MIMO初步（一）如何计算信道的系数

本文简单介绍一下 MIMO 系统，只需要最简单的线性代数的基础，会解方程组，能理解矩阵乘法和可逆矩阵即可。

之前单天线发送单天线接收的系统，相对于多天线系统，比较简单。有了多天线，系统就变得复杂了，信道的参数变多了，而且，是发射的天线多还是接收的天线多，这也造成了不同的情况。

这里假定大家知道什么是 MIMO 了，我们就直接开始分析两个主要问题：

1）如何能估计出信道的参数？

2）如何能估计出发送的原始数据是什么？



如何估计信道的参数

我们分四种情况来讨论:

一发两收的情况

设 w11 表示从发射天线1到接收天线1的系数，w12 表示从发射天线1到接收天线2的系数。那么发送一个已知的数据 x， 接收到的数据，接收天线1上接收到的数据是  y1，接收天线2上接收的数据是 y2，则有如下两个方程，其中 x, y1 和 y2 是 已知量，未知的是 w11 和 w12:

可以和容易看出来， w11 和 w12 都是有解的：

用矩阵来表示的话：

则：

两发一收的情况

设从发射天线1到接收天线1的系数为 w11，从发射天线2到接收天线1的系数为 w21，同一时刻，可以从两个发射天线上同时发射数据出去，设这两个数据为 x1 和 x2 ，此时接收天线上接收到的数据为  y1.  那么，我们可以列出一个方程出来，同样，这个方程中 w11 和 w21 是未知数：

一个方程，但是有两个未知数，所以，还需要构造出一个方程，才能确定一个唯一解，假设在下一时刻，又发送两个数据，假设两个时刻点上，信道的系数没有变化，第二个时刻发送的数据可以是 -x2 和 x1，即 -x2 从第一根天线上发射出去，x1 从第二根发射天线发射出去，假设此时接收到的数据为  y2，则可以列出来此时的方程，其中 w11 和 w21 是未知数：

则上面的两个方程联立，可以确定唯一的解，把以上两个方程写成矩阵形式：

则可以写出解的表达式：

两发三收的情况

设：

从发射天线1到接收天线1的系数为 w11，从发射天线1到接收天线2的系数为 w12，从发射天线1到接收天线3的系数为 w13

从发射天线2到接收天线1的系数为 w21，从发射天线2到接收天线2的系数为 w22，从发射天线2到接收天线3的系数为 w23.

则第一时刻，从两根天线上发出的信号是 x1 和 x2，此时三根天线接收的信号分别是 y1，y2, y3，那么可以列出来三个方程，方程中 w 是未知数：

上面把三个方程故意错开摆放，是因为每个方程的未知数是不一样的，让未知数上下对齐。

可以看到，三个方程，但是有 6 个未知数，所以，还不能确定唯一解。

则在下一个时刻，再通过两根发射天线发射两个数据，记为 x3 和 x4， 三根天线接收的信号分别是 y4，y5, y6，同理，可以列出来三个方程，方程中 w 是未知数：

上面把三个方程故意错开摆放，是因为每个方程的未知数是不一样的，让未知数上下对齐。

现在，总共有 6 个方程，6 个未知数，可以确定出唯一解来了（当然需要满足一点条件），我们把 6 个方程都摆在一起：

我们把第一个和第四个方程放到一起：
把第二个和第五个方程放到一起：
把第三个和第六个方程放到一起：

写成矩阵形式，使用逆矩阵，可以把 6 个未知数都解出来：

          则：




    对于第二对方程：

          则：

 对于第三对方程：

          则：

上面三对方程，统一成一个矩阵来表示：

     则

三发两收的情况

设：

从发射天线1到接收天线1的系数为 w11，从发射天线1到接收天线2的系数为 w12

从发射天线2到接收天线1的系数为 w21，从发射天线2到接收天线2的系数为 w22

从发射天线2到接收天线1的系数为 w31，从发射天线2到接收天线2的系数为 w32

则第一时刻，从三根天线上发出的数据为 x1,x2 和x3，两根接收天线上收到的数据为 y1, y2, 那么可以列出来两个方程，方程中 w 是未知数：

可以看到，上面是两个方程，6个未知数，显然无法确定唯一解。

第二个时间，再从三根天线上发出的数据为 x4,x5 和x6，两根接收天线上收到的数据为 y3, y4, 那么可以列出来两个方程，方程中 w 是未知数：

则一共 4 个方程，6 个未知数，显然还是无法确定唯一解。

第三个时间，再从三根天线上发出的数据为 x7,x8 和x9，两根接收天线上收到的数据为 y5, y6, 那么可以列出来两个方程，方程中 w 是未知数：

至此，有 6 个方程 6个未知数，原则上可以确定唯一的一组解了。

我们把第一个方程，第三个和第五个方程摆在一起：

把第二个方程，第四个和第六个方程摆在一起：

把上面两组方程写成矩阵形式，并求解：

和


则使用逆矩阵的方法，很容易求解出来：

和

合并成更精简的形式：

求解也变得很精简的表达式：


总结规律：从接收天线端来看，每个接收天线分开看，每次看一个天线，则都如 多发单收的情况，每一次发射（多个天线同时发）构成一个方程，为了解出多个系数，则需要多次发射。