【数学基础Ep10】每天三道题（数学分析+解析几何+线性代数）

参考资料：

1. 《数学分析教程》（常庚哲 史济怀 编）

2. 《空间解析几何》（高红铸 王敬蹇 傅若男 编著）

3. 《高等代数习题集》（杨子旭 编）

数学分析——

例题（来自《数学分析教程（常庚哲 史济怀 编）》）——

设a，b，c是三个给定的实数，令a0=a，b0=b，c0=c，并归纳地定义：

1. an=（bn-1+cn-1）/2

2. bn=（cn-1+an-1）/2，n=1，2，3，……

3. cn=（an-1+bn-1）/2

求证：lim an=lim bn=lim cn=（a+b+c）/3.

证——

1. 令x=a+b+c=a0+b0+c0；

2. an+bn+cn

   =（bn-1+cn-1）/2+（cn-1+an-1）/2+（an-1+bn-1）/2

   =an-1+bn-1+cn-1

   =……

   =a0+b0+c0

   =a+b+c

   =x；

3. an

   =（bn-1+cn-1）/2

   =（x-an-1）/2

   =x/2-an-1/2

   =x/2-（x/2-an-2）/2

   =-[-x/2+x/2^2-x/2^3-……+x（-1/2）^n]+a0（-1/2）^n

   =-（-x/2）[1-（-1/2）^n]/[1-（-1/2）]+a0（-1/2）^n

   =[1-（-1/2）^n]x/3+a0（-1/2）^n；

4. lim an

   =lim{[1-（-1/2）^n]x/3+a0（-1/2）^n}

   =lim [1-（-1/2）^n]x/3+lim a0（-1/2）^n

   =x/3+0=x/3=（a+b+c）/3；

5. 同理：lim an=lim bn=lim cn=（a+b+c）/3，证毕。

解析几何——

例题（来自《空间解析几何（高红铸 王敬蹇 傅若男 编著）》）——

定比分点：在线段P1P2上求一点P，使得由P分成的两个有向线段P1P与PP2的量的比为定数λ（λ不为-1），即P1P/PP2=λ.

解：任取一点O，假定OP1及OP2为已知——

1. 因为P1P=λPP2，即OP-OP1=λ（OP2-OP）；

2. 由1，（1+λ）OP=OP1+λOP2；

3. OP=（OP1+λOP2）/（1+λ）——定比分点公式。

高等代数——

例题（来自《高等代数习题集（杨子旭）》）——

数集F={2n/（2n+1）|n为任意整数}是否作成数环或数域。

解：既不作成数域，也不作成数环，因为对加法不封闭，如2/3，4/5是该数集元素，2/3+4/5=22/15不是该数集的元素，故而不构成数环或者数域。

就到这里！