重庆市南开中学高2023届高三第七次质量检测数学试题答案汇总

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教材分析

一、内容解析

本节课选自《普通高中课程标准数学教科书-必修第二册》（人教A版）第六章《平面向量及其应用》，第3节平面向量基本定理及坐标表示——第5课时平面向量数量积的坐标表示.

本节课通过力的分解引出平面向量基本定理；然后，通过平面向量基本定理引出向量的正交分解，借助平面直角坐标系，给出向量的坐标表示；最后，介绍向量的线性运算、数量积运算的坐标表示，并用坐标表示两个向量共线、向量垂直的条件及两个向量的夹角.

一方面，学生学习了平面向量的数量积，以及平面向量的坐标表示.那么在有了平面向量的线性运算坐标表示后，就顺其自然的要考虑到平面向量的数量积是否也能用坐标表示的问题，因此本节课是前面内容的补充和延伸，是后面平面向量应用于几何问题的知识铺垫；另一方面，平面向量数量积的坐标表示，就是运用坐标这一量化工具表达向量的数量积运算，为研究平面中的距离、垂直、角度等问题提供了全新的手段，它把向量的数量积与坐标运算两个知识点紧密联系起来，是实现距离、夹角问题代数化的重要环节.

基于内容的上下位关系，教师应在坐标基底向量的数量积基础上，推导向量数量积的坐标表示，通过问题情境、任务探究、方法应用，让学生总结归纳出已知向量的坐标、数量积、向量所成角及模等几个因素，求出其他因素的方法；再通过问题引导，将“模长”、“夹角”“不等式”与向量的坐标相联系得到“两点间距离公式”，“夹角坐标公式”、“向量垂直与共线的坐标表示”.

二、思想方法解析

平面向量的数量积坐标表示的推导过程运用了基底法，应用了利用向量解决问题的核心方法；另外，平面向量数量积的坐标表示与夹角、距离、垂直共线、不等式等内容建立了联系，尤其是在证明两角差的余弦公式中，与上学期几何方法比较，表现出了较高的优越性，进一步体现了向量在解决几何问题中的工具性作用，因此本节课可以有效培养学生数学抽象、逻辑推理、数学运算、直观想象等核心素养.

学情分析

学生已了解实数的运算本质，对向量的概念、线性运算及研究向量的一般方法有了初步的认识.这些预备知识，为学习数量积的坐标表示做了一定的铺垫.但是，还有两方面的认知障碍需要教学中特别注意：

1. 数量积的定义中，是用长度和夹角表示的，向量的坐标表示中如何找到隐含的长度夹角信息，借助向量正交分解求数量积是本节课的难点；

2. 用向量数量积可以解决一些几何问题，体现在坐标运算上更加简便，如果没有对比，学生可能难以理解，所以要充分设计这一环节让学生体会其优越性.

目标分析

1.通过对问题情境的探究转化，感悟几何问题与平面向量之间的联系；

2.经历问题情境的解决过程，发现两向量在具体坐标下数量积求解方法，并能归纳出向量数量积表示的一般性结论；

3.通过对例题的探究，初步体会向量数量积的坐标表示在距离、夹角、不等式等方面的应用，再次感悟向量在沟通“数”与“形”方面的发挥的巨大作用.

教 学 重 难 点

教学重点：探究向量数量积的坐标表示，并学会应用它解决简单的几何问题 

教学难点：几何问题的等价转化与向量数量积坐标表示的探究过程.