《群论》第二章抽象群论元素

2021-10-05 10:33 作者:Chemyy 0人读过 | 我要投稿

群论

作者：Dimitri.V.Vedensky

译者：Chemyy & 有道娘

第二章抽象群论元素

数学是一场游戏，遵从白纸上明确的规则及无意义的符号。——大卫·希尔伯特

物理中对称性的重要性，尤其对于量子力学来说，我们在上一章已经讨论过了。在这一章，我们通过引入群和一些相关的概念，形成我们对群的代数解析。在下一章我们还会探索这种代数解析在物理上的用途。

2.1 群：定义与实例

在物理中，我们引入代数解析用于描述对称性的潜动力在于变换，而群的定义诞生于一个变换有多么魔幻。于是，我们首先先提出一些抽象群都应该满足的条件，然后看一些相关实例。

定义：一个群G是由一些元素{a,b,c……}（元素不只是数值，还可以是向量、矩阵、函数甚至是另一个群等客体——译者注）和一个二元构成法则构成。这个法则一般称为乘法（和我们理解的数乘不太一样，更标准的表述是“操作“，但可以用普通乘法来理解相关概念，在下文会具体讲述——译者注），有以下几条性质：

1. 封闭性：G中的任两个元素a,b的乘积（不一定是我们一般提的乘积，更应该表述为操作的复合——译者注），称为c=ab，也是G中的元素。

2. 结合律：二元构成法则——操作复合——具有结合律，对任意G中的三个元素a,b,c，有a（bc）=（ab）c。

3. 恒等元：G中存在一个元素e，称作单位元或者恒等元，对任意的a有ea=ae=a。

4. 可逆元：对G中任意一个a，都有它的逆元，写作a^(-1)也在G中，有aa^(-1)=a^(-1)a=e.（有可能a=a-1，这种情况下元素只算a一个——译者注）

(请注意，这里没有交换律，——译者注)

封闭性告诉我们二元构成法则不适用于任何不在G中的元素。结合律说明即使作用n次，最终结果与操作组合形式无关。比如，abc这个乘积是明确的元素，它存在两种相等的解释，a（bc）与（ab）c。接着，正如我们将要在2.3中所展示的，无论是左乘还是右乘恒等元，或者是左乘或右乘自己的逆元，结果都是一样的，于是我们可以简化以上的性质表述：

3’. 恒等元：G中存在一个元素e，称作单位元或者恒等元，对任意的a有ea=a。

4’. 可逆元：对G中任意一个a，都有它的逆元，写作a^-1也在G中，有aa^-1=e.

这里的术语“乘法“”乘积“”单位元“和一般的乘法不一样，只是两个抽象操作的复合成为第三个操作。简单地说就是没有乘法交换律。假如，有一个群，它的二元构成法则符合乘法交换律，这样的群叫做“可交换群”或者“阿贝尔群”。

尽管这些定义有些抽象，你只要稍微思考一下就能发现这些群的构造相当符合物理中对称性的描述。群的元素常常与一个几何操作或一个运动方程的变换相符合，而二元构成法则常常与一个矩阵乘法或函数复合相符合，因此乘法结合律是合理的。如果两个操作各自和一个对称操作相符，那他们的乘积也是一个对称操作。恒等元对应的就是不做操作，逆元就对应着反着操作，当然，对于一个明确定义着的操作一定有反着操作这样的做法。

实例2.1 设想一列整数：

……-3 -2 -1 0 1 2 3……

作为元素，而普通的相加作为二元构成法则。任意两个整数的和依然是整数，也就是封闭性，相加显然有结合律，0就是其恒等元，-n就是+n的逆元。于是，整数全体组成了一个以加法为法则的群。这个群写作Z（来源于德语词Zahlen，整数）（也是天朝高中生最喜欢的整数集——译者注），显然Z是阿贝尔群。

实例2.2 再来看我们的整数集，我们能够理解结合法则的重要性，现在考虑普通的乘法。两个整数的积还是整数，乘法有结合律，1是它的恒等元，但是n的逆元是1/n，不是个整数，所以以乘法为法则，整数集不构成群。

实例2.3 考虑集合{1，-1}与普通乘法。明显它封闭而且有结合律和交换律。1是恒等元，每一个元都是自己的逆元。所以{1，-1}是一个两元普通乘法阿贝尔群。

实例2.4 设想一个2×2实矩阵

它的行列式值为ad-bc不为0。而二元结合法则是普通的矩阵乘法：

为了确定这样的矩阵是否组成一个群，我们必须首先要知道两个行列式不为0的矩阵A和B相乘其结果还是一个行列式不为0的矩阵AB（注意顺序——译者注），且有det（A）det（B）=det（AB）。（det（A）意为A的行列式），表现其封闭性。而结合律，已经被直白且复杂的计算证实了。其恒等元为E2，其逆元为

它的行列式也不为0。所以这构成一个群。这个群被称为GL（2，R），表示一般线性（General Linear）2×2实矩阵。注意到GL(2,R)的元素是连续的，所以GL(2,R)是一个连续群。

2.2 排列群

n个物体的排列指重新安排这些物体的顺序然后组成一列。当和用于连续排列的函数的一般规则结合（我没看懂，嗯翻译——译者注），这些排列就被赋予了一个群的结构，写作Sn。有一段时间，对称群只是一个数学群，由于凯莱定理——建立了Sn和n个元素的群的关系——保持了其特殊地位。在这个部分，我们将会研究S3群的结构，既是一个抽象群，也是一个正三角形的对称群。

群 $S_3$ 是一个三个各不相同的物体的所有排列，其中每一个元素都对应各自给定的顺序。因为第一个元素可以放在任何位置，第二个放在二选一的位置，最后一个放在最后一个位置。就有3×2×1=6个元素，列如下：

在这个情况下，第一行表示原来的顺序，第二行表示排列之后的顺序。这里的二元对应法则就是上下的对应。比方说我们考虑操作ad（我们操作的顺序是从右向左，也就是先做d排列然后做a排列），d排列将123变为312，接着a排列把第一位的元素放在第二位，第二位的元素放在第一位，第三位的元素不变，
注意到这样的组合形成了一个新的排列ad=b，类似的过程有da=c，说明这样的二元对应法则不可交换， $S_3$ 不是阿贝尔群。
S3的几何实际变换可以可以基于正三角形变换而考虑（图2.1）。

元素a b c分别表示过312的中线做镜像变换，而df分别表示绕中心轴转120度与240度。每一个这些变换的效果和S3群里的元素相同。所以，在上述操作和S3群里的元素有一个一对一的对应。除此之外，二元结合的效果与S3群两个元素相乘也相同。思考这个例子， $S_3%0A$ 中做ad和da计算，对正三角形，ad的效果是先转后镜像（如图）

与图2.1对应，我们注意到这个操作的结果是b操作。类似的，我们可以展示da，其效果与c一致，实际上，所有S3中的积与正三角形的对称变换是完全一致的。两个类似的有着相同代数结构的群在各个方面互称同构、不可区分。这强调了一件事：不是群的实际意义而是群的结构更为重要。这点的后续讨论将会在下一章继续。

2.3 群的初等性质

上一个部分的例子表明所有群都被赋予了一些基本性质。在这个部分，我们将会演绎一些附加的性质，尽管在一些特定的例子中相当显然。

定理2.1 （恒元唯一性）：群G中的恒元是唯一的。

证明：设一个群G里有两个恒元e和e‘，a是任一元素。然后由于群的性质4，我们有

ae=a与e’a=a。现在在第一个式子里我们令a=e‘以及第二个式子里设a=e，就有e‘=e’e=e，所以e=e’。这个定理让我们有底气说一个群的唯一恒元是e。e的符号来自德语词Einheit，意为单元。

另一个常见性质是等式中的消去律。这个性质归因于群性质2（结合律）

定理2.2（消去律）在群G中无论是左乘还是右乘的消去都是存在的，也就是ab=ac推出b=c以及ba=ca推出b=c。

证明：设ab=ac，令a^-1为a的逆元。然后将其左乘于等式就有：

$a%5E%7B-1%7D(ab)%3Da%5E%7B-1%7D(ac)$

然后运用结合律

$%EF%BC%88a%5E%7B-1%7Da%EF%BC%89b%3D%EF%BC%88a%5E%7B-1%7Da%EF%BC%89c$

就有

eb=ec

又

eb=b ec=c

所以

b=c

类似的，我们可以在ca=ba两侧右乘a^-1，就能得到c=b。

注意到，这个证明不需要元素的逆元唯一，只需要一个元素能存在一个逆元。事实上，消去律可以用于证明逆元唯一性。

定理2.3 （逆元唯一性） 对G群中的任意元素a，只有唯一的元素b，使ab=ba=e

证明：设元素a有两个逆元b和c。则有

ba=e和ca=e，

故

ba=ca，

然后使用定理2.2消去律，

得出

b=c。

同样的，我们有底气说某个元素a唯一的逆元是a^-1。

正如在2.1节所讨论的，上述写法是从普通乘法借来的，其他一些群乘法规则也是这样。比如，对于一个群元素g，n个g复合写作g^n。类似的，g^ng^m=g^(n+m)，也就是实数的指数规则。但是，有一些值得说明的地方。对两个群元素a和b，其组合（ab）n和anbn是不一样的。依然正如在2.1节中所阐述的，只要某种写法出现在恰当的上下文中，就不会有什么歧义产生。

2.4 离散群与连续群

群被分成两大类：离散的和连续的。上述的基本定义都可用于这两种群，但是许多性质的讨论都基于离散与连续本身的特性。在这个课程，我们首先把目光放在离散群上以形成一个观念化的概念，然后过几章再考虑连续群。（我读的中文参考书只关注有限群——译者注）

2.4.1 有限群

众多群的基本性质，有一条是群中元素的数量。这被称为群的阶，并用|G|表示。考虑全体整数构成、以加法作为法则的群Z，阶数为无穷；以及 $S_3$ 群——三个元素的排列群——阶数为6。我们会先从有限群说起，除开其在物理研究中的众多应用，它有很多算数性质。

有限群有无限群和连续群都没有的特性。比如说，如果有限群里有一个元素g，它自乘无数次，总会变成e。很明显，只要自乘次数高于|G|，其乘积一定会开始重复群中内容，因为不同的元素只有|G|个。为了把上述的几行字阐述清楚，我们把某个循环的乘积姑且写作a，且有a=g^p=g^p，其中p=q+n。然后，利用结合律， $g%5E%7Bq%2Bn%7D%3Dg%5Eqg%5En%3Dg%5Eng%5Eq$ ，则有 $g%5Ep%3Dg%5Eqg%5En%3Dg%5Eng%5Eq%3Dg%5Eq$ 。然后使用消去律，以及恒元的唯一性，可得g^n=e。（其中n=|G|——译者注）。

所以，一列元素g，g^2，g^3……代表一个循环结果（存疑翻译——译者注）。元素g的阶，写作|g|，是能够使g^k=e中的k取最小值（通俗地说就是g最少自乘|g|次后变成e——译者注）。所以一个周期可以写作{e，g，g^2，g^3……}。

实例2.5 以 $S_3$ 群为例子，|a|=|b|=|c|=2，|d|=|f|=3，对应的周期写作{e,a},{e,b},{e,c},{e,d,f=d^2}

定理2.4 （重排定理） 如果{e，g，g^2，g^3……g^n}是一个有限群G，以及g_k是任意一个群元素，那么群 $G_%7Bg_k%7D%3Deg_k%EF%BC%8Cgg_k%EF%BC%8Cg%5E2g_k%EF%BC%8Cg%5E3g_k%E2%80%A6%E2%80%A6g%5Eng_k$ 就是群G，里头的各个元素出现过有且仅出现一次。

证明：显然 $G_%7Bg_k%7D$ 包含|G|个元素。设想 $G_%7Bg_k%7D$ 中有两个相同的元素 $g_ig_k%20%3D%20g_jg_k$ ，那么根据消去律，就有 $g_i%20%3D%20g_j$ 。接着，因为每个群元素会且仅会出现一次，所以G和Ggk完全一样（他想干什么我没看懂——译者注）。只要 $g_k$ 不是e，那么 $G_%7Bg_k%7D$ 就被叫做G的一个重排。

2.4.2 群的乘法表

这套理论的一大应用就是有限群二元结合的表示方法，我们用乘法表来表示它。这样的一张表是个矩形，其行列都用群元素来填充，第一行和第一列都按顺序写好所有的元素，接着行和列的交界处是行和列的乘积，比如，第i行第j列的元素gij，有 $g_%7Bij%7D%3Dg_ig_j$ 。为了理解这样的表，我们以{e，a}为例。我们知道e^2=e，ea=ae=a，另外重排定律还告诉我们a^2=e，那么乘法表可以写作：

注意到这个表沿着主对角线对称，阿贝尔群都是这样的。

接着考虑三个元素的群{ e,a,b}，（此处省略一些简单的计算——译者注）

沿主对角线对称，这也是个阿贝尔群。

（这里省去一些没用的说辞——译者注）

我们看看S3群的乘法表：

2.5 子群与陪集

假如有一个群G，我们从中挑一个子集H，他们都有群的基本组成且有着相同的结合法则，则称H是G的子群。根据这个定义，{e}就是G的一个子群，G本身就是G的子群。这两个在术语上称“不完美子群”（参考空集、子集、真子集之类的概念——译者注）。完美子群的测定是我们群论的中心论题之一。在物理学应用中，子群常常与对称性破坏有关，这是一个被加入哈密顿量或者拉格朗日量测定的术语，它能够降低全群的对称性至我们需要的完美子群的对称性（比方说整个群没有对称性，但是有一个完美子群有对称性，我们只研究那个完美子群——译者注）

实例2.6 S3群有这么几个完美子群{e,a}{e,b}{e,c}{e,d,f}。只要看正三角形的对称操作就能懂他的意思了。

接下来介绍一个子群的性质。

假如 $H%3D%7Be%2Ch_1%2Ch_2%2C%2Ch_3%2C%E2%80%A6%E2%80%A6%E2%80%A6h_r%7D$ ，以及g是G中的一个元素，则：

$Hg%3Deg%2Ch_1g%2Ch_2g%2C%2Ch_3g%2C%E2%80%A6%E2%80%A6%E2%80%A6h_rg$ 称为H的右陪集，

$gH%3D%7Bge%2Cgh_1%2Cgh_2%2C%2Cgh_3%2C%E2%80%A6%E2%80%A6%E2%80%A6gh_r%7D$ 称为H的左陪集。

陪集不一定是G的一个子群，除非g是H中的元素。

定理2.5 一个子群的两个陪集要么完全一样要么完全不含相同元素——我们称后者为离散。

证明：思路是证明两个陪集要么没有公用的元素；要么共用一个元素，进而证明所有元素都是共用的。

设Hg1和Hg2是两个右陪集，假如这两个陪集共用元素 $h_ig_1%3Dh_jg_2$ ，

那么： $g_2(g_1)%5E%7B-1%7D%3D(h_j)%5E%7B-1%7Dh_i%2C%E6%89%80%E4%BB%A5g_2(g_1)%5E%7B-1%7D$ 在H子群中。

那么根据重排定律，有

$Hg_2(g_1)%5E%7B-1%7D%3D%5Beg_2(g_1)%5E%7B-1%7D%2Ch_1g_2(g_1)%5E%7B-1%7D%2Ch_2g_2(g_1)%5E%7B-1%7D%2Ch_3g_2(g_1)%5E%7B-1%7D%2C%E2%80%A6%E2%80%A6%E2%80%A6h_rg_2(g_1)%5E%7B-1%7D%5D%3DH$ ,

(公式编辑里打不了大括号，用中括号代替一下——译者注)

两边再右乘 $g_1$ ，

则有

$Hg_1%3DHg_2$ ，

这两个陪集完全一样。（假如找不到一个同样的元素，那么后续的推断都无法得出，则它们没有一个元素是一样的。——译者添）

实例2.7 考虑群和其子群H={e，a}。所有的右陪集有：

{e, a}e = {e, a},{e, a}a = {a, e},{e, a}b ={b, d},{e, a}c = {c, f},{e, a}d = {d, b},{e, a}f = {f, c}

也就是三种：{e, a}, {b, d}, {c, f}

这三个只有第一个是一个子群（为什么？）。

类似的所有的左陪集{e, a}, {c, d}, {b, f}，注意到左右陪集并不一样。

定理2.6 （拉格朗日定理）（不是中值定理——译者注）有限群G的子群H的阶整除G的阶，即|H|整除|G|。

证明：陪集要么全等要么离散，加上重排定理，意味着任一元素都会出现在一个离散陪集中。接着，每一个陪集都明显有相同数量的元素。离散陪群的数量，我们称之为这个子群的指数。这个指数乘陪集阶数，等于这个群的阶。因此，由于陪集阶数和子群阶数都一样，群阶数除子群阶数等于离散群数量，是个整数。

实例2.8 $S_3$ 阶数为6，子群{e,a}阶数为2，陪集有3个；子群{edf}阶数为3，陪集有2个。

拉格朗日定理确定了一个给定群的子群阶数。但是拉格朗日定理的逆定理不一定成立，即，群G的子群的阶不需要张成G的除数（意义不明——译者注）

2.6 商群

2.6.1共轭类

（原文没有给出共轭的几何解释，可以考虑先看实例2.9形成一个直观理解——译者注）

假如群G中存在一个元素g，我们称之为共轭子元素（自编词非官方——译者注），若G中的两个元素a，b，有a=gbg-1，则称a，b互为共轭元素。共轭是等价关系的一个例子，我们用≡表示，有以下三条性质：

1. a≡a(自反性)

2. 若a≡b，则b≡a（对称性）

3. 若a≡b，b≡c，则a≡c（传递性）

为了理解共轭与等价的对应关系，我们来想这个情况：令g=e作为共轭子元素，我们就有a=eae^-1,所以a≡a；

若ab，就有a=gbg-1，我们也可以写成

$g%5E%7B%E2%88%921%7Dag%20%3D%20g%5E%7B%E2%88%921%7Da(g%5E%7B%E2%88%921%7D)%5E%7B%E2%88%921%7D%3D%20b$ ，

所以

b≡a，

这里g^-1扮演了共轭子元素。

最后是a ≡ b， b ≡ c，有

$b%20%3D%20g_1%5E1a(g_1)%5E%7B%E2%88%921%7D%E5%92%8Cc%20%3D%20(g_2)b(g_2)%5E%7B%E2%88%921%7D$ ，

则有

$c%20%3D%20(g_2)b(g_2)%5E%7B-1%7D%20%3D%20g_2g_1a(g_1)%5E%7B%E2%88%921%7D(g_2)%5E%7B%E2%88%921%7D%3D%20(g_2g_1)a(g_2g_1)%5E%7B%E2%88%921%7D$ ，

这里g_1g_2是共轭子元素。

至此，共轭满足了等价类的三种情形。

等价的一大重要用途就是类，即，一系列共轭元素。特别的，共轭类是这样一系列元素的总和，它们可以根据共轭从给定群得出。相同共轭类中的元素有一些相同的性质，比如，所有同一类的元素中有相同的阶数。看看这个，我们以一个阶数为n的元素a为例，即a^n=e。任一a的共轭元素b，有b=gag^-1，因此有

$b%5En%20%3D%20(gag%5E%7B%E2%88%921%7D%20)(gag%5E%7B%E2%88%921%7D%20)%C2%B7%C2%B7%C2%B7(gag%5E%7B%E2%88%921%7D%20)%20%3D%20ga%5Eng%5E%7B%E2%88%921%7D%20%3D%20geg%5E%7B%E2%88%921%7D%20%3D%20e$ ，

所以a和b阶数相等。

实例2.9 群 $S_3$ 有三个共轭类{e}, {a, b, c},和 {d, f}。正如我们在实例2.5中讨论的，{a,b,c}指数为2，{d,f}指数为3.e指数为1，自己就是一个类。注意到每一个类都对应类似的几何操作。abc是镜像，df是旋转。就S3的代数操作而言，d,f是轮换，a,b,c是有一个不变，另外两个交换。

2.6.2 自共轭子群

设H是G的子群，g是G中任意元素，若gHg^-1=H，则称 H为G的自共轭子群，也叫不变子群或者通常子群。若一个群没有自共轭完美子群，则称这个群是简单的。若gHg^-1=H，对所有G中的g恒成立，即任给H中的元素h_1和G中的a，有h_2=ah_1a^-1也属于H，上式也可以写成ah_1=h_2a，或者aH=Ha。这产生了自共轭子群的另一个性质，即左右陪集相等。从这个定义和类的定义来说，我们可以进一步推测G的一个子群H，若它包含G的一个类的所有元素，那么H就是自共轭子群，即H要么包含所有要么一个都不包含G类中的元素。

一个自共轭子群被赋予了特殊的群结构，可以群乘群，元素依次相乘，略去重复元素，我们首先证明两个来自右陪集的元素相乘生成一个新的右陪集。令H是G的自共轭子群，有两个右陪集Ha和Hb。任取两个元素相乘，有h_iah_jb=h_i(ah_j)b, 其中ah_j可以写作h_ka，因为H是自共轭的，于是有：h_i(ah_j )b = h_i(h_ka)b = (h_ih_k)(ab)，这就是H中的新右陪集。

实例2.10 考虑 $S_3$ 的子群{e，d，f}。用 $S_3$ 中的任意元素右乘它：