阿基米德三角形与实际应用

什么是阿基米德三角形呢？
由于最近大家要学习二次函数了，我就来说一说这个特殊的“三角形”，所谓阿基米德三角形就是在抛物线（更一般的二次函数）上任取三点作抛物线的切线，所围成的三角形就是阿基米德三角形；
关于它的诸多性质，我们今天仅拿出面积相关的两个加以叙述，先来看一个引理：
如图，抛物线以F为焦点，O为顶点，E为准线与轴交点，AB为上两点，AC、BC为抛物线切线，D为AB中点，则：
（1）CD与抛物线对称轴平行（图中即x轴）；
（2）CD与抛物线交点是CD中点（图中为M）；
（3）过M的切线与AB平行；
这三个命题几乎是显然的，在这里不加叙述，读者自证不难（可以将它转化为二次函数的问题，与F、E实际上没有关系，只是为了确定位置）

有了上面的引理我们这样来构造：
如下图P、Q为过M切线与BC、AC交点，由引理，PQ为三角形ABC中位线，故有三角形ABM的面积是CPQ面积的2倍；

再如下图，取AM、BM中点，如上构造，可以得到对应蓝色三角形面积比为2:1；（图中隐藏了部分点的标签）

再如图把这个操作再次进行一遍（图中的绿色三角形），可知面积比还是2:1；

所以，如果这个操作次数是无限次的话，就可以得到下图中红色部分与三角形ABC的面积比为2:3；
这个是阿基米德三角形的一个小性质（虽然和阿基米德三角形没啥关系）
其实，如果最开始的M不是特殊的CD中点，而是一个动点，那么三角形ABM与CPQ的面积比仍然为2:1，这个证明也不复杂，读者可以自己思考；

那么说这么多都是为了下面这道题做一个铺垫，这是一道物竞题，感谢赵同学给出的一种解法，我在这里给出一种偏数学的第一题的另解，
大家不妨参考一下，对比一下；

那么这一期就到这里就结束了，希望大家自己可以用二次函数来推导引理，真正掌握这个性质（切线其实可以理解为联立后判别式为0）