【关于无穷小量和无穷的定义】

前置知识需要对射影几何的【无穷远点】【无穷远直线】有了解。

    简单规定下:在更加“普遍”意义上的射影几何上，每一个直线上面再加一个无穷远点，不再规定“平行直线不想交”而是相交于同一个无穷远点，所有无穷远点构成一条无穷远直线。

     这样的规定下，任意两条直线都相交于一点，要么是“有穷远点”要么是“无穷远点”。（这样一来便可以保证“射影”变换下，像与原像形成双射）（（这一段有兴趣的自己搞吧，和文本无关，只是说明为什么要搞这样一个无穷远点和无穷远直线））

     【正文】既然定义了“无穷远点”，随之而来就会有很多性质。（把加入了这些性质的平面称为“拓广平面”）

1.拓广平面上的直线，两段无限延伸相连于无穷远点，即，直线的某一理解模型为闭合图形。

2.所有平行直线交于同一无穷远点，因此，对于一个点作为中心，每个“方向”上有唯一无穷远点，因此，平面的某一理解模型为一个有界圆盘，圆周为无穷远直线。

由上可知

对于数轴，易知正方向上的+∞与负的-∞相连于“无穷远点”，定义其在数轴上为Θ。

即有

+∞=-∞=Θ

笛卡尔坐标系（正交坐标系）的两个轴考虑为在无穷远处相连的拓广直线:

现在考虑y=1/x，x等于0时的情形，可知

1/0=Θ，可知，为了使得运算不矛盾，要有:

2/0=2（1/0）=2Θ

现在考虑“除法运算”的意义:

6÷2=3

     6-2-2-2=0

3=6减到0需要三步

即有

1÷0=Θ

      1-0-0-…-0=0

Θ=1减到0需要【无穷】步

现在考虑aΘ,a∈R的意义:

我们有2÷0=2Θ即

      2-0-0-…-0=0

2Θ=2减到0需要两倍于（1减到0的）【无穷步】。

因此定义Θ为:Θ=1/0，指以y=1/x中函数图像逼近x轴的【速率】定义的【无穷】。

易知，⊙Θ之间存在运算，即存在⊙Θ^n，n∈R

对于“乘法运算”的意义:

2×3=6可看做

2×1×3=6

1.把数轴拉伸三倍，即把单位1拉伸三倍后2的位置为“6”

2.以2为单位，0+2+2+2=6走三步。

（可以看出乘法与除法互为逆运算，前者为从0出发走到某数的步数or拉伸数轴，后者为从某数回到0需要的步数or压缩数轴）

现在考虑在乘法领域内:

   2≠3

2/0≠3/0

2×0≠3×0

定义1×0=τ

易知Θ=1/τ

即有:2×0=2τ，3×0=3τ

可以看出，τ为某种无穷小量

现在考虑无穷小量τ，2×0=2×1×0

可看做是2×（1×0）=0即单位的“消失”，或者认为“数轴被探索成一个点时不是瞬间坍缩，而是以某个‘速率’”。

因此定义τ为:1×0=τ，指以1×0=0为【速率】的【无穷小量】。

易联想到数学分析中极限的“等价无穷小”，因此与其认为，“无穷小是一个极限为0的过程”，不妨认为“所有数字都是一个过程”。且我们定义对于任意“过程”需要时间t，即，不同运算之间会有【速率】的区别。

我们定义“≡”为【最终等于】

定义=为“时间上同步，数值上等于”

易知:

1）

2×1≡2×1×1

2×1≠2×1×1（前者更快）

2）

2×0≡3×0

2×0≠3×0

这样便可以把再次之前的运算体系包括进来。

即对于有限t，1/0=不被定义。

要首先定义【无限t】，才有1/0≡Θ

这样，不仅无穷大和无穷小量是过程，所有数字都是【过程】。

因此有Θ，τ为在【无限t】下以某个速率到达的【无穷】和【无穷小量】

因此在数轴上，【无穷小量】对应有穷点 

【无穷】对应无穷远点。

便有1/0≡Θ

tan（π/2）≡Θ

对于Θ，τ的运算:

Θ±任意有穷量=Θ

τ±任意有穷量=τ

（注意是“=”不是“≡”）

同时，对于拓广平面内的直线，所有直线都在无穷远点处闭合，也就自然有所有直线都存在一个模型是闭合曲线。

又因为Θ=1/τ

可知所有曲线都存在有某个【无穷小量】之下是直线。即，直线总是可以作为“曲线”的局部，同时，这不是一种“近似”，而是在【无限t】得出的必然。