函数没学懂？从头讲解本质，一通百通！

我，一中数学月考段一，又来啦QWQ。本笔记包含了我个人的一些理解，比那些只会做视频字幕+截屏的笔记强多了。

这回不会像上次写求导一样讲很“高级”的做法，只是整理一下重点。

Part 1：定义域

定义域始终是 x 的取值范围

重点：“括号内范围不变”。

先看看例题

这题“括号内”就是 x 和 2x+1。旧的 x 的范围就是新的 2x+1 的范围。

不妨再看一道例题吧。

这里“括号内”原来是 x+1 ，后来是 x^2 。

我们先求出 x+1 的范围是[0,16]，由于“括号内范围不变”，x^2 的范围也是 [0,16]。所以 分子的（新的） x的范围是[-4,4]。

同时，要满足分母>0，于是分母的 x 的范围是(1,+INF)。（INF就是无穷）

所以最终的答案是他们取交集 (1,4] 。

至于具体函数，实际上就是让它有意义。需要考虑的是：

• 分母
• 根号

其实非常简单啦qwq

Part 2：函数相等

虽说函数有三要素，但是实际上我们只要考虑定义域和对应关系。

一般来说，考点还是只有两个，想想是什么？

对，就是上面五行的“分母”和“根号”。想想让某个函数无意义（不能取）的值在另一个里能不能取呢？

Part 3：求解析式

• 法一：大换元术
• 适用于 f ( 一大坨 ) = 另一大坨 的情况。
• 具体怎么做捏？

1. 令 t = 一大坨，注意 t 的取值范围。
2. 用 t 表示 x ，把另一大坨换成 t 的形式。
3. 现在 你得到了 f ( t ) = 新的一坨。它就是要求的解析式。
4. 答案中，无脑把 t 写成 x。x 的范围（定义域）就是 t 的范围。

• 法二：待定系数
• 使用于 知道 f(x) 是几次函数的情况。
• 拿一哥的例题举例

1. 我们先设 f (x) = ax+b （或者二次或者反比例什么的）
2. 然后无脑展开。左边变成 a (x+1) + b。右边变成2 * (ax+b) + 2x + 4。
3. 化简一下，ax + (a+b) = (2a+2)x +(2b+4)
4. 由于任何 x 它们都相等，所以各项的系数相等。即
5. a=2a+2
6. a+b=2b+4
7. 然后就是小学生都会做啦

• 法三：赋值法
• 由于 x 取任何值都成立，所以我们可以随便赋特殊值。
• 消元的思想。
• 比如说题目里有 f (x) 和 f (-x) 我们就取 x，-x 分别代入（如果怕混可以写成 a 和 -a）
• 如果是 f (x) 和 f (1/x)，就取 x，1/x 代入。
• 总之就是有什么代什么。

Part 4：分段函数

无论那种题型，第一步：画图。这是因为一般这种分段函数不会难画，画图非常直观。除了成绩非常非常好并且讨论不会漏的同学，非常不建议直接硬带。反正画个图就一分钟的事awa

Part 4.1：分段函数相等

对于 f (一大坨) = f (另一大坨) 的题。我们先写成 f (a) = f (b)。

然后稍稍讨论一下：

• 当 a=b
• 当 a 不等于 b ，则看图找什么情况能相等。

Part 4.2：分段函数嵌套求值

无脑从里往外拆就完了。先算最里面，然后用它的答案算外面。

Part 4.3：函数值在区间内

在图像上标出区间，然后找到使函数值等于区间端点的 x。反正画了图都看得出来。

看道例题，这种高考题随便画个图就一目了然了。