《自然辩证法·学习札记》1.8 数学是从现实世界中抽象出来的

【本文转载自上海人民出版社1973年版 仅供学习参考】

1.8 数学是从现实世界中抽象出来的

  数学是一门高度抽象的科学。因此，唯心论者历来喜欢利用数学来宣扬唯心论的先验论。杜就把数学的概念和命题，胡说成是人类精神的纯粹的“自由创造物和想象物”。

  恩老师在《反杜林论》中指出：“数和形的概念不是从其他任何地方，而是从现实世界中得来的。”在原始社会中，由于计量猎获物的需要，人们才逐渐有了1，2，3，4等整数的概念，它们是从一匹马，二只鹿，三头牛，四条鱼等等具体事物中抽象出来的，同时逐渐形成加、减、乘、除等算术运算。形的概念，也是人们在制造器皿和测量土地等实践活动中形成的，我国古代劳动人民早就利用规[i]矩[ii]来制作圆形和方形，为生产实践服务；在古代埃及，尼罗河每泛滥一次，都要重新丈量土地。“几何”一词的原意就是“丈量土地”。像“径一周三”是关于直径和圆周比值的近似规律，“勾三股四弦五”以及更一般的勾股定理[iii]则总结了直角三角形的重要性质，它们都是在土地测量、制造圆形工件中抽象出来的。数学也和其他科学一样，一开始就是从生产实践中产生的。

  变数是数学中的转折点。近代数学[iv]就是在研究变数的基础上发展起来的。变数这个概念也是从现实世界中来的。十七世纪以来，生产斗争和jj斗争的发展，要求数学不仅反映客观世界事物的相对稳定状态，还要反映事物的运动和变化。在水利工程中要研究水流的速度，在弹道学中要研究炮弹的速度，这些问题都和自由落体的运动有关。一个物体受到重力作用从高处自由地下落，每秒钟内它的下降距离是随时间而变的，经过测定，第一秒钟下落4.9米，第二秒下落14.7米，第三秒下落24.5米，······。在这种运动中时间在变化，物体下落的路程在变化，而且下落的速度也在变化，数学中的变数，就反映了现实世界中多种多样的变化着的量。

  事物的变化，总是体现在一事物同他事物的相互关系之中。在数学中通常用x和y来表示一对相互依赖的变数，它们之间的相互关系，称为函数关系。例如，在落体运动中，时间和路程就是一对相互依赖的变数，时间变化了，下落的路程也随之而变化，函数关系就表示它们在变化中的规律。用x和y来表示的变数，显然就比时间、路程等概念抽象得多了，因为它们已经撇开了具体的内容，纯粹地从数量方面来进行研究了。但是，正如恩老师所指出的：“纯数学的对象是现实世界的空间形式和数量关系，所以是非常现实的材料。这些材料以极度抽象的形式出现，这只能在表面上掩盖它起源于外部世界的事实。”变数x和y之间的函数关系，就是起源于现实世界事物的运动，决不是从头脑中凭空产生的。

  变数进入数学以后，微积分也就立刻产生了，它是进一步研究变数和函数的有力工具。微积分的概念和方法，也同样是从物理模型中抽象出来的，它对于研究变速运动是非常必要的。在匀速运动中，并不需要微积分，例如一个人在通常情况下走路，快慢变化不大，就可以看成匀速的，这时，由路程和时间来计算速度，用除法就够了。例如，如果知道这个人在3小时内走了15公里，那末他的速度就是15/3=5公里／时，即每小时走5公里；反过来，如果已知速度是5公里／时，那末经过3小时，所走的路程就是速度乘上时间：5×3=15公里，即一共走了15公里，用乘法就够了。但是，一旦我们要去研究变速运动[v]，速度随时在改变，除法和乘法就不够用了，就得用新的数学方法。在自由落体运动中，下落路程除时间只是落体在这一段时间内的平均速度，而不是它的各个瞬时的真实速度，但是，如果把时间间隔分得细一些，那末平均速度和真实的速度就会接近一些，时间越分越细，平均速度就越来越接近某一瞬时的真实速度，把时间无限细分达到零，这时平均速度就转化成为物体在这一瞬时的真实速度。微积分的概念和方法就是从这里产生的。时间间隔的无限细分叫做时间的微分，相应地，路程的无限细分称为路程的微分。相反地，如果已经知道瞬时的真实速度，要求物体所经历的路程，就得用积分法，它是把物体的运动过程无限细分，同时又无限积累起来，反映事物经历变化全过程以后的结果。所以微分和积分的概念和方法就来自求速度和求路程这样非常具体的问题。对自然界来说，均匀变化是相对的，如果有均匀变化，那也只是一种近似，所以在自然界不断地发生微分和积分的过程，它和人所进行的微分和积分运算的区别只在于：“一种是由人的头脑有意识地完成的，另一种是由自然界无意识地完成的。”[vi]我们的微积分概念和方法，就是自然界事物的变化过程的反映。自然界为这些概念和方法，提供了多种多样的原型，例如，水的蒸发、气体的加热膨胀、放射性物质的蜕变等等都表现了自然界本来的微分和积分的过程。诚然，在纯数学中，微分和积分是以抽象的形式出现的，但是正因为它们来自现实世界，经过了实践的检验，所以是一种科学的抽象。“一切科学的（正确的、郑重的、不是荒唐的）抽象，都更深刻、更正确、更完全地反映着自然。”[vii]

  然而，许多zcjj学者不能理解数学的现实来源，片面地强调它的抽象性而抹煞它和现实世界的联系，讲数学不结合物理模型，越搞越脱离实际，有人甚至把变数x和y看成是“纯粹的符号”，把数学的演算看成是“公式组合的游戏”。他们虽然也无法否定数学在实际中的应用，但是由于不承认数学来源于现实世界，其结果就必然会走上唯心论的先验论，把数学的成果看成是先天的。康德正是利用数学有广泛应用这一点而鼓吹先验论的，他说数学“只包含纯先验的知识”，像5+7=12这样的等式，在康德的心目中，也不是实践经验的概括，而是一个“先天的判断”。杜追随着康德，也借助于数学来宣扬他的反动哲学：先从头脑中炮制出一套先验的“原则”乃至“世界模式”，然后把它们强加给自然界和人类世界。[-]一伙鼓吹什么“天赋”的才能，妄图把他们的反gm梦想“从主观倒客观”地“灌输”给现实世界，以为凭借着他们的主观愿望，就可以使地球停止转动，[-]，这也完全是杜的反动哲学的翻版。坚持数学领域中的唯物主义的反映论，批判唯心论，有助于我们进一步深入批判和揭露[-]的唯心论和先验论。

注：

[i] 圆规。

[ii] 直尺。

[iii] 直角三角形两直角边平方之和等于斜边的平方。

[iv] 首先是微积分。

[v] 如自由落体运动。

[vi]《自然辩证法》。

[vii] 列宁：黑格尔《逻辑学》一书摘要。