4.3 CFD的基本求解思想

4.3.1 解析解（精确解）与数值解（近似解）的概念

解析解是指通过严格的公式推导得出的解，解析解是一个封闭形式的表达式，所以也叫封闭解，它能够给出未知函数在求解区域内的连续解（如图2- 19A）。

定义部分看着比较枯燥，我们用中学时代学过的一元二次方程来举例说明，一元二次方程的一般形式为：

其解析解为：

即我们可以通过一个通式，得到我们想要的任意点的值。

       但是，并不是对所有的方程都可以得到解析解。比如，我们在2.4 节得到的控制流体运动的微分方程：

上式涉及到非线性偏微分方程，人类目前的数学知识还无法得到其精确的解析解。得不到精确解，工程界又想要一个解，那该怎么办呢？

山重水复疑无路，柳暗花明又一村。在纯粹数学家一筹莫展之时，应用数学家出手了。应用数学家发明了将微分方程转化成代数方程的方法。就如同第4.1和4.2节的内容告诉我们的那样，我们可以将上式中微分形式转换成代数形式，从而得到代数方程。人类目前已经有足够的数学知识来求解代数方程，通过求解代数方程，可以得到一个近似的数值解（如图2- 19B），通过观察这个数值解，人类可以窥探流体世界的一些端倪。用一句话概括CFD的主要思想：把偏微分方程转化成代数方程，通过求解代数方程，得到对应问题的数值解（近似解）。

将微分方程转化成代数方程涉及到微分方程的离散化。而代数方程的求解需要一个个离散点上的值（如图2- 19B），这又涉及到求解域的离散化。

即我们需要两类离散：

一类是求解域的离散化，即CFD中的画网格。

一类是微分方程的离散化，即各种离散方法。

所以，本章下面的内容主要是研究怎么离散化求解域和离散化微分方程，研究怎么把离散后的求解域和代数方程联系起来。

                                                                                                                       ——田东