定性。
三角形的内角和：
例题：已知有一△ABC，求证∠ABC+∠BAC+∠BCA=180°。
证明：方法一：作BC的延长线至点D，过C作AB的平行线至点E。∵AB∥CE（已知），∴∠ABC=∠ECD（两直线平行，同位角相等），∠BAC=∠ACE（两直线平行，内错角相等），∵∠BCD=180°，∴∠ACB+∠ACE+∠ECD+∠ECD=∠BCD=180°（等式的性质），∴∠ABC+∠BAC+∠BCA=180°（等量代换）。方法二：点A向左做延长线AE，向右做延长线AD，使得DE∥BC。∵DE∥BC（已知），∴∠CBA=∠EAB，∠BCD=∠DAC（两直线平行，内错角相等），∴∠EAB+∠BAC＋∠CAD=∠EAD=180°（等式的性质），∴∠ABC+∠BAC+∠BCA=180°（等量代换）。
全等相关定义：
全等定义为重合。全等形的定义：能重合的两个图形叫全等形。全等三角形定义为能全等的两个三角形。
全等变化的方式：
1、轴对称。2、平移。3、旋转。4、折。5多种变换叠加。
全等三角形的判定：
1、两个三角形对应的三条边相等，两个三角形全等，简称“边边边”，字母表示为“SSS”。2、两个三角形对应的两边及其夹角相等，简称“边角边”，字母表示为“SAS”。3、两个三角形对应的两角及其夹边相等，两个三角形全等，简称“角边角”，字母表示为“ASA”。4、两个三角形对应两角及其一角的对边相等，简称“角角边”，字母表示为“AAS”。5、两个直角三角形对应的一条直角边和一条斜边相等。简称“直角边、斜边”，字母表示为“HL”。
既然全等三角形讲究每条边对应、每个角对应。那么在做全等三角形的解答题时，必须每一组边或角所描述的位置相对应，所有组中判定边、角对应的地方也必须对应。这样才是正确的解题过程。
例题：已知△ABC和△和△DEF相交于△GEC，求证△ABC全等于△DEF。
错误的求证：∵在△ABC和△DEF中，AB=FD，AC=DE，∠ABC=∠DEF∴△ABC全等于△DEF（SAS）。错误的原因：首先分析题，∵△ABC和△和△DEF相交于△GEC（SAS），说明有有两边相等，其中有一个夹角，那么判定方法就是SAS。根据SAS的代表性，即两个三角形对应的两边及其夹角相等，那么对应角就应该写在中间，两条对应边写在两边。而其中有一条对应边判定时位置、选夹角不对应，即AB的对应边DE写成了FD。正确的求证：∵在△ABC和△DEF中，AB=DE，∠BAC=∠EDF，AC=DF（SAS）。
注意，判定三角形没有“AAA”或“角角角”的方法，即两个三角形三个角相等，这两个三角形全等。∵角的延长线是无限延长的，在无限延长的时候必然改变长度，形状也有不确定性。然后也没有“LH”或“斜边、直角边”，∵这是规定，没有理由，但从集合的角度来讲，“LH”或“斜边、直角边”是存在的。接着判定三角形还没有“SSA”或“边边角”的方法，即两边与其中一边的对角相等无法证明这两个三角形全等，但从意义上来说，直角三角形的“HL”判定等同于“SSA”。
五心坐标：
三角形的五心、四圆、三点、一线这些是三角形的全部特殊点，以及基于这些点的相关几何图形。“五心”指重心、垂心、内心、外心、旁心；“四圆”为内切圆、外接圆、旁切圆、欧拉圆；“三点”是勒莫恩点、奈格尔点、欧拉点；“一线”即欧拉线。
以下记三角形的三个顶点为A、B、C，相应的对边边长为a、b、c，系数K（a）=-a²+b²+c²，K（b）、K（c）类推。三线坐标各分量直接乘以相应边长即可转换位面积坐标，以某点的面积坐标结合三顶点坐标计算该点平面直角坐标的方法：记某点面积坐标为（米尤a，米尤b，米尤c），三分量之和为米尤，则有Px=（米尤a×Xa+米尤b×Xb+米尤c×Xc）/米尤，Py类推。
四圆：
内切圆：以内心为圆心，以内心到边的距离为半径的圆，与三角形三边都相切。
外接圆：以外心为圆心，以外心到顶点的距离为半径的圆，三角形三个顶点都在圆周上。
旁切圆：以旁心为圆心，以旁心到边的距离为半径的圆，与三角形一边及另两边延长线相切。
欧拉圆：又称“九点圆”，即3个欧拉点、三遍中点和三高垂足九点共圆。九点圆圆心为垂心与外心连接中点，三点坐标为：cos（B-C）、cos（C-A）、cos（A-B），半径为外接圆半径的一半。内切圆与欧拉圆在某一欧拉点相切。
