【阅前提示】本篇出自『数理化自学丛书6677版』，此版丛书是“数理化自学丛书编委会”于1963-1966年陆续出版，并于1977年正式再版的基础自学教材，本系列丛书共包含17本，层次大致相当于如今的初高中水平，其最大特点就是可用于“自学”。当然由于本书是大半个世纪前的教材，很多概念已经与如今迥异，因此不建议零基础学生直接拿来自学。不过这套丛书却很适合像我这样已接受过基础教育但却很不扎实的学酥重新自修以查漏补缺。另外，黑字是教材原文，彩字是我写的注解。

【山话嵓语】我在原有“自学丛书”系列17册的基础上又添加了1册八五人教中学甲种本《微积分初步》，原因有二：一则，我是双鱼座，有一定程度的偶双症，但“自学丛书”系列中代数4册、几何5册实在令我刺挠，因此就需要加入一本代数，使两边能够对偶平衡；二则，我认为《微积分初步》这本书对“准大学生”很重要，以我的惨痛教训为例，大一高数第一堂课，我是直接蒙圈，学了个寂寞。另外大学物理的前置条件是必须有基础微积分知识，因此我所读院校的大学物理课是推迟开课；而比较生猛的大学则是直接开课，然后在绪论课中猛灌基础高数（例如田光善舒幼生老师的力学课）。我选择在“自学丛书”17本的基础上添加这本《微积分初步》，就是希望小伙伴升大学前可以看看，不至于像我当年那样被高数打了个措手不及。

第四章因式分解 

§4-8最低公倍式

【01】在算术里，我们也学过几个整数的最小公倍数。现在我们先来复习一下最小公倍数的意义和求法。

【02】一个整数，如果它能够被另外的一个整数整除，就叫它做后一个数的倍数，例如 36 是 12 的倍数，36 也是 18 的倍数。几个数共同的倍数叫做这几个数的公倍数，例如 36 是 12 和 18 的公倍数。几个数的公倍数是很多的，例如 36 是 12 和 18 的公倍数，72 也是 12 和 18 的公倍数。在几个数的所有公倍数里，最小的一个公倍数叫做这几个数的最小公倍数。例如 36 是 12 和 18 的最小公倍数。

【03】要求两个数的最小公倍数，要先把这两个数分解成质因数的连乘积，并把相同的质因数写成幂的形式，把两个数的所有的不同质因数（如果某些质因数有幂的形式，要选取次数最高的）都选取出来，它们的连乘积就是所求的最低公倍数。

例1.求 12 和 18 的最小公倍数。

【解】12＝2²·3，18＝2·3²  。∴ 12 与 18 的最小公倍数是 2²·3²＝36  。

例2.求 96，192 和 288 的最小公倍数。

【解】96＝2⁵·3，192＝2⁶·3，288＝2⁵·3²  。∴ 所求的最低公倍数是 2⁶·3²＝576  。

【04】类似地，如果一个整式 A 能够被另一个整式 B 整除，那末 A 就叫作 B 的倍式。例如 x²－y² 能被 x－y 或者 x＋y 整除，所以 x²－y² 是 x－y 的倍式，也是 x＋y 的倍式。

【05】几个整式共同的倍式，叫做这几个整式的公倍式。例如，对于两个整式 a²b 和 ab² 来说，下面的这些整式 a²b²，a²b³，a³b²，a⁴b²，a²b⁴，…都是它们的公倍式。

【06】在几个整式的公倍式中，次数最低的一个整式，叫做它们的最低公倍式。例如 a²b² 是 a²b 和 ab² 的最低公倍式。

【07】求几个整式的最低公倍式的方法，和算术里求几个整数的最小公倍数的方法很相象，举例说明如下。

例3.求－8x²y³z⁴，－12x³y²z，－2axy⁵z² 的最低公倍式。

【解】这三个式子都是单项式，已经都是各个因式的连乘积的形式。

        拿数字系数来说，8，12，2 的最小公倍数是2³·3＝24  。（负号通常不要选入，因为没有负号也可以整除）

        对于字母 a，x，y，z 各取最高的幂，是 ax³y⁵z⁴  。∴ 这三个代数式的最低公倍式是 24ax³y⁵z⁴  。

例4.求 (a²－b²)²，(a³＋b³)(a³－b³)，a(b＋a)³ 的最低公倍式。

【解】分解各个式子成因式：

        (a²－b²)²＝[(a＋b)(a－b)]²＝(a＋b)²(a－b)²；

        (a³＋b³)(a³－b³)＝(a＋b)(a²－ab＋b²)(a－b)(a²＋ab＋b²)；

        a(b＋a)³＝a(a＋b)³  。

    ∴ 最低公倍式是 a(a＋b)³(a－b)²(a²－ab＋b²)(a²＋ab＋b²)  。

例5.求 x²＋y²，y²－x²，x³－y³ 的最低公倍式。

【解】分解因式：

        x²＋y²＝x²＋y²；

        y²－x²＝－(x²－y²)＝－(x＋y)(x－y)；

        x³－y³＝(x－y)(x²＋xy＋y²)  。

    ∴ 最低公倍式是 (x²＋y²)(x＋y)(x－y)(x²＋xy＋y²)  。

【说明】x²＋y² 与 x＋y 不同，不要把 x²＋y² 当作 (x＋y)²  。

习题4-8

求下列各式的最高公因式及最低公倍式：

【答案】