1.狄利克雷逼近定理

如果α是一个实数，对任意一个正整数n，存在整数a和b，1≦a≦n，使得|aα-b|＜1/n.

分析:这里是证明a和b这两个整数是存在的，我们知道1/n=(k+1-k)/n，因此可以考虑构建含有α的两个式子之差与之类似.另外，我们知道{α}∈[0,1)，将该区间划分为∪[k/n,k+1/n)，k∈[0,n)，一定有0∈[0,1/n)，结合抽屉原理，我们不妨设n+1个数，其一般形式为jα，j∈[0,n].注意，以上k和j均为整数.

证明:

∵{α}∈[0,1)

∴{jα}∈[0,1)，j=0,1,...,n.

将[0,1)分成∪[k/n,k+1/n)，k=0,1,...,n-1.

∴任意j，存在k，使{jα}∈[k/n,k+1/n).

{jα}这样的数共有n+1个，而[k/n,k+1/n)这样的区间只有n个，由抽屉原理可知，至少有两个数在同一个区间.用两个不同整数m和n（0≦m,n＜1）表示，则这两个数分别为{mα}、{nα}.

∴|{mα}-{nα}|＜1/n

∵{mα}=mα-[mα]，{nα}=nα-[nα]

∴|mα-[mα]-(nα-[nα])|

即有|(m-n)α-([mα]-[nα])|

令a=m-n，b=[mα]-[nα]即可

2.证明当x为非负数时，[√([x])]=[√(x)]

证明:

当x∈[0,1]时容易得到结论，故仅证明x＞1的情形

∵[x]≦x

∴√([x])≦√(x)

∵√(x)-1＜√(x-1)，√(x)＜√(x)+1，x-1＜[x]

∴√(x)-1＜√(x-1)＜√([x])≦√(x)＜√(x)+1

∴[√(x)]-1=[√(x)-1]＜[√([x])]≦[√(x)]＜[√(x)+1]=[√(x)]+1

∵[√(x)]-1、[√(x)]、[√(x)]+1之间别无整数

∴[√([x])]=[√(x)]