波束成形(Beamforming)的数学推导(一)---从发射端看
(本文在 B 站上，上传了一个小的讲解视频 https://www.bilibili.com/video/BV1914y1a73V/）
本篇小文尝试用简单的语言，把波束赋形的数学原理说一下，力求浅显易懂，同时给出一个简单的 python 代码来演示这些数学公式。
本篇文章参考了 [MIMO通信的角域表示 - 知乎 (zhihu.com)](https://zhuanlan.zhihu.com/p/369340833)，在此特别感谢。本文是对这篇文章中一个很小的一个部分的重写，使用更加详细的语言来把我的理解说一下。
我们要探讨的是波束如何成形的，也就是 “指哪儿打哪儿”，能让无线电波按照指定的方向打过去。
天线阵列，我们讨论的是 ULA（Uniform Linear Array，均匀线性阵列），如下图所示：
是水平均匀排列的一组天线，天线之间的间隔距离记为 d .
若不计信号的衰减，我们发射的数据是 s ( 一个复数 )，而且接收端与发射端距离足够远，发射端各个天线到接收端的单个天线，之间的连线，从发射端天线附近看起来就是平行的（实际上不是平行的，是接近平行，是为了计算的一种简化，如果不简化，计算就过于复杂）。
假如天线阵列连线 与 接收端连线构成的夹角为
那么接收端接收的 来自不同发射天线的无线信号，就有不同的时间延迟，进而有不同的相位旋转.
我们以最边上的一个发射天线为参照，我们选择直线距离最短的那个天线做参考，则第一根发射天线的发射无线电波到达接收天线，则紧挨着的第二根发射天线的无线电波，要比第一根发射天线发射的无线电波，多走的距离为
则第 k 根天线发射的无线电波比第一根天线发射的无线电波，多走的距离为
则多走的时间为: 多走的距离除以光速 c
我们讨论单频的电磁波，假设频率为 f，则由于多走的时间，导致的相位偏差为：
其中：
为波长。
我们把
则 N 个天线，对应的相位偏差分别为：
我们是在频域分析的，所以，相当于发射的信号，虽然从每个发射天线出来的信号都是一样的，但是接收端接收到的信号，则分别被乘以：
则接收到的信号为：
注意：上式除以了 N，是能量归一化，不影响分析。
则接收到的信号，相对于发射的信号，其变化为：
若仅考虑能量增益，则：
经过一些推导（可参考后面的附录），上式整理为：
把
代入后，我们可以计算不同的角度对应不同的增益， 当 为 0 时，取最大值，即
时取最大。
用 python 程序，在极坐标上画出来的增益曲线如下：
此程序中假设
第一个图：8个天线排一排
16 个天线排一排
可以看出来，天线多，则越集中。
附录：
若只考虑幅度，则上面推导中最后的两个分式中，第一个分式的模是 1，可以忽略。
