一道年代久远的压轴题的改编（圆锥曲线）

2022-09-03 18:10 作者:因恋相思久 0人读过 | 我要投稿

$%E5%B7%B2%E7%9F%A5%E6%A4%AD%E5%9C%86C%EF%BC%9A%5Cfrac%7Bx%5E2%20%7D%7Ba%5E2%20%7D%20%2B%5Cfrac%7By%5E2%20%7D%7Bb%5E2%7D%20%3D1%EF%BC%88a%EF%BC%9Eb%EF%BC%9E0%EF%BC%89$ 的短轴长为 $2%5Csqrt%7B2%7D%20$ ，离心率为 $%5Cfrac%7B%5Csqrt%7B2%7D%20%7D%7B2%7D%20$ .

（1）求椭圆 $C%0A$ 的方程

（2）点 $P$ 为直线 $x%3D4$ 上的动点，过点 $P$ 的动直线 $l$ 与椭圆 $C$ 相交于不同的 $A%EF%BC%8CB$ 两点，在线段 $AB$ 上取 $%E7%82%B9Q%EF%BC%8C%E6%BB%A1%E8%B6%B3%5Cvert%20AP%20%5Cvert%5Ccdot%20%20%5Cvert%20QB%20%5Cvert%20%3D%5Cvert%20AQ%20%5Cvert%20%5Ccdot%20%5Cvert%20PB%20%5Cvert%20$ ，证明：点Q的轨迹过定点.

（1）

$2b%3D2%5Csqrt%7B2%7D%20$

$e%3D%5Cfrac%7Bc%7D%7Ba%7D%20%3D%5Cfrac%7B%5Csqrt%7B2%7D%20%7D%7B2%7D%20$

$a%5E2%3D%20b%5E2%2B%20c%5E2%20$

解得

$b%3Dc%3D%5Csqrt%7B2%7D%20%EF%BC%8Ca%3D2$

$%E6%A4%AD%E5%9C%86C%E4%B8%BA%EF%BC%9A%5Cfrac%7Bx%5E2%20%7D%7B4%7D%20%2B%5Cfrac%7By%5E2%20%7D%7B2%7D%20%3D1$

（2）

$%E8%AE%BEQ%EF%BC%88x%EF%BC%8Cy%EF%BC%89%EF%BC%8CA%EF%BC%88x_%7B1%7D%20%EF%BC%8Cy_%7B1%7D%20%EF%BC%89%EF%BC%8CB%EF%BC%88x_%7B2%7D%20%EF%BC%8Cy_%7B2%7D%20%EF%BC%89%EF%BC%8CP%EF%BC%884%EF%BC%8Cm%EF%BC%89$

$%E7%94%B1%5Cvert%20AP%20%5Cvert%5Ccdot%20%20%5Cvert%20QB%20%5Cvert%20%3D%5Cvert%20AQ%20%5Cvert%20%5Ccdot%20%5Cvert%20PB%20%5Cvert%20$

$%E5%8F%8AP%EF%BC%8CA%EF%BC%8CQ%EF%BC%8CB%E5%85%B1%E7%BA%BF$

$%E8%AE%BE%5Cfrac%7B%5Cvert%20%5Cvec%7BPA%7D%20%20%5Cvert%20%20%7D%7B%5Cvert%20%5Cvec%7BPB%7D%20%5Cvert%20%7D%20%3D%5Cfrac%7B%5Cvert%20%5Cvec%7BQA%7D%20%20%5Cvert%20%7D%7B%5Cvert%20%5Cvec%7BQB%7D%20%20%5Cvert%20%7D%20%3D%5Clambda%20%EF%BC%88%5Clambda%5Cneq%200%EF%BC%8C%C2%B11%20%EF%BC%89$

所以 $%5Cvec%7BPB%7D%3D%20%5Clambda%20%5Cvec%7BQB%7D%EF%BC%8C%20%5Cvec%7BPA%7D%20%3D-%5Clambda%20%5Cvec%7BQA%7D%20$

有

$4%3D%5Cfrac%7B%5Clambda%20x_%7B2%7D%20-x_%7B1%7D%20%20%20%7D%7B%5Clambda-1%20%7D%20$ ①

$m%3D%5Cfrac%7B%5Clambda%20y_%7B2%7D%20-y_%7B1%7D%20%20%20%7D%7B%5Clambda-1%20%7D$ ②

$x%3D%5Cfrac%7B%5Clambda%20x_%7B2%7D%20%2Bx_%7B1%7D%20%20%20%7D%7B%5Clambda%2B1%20%7D$ ③

$y%3D%5Cfrac%7B%5Clambda%20y_%7B2%7D%20%2By_%7B1%7D%20%20%20%7D%7B%5Clambda%2B1%20%7D$ ④

① $%5Ctimes%20$ ③

$4x%3D%5Cfrac%7B%5Clambda%5E2%20x_%7B2%7D%20%5E2-x_%7B1%7D%5E2%20%20%20%7D%7B%5Clambda%5E2-1%20%7D$ ⑤

② $%5Ctimes%20$ ④

$my%3D%5Cfrac%7B%5Clambda%5E2%20y_%7B2%7D%5E2%20-y_%7B1%7D%5E2%20%20%20%7D%7B%5Clambda%5E2-1%20%7D$ ⑥

⑤＋2⑥

$4x%2B2my%3D%5Cfrac%7B%5Clambda%20%5E2%EF%BC%88x_%7B2%7D%5E2%2B%202y_%7B2%7D%5E2%20%20%EF%BC%89-%EF%BC%88x_%7B1%7D%5E2%2B%202y_%7B1%7D%5E2%20%20%EF%BC%89%20%7D%7B%5Clambda%20%5E2-1%20%7D%20%3D4$