【数学基础31】每天三道题（数学分析+解析几何+线性代数）

预备知识：

1. 数列lim n^（1/n）=1，lim a^（1/n）=1，a>0；

2. 收敛数列{an}极限为a，则an=a+ɑn，其中{ɑn}为一个无穷小；

3. 收敛数列必有界；

4. 有限个无穷小的和还是无穷小；

5. 有界数列乘以无穷小的积还是无穷小；

6. 设lim an=a，则lim（a1+a2+……+an）/n=a；

7. 设lim an=a，lim（a1+2a2+……+nan）/（1+2+……+n）=a；

8. 设lim（a1+a2+……+an）=A，lim（a1+2a2+……+nan）/n=0；

9. 设lim（a1+a2+……+an）=A，lim（n！a1*a2*……*an）^（1/n）=0.

10. 定比分点：在线段P1P2上求一点P，使得由P分成的两个有向线段P1P与PP2的量的比为定数λ（λ不为-1），即P1P/PP2=λ，则P为线段P1P2以λ为定比的分点，且OP=（OP1+λOP2）/（1+λ）——定比分点公式。
    

11. 矩阵乘法运算律——

    a.结合律：（AB）C=A（BC）

    b.左分配律：A（B+C）=AB+AC

    c.右分配律：（B+C）D=BD+CD

    d.若A是n级矩阵，单位矩阵为E，则有：AE=EA=A

    e.矩阵乘法与数量乘法满足：k（AB）=（kA）B=A（kB）

    f.可逆方阵：设A为n阶方阵，若存在n阶方阵B，使AB=BA=E，则称B为A的逆方阵，而称A为可逆方阵。

12. 矩阵A可逆的充要条件：|A|不为0——|A|为矩阵A对应的行列式。

13. 矩阵对应行列式满足：|AB|=|A||B|；

14. 设A与B都是数域K上的n级矩阵，如果AB=E，那么A与B都是可逆矩阵，并且A^（-1）=B，B^（-1）=A。

15. A的伴随矩阵A*满足：A*=|A|A^（-1）

16. E（i，j）为单位矩阵i，j行对调——
    

    方阵A可逆，A对调i，j行成B矩阵：B=E（i，j）A

    方阵A可逆，A对调i，j列成B矩阵：B=AE（i，j）

17. 矩阵的转置：把n级矩阵A的行与列互换得到的矩阵称为A的转置，记作A'，|A'|=|A|。

18. 定义：设A为方阵，若A'=A，则称A为对称矩阵，若A'=-A，则称A为反对称矩阵。

19. 定义：如果AB=BA，则称A与B可交换。

20. 矩阵转置运算律——

    （A+B）'=A'+B'

    （kA）'=kA'

    （AB）'=B'A'

参考资料：

1. 《数学分析习题演练》（周民强 编著）

2. 《空间解析几何》（高红铸 王敬蹇 傅若男 编著）

3. 《高等代数——大学高等代数课程创新教材》（丘维声 著）

数学分析——

例题（来自《数学分析习题演练（周民强 编著）》）——

试求下述（和式）数列{an}的极限lim an：

a.an=（1+2^2+……+n^n）/n^n

b.an=（a1b1^n+a2b2^n+……+ambm^n）^（1/n）（其中ak，bk>0，k=1，2，……，m）

解：

a.

1. 1

   =n^n/n^n

   <an

   <（n+n^2+……+n^n）/n^n

   =n（n^n-1）/（n-1）n^n

   =[（n^n-1）/n^n][n/（n-1）]

   <n/（n-1）；

2. lim n/（n-1）=1，由夹逼准则：lim an=1.

b.

1. 记max{b1，b2，……，bm}=bk0，

   ak0^（1/n）bk0

   <an

   <（a1bk0^n+a2bk0^n+……+ambk0^n）^（1/n）

   =[bk0^n（a1+a2+……+am）]^（1/n）

   =bk0（a1+a2+……+am）^（1/n）；

2. lim ak0^（1/n）bk0=bk0，lim bk0（a1+a2+……+am）^（1/n）=bk0，则lim an=bk0.

解析几何——

例题（来自《空间解析几何（高红铸 王敬蹇 傅若男 编著）》）——

已知：对于不共线的两个向量a，b，有（axb）^2=a^2b^2-（ab）^2.

求证：三角形面积的三斜求积公式（也称海伦（Heron，希腊人）公式）——

S三角形ABC=[s（s-a）（s-b）（s-c）]^（1/2）此处a，b，c是三角形ABC三边之长，s是三角形ABC周长之半，S三角形ABC表示三角形ABC的面积。

证明：设三角形三边上的向量为BC=a，CA=b，AB=c，|a|=a，|b|=b，|c|=c，s=（a+b+c）/2——

1. 易得a+b+c=0，即a+b=-c；

2. 两边平方（a+b）^2=a^2+2ab+b^2=c^2，ab=（c^2-a^2-b^2）/2=（c^2-a^2-b^2）/2；

3. S三角形ABC=|axb|/2，

   （axb）^2

   =|axb|^2

   =a^2b^2-（ab）^2

   =a^2b^2-[（c^2-a^2-b^2）/2]^2

   =[ab+（c^2-a^2-b^2）/2][ab-（c^2-a^2-b^2）/2]

   =[c^2-（a-b）^2][（a+b）^2-c^2]/4

   =（c+a-b）（c-a+b）（a+b+c）（a+b-c）/4；

   =（2s-2b）（2s-2a）（2s）（2s-2c）/4

   =4s（s-a）（s-b）（s-c）；

4. S三角形ABC

   =|axb|/2

   =[（axb）^2]^（1/2）/2

   =[4s（s-a）（s-b）（s-c）]^（1/2）/2

   =[s（s-a）（s-b）（s-c）]^（1/2），证毕.

高等代数——

例题（来自《高等代数——大学高等代数课程创新教材（丘维声 著）》）——

证明：如果数域K上的n级矩阵满足AA'=I，|A|=-1，那么|I+A|=0.

证：|I+A|=|AA'+AI|=|A（A'+I）|=|A||A'+I|=-|（A+I）'|=-|A+I|，则|I+A|=0.

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