混料设计(Mixture Design)在实际工作中有许多的应用，如化学溶液配置、医药产业制剂的配制都会使用；传统的混料设计在成份的条件限制下，各成分比例会受彼此配置的影响，甚至各成分之间的比例也有限制。业界也针对不同的实验情景发展出不同的混料设计方法，如单纯形重心设计(Simplex Centroid)、极端顶点法(Extreme Vertices)等。

随着产业发展及工艺复杂性的提高，传统的混料设计已经不满足既有的需求，加上新型优化方法如D-optimal, I-optimal等发展，实验设计的因子组合也不仅止于单一类型的因子。

今天我们就通过几个实际案例，以JMP定制设计(Custom Design)平台搭配混料因子及非混料参数设计实验挑选效应项，针对混料因子与非混料参数间彼此独立以及有交互作用时的两种情景，来分别看看如何开展混料实验与分析。希望对大家有帮助。

 传统常用估计的混料模型种类如下：

线性模型: 主效应为主

二次模型: 主效应+二次交互作用项

特殊三次模型: 主效应+二次交互作用项以及三次交互作用项

完整三次模型: 主效应+二次交互作用项以及三次交互作用项+特殊效应项

而非混料因子常见设计模型表达式如下：

一般实验设计，混料因子与非混料因子常常被视为独立的存在，但两者有可能存在交互作用。

所以接下来我们分别讨论上述两种情形。

第一种情形：两种因子间彼此独立，模型如下：

f(x)为混料模型，g(z)非混料参数模型，c(x,z)整合了两者互为独立的模型，此模型又称线性可加模型。

第二种情形：两种因子间存在交互作用，模型复杂且估计项多，如下所示：

假定由三个混料因子以及两个工艺参数组合：

其中f(x)为特殊三次混料模型，g(z)为二次模型，所以考虑交互作用下，模型为：

考虑交互作用的模型示意图如下，工艺参数的设计为立方体，在立方体顶点上再加入混料设计的单体(simplex)，所组成的实验设计，如下图：

在设计实验时需要注意，混料设计着重预测，所以以计算机优化方法去设计模型时，我们需要比较设计出来的效率如G-efficacy（降低设计空间最大的预测方差）以及平均预测方差，此时也可以比较使用D-optimal与I-optimal时，效率谁优谁劣。

我们以几个实际案例来说明，并通过JMP 定制设计(Custom Design)平台去设计实验。

两种因子彼此独立

第一个例子注1为半导体干蚀刻工艺的案例。此案例使用线性加成的模型去拟合。

案例背景如下：

总共8因子的干蚀刻实验:  

1. 3种制程气体: A, B, C 为混料型因子

2. 5个工艺参数因子: Power, Pressure, Temperature, Time, Total Flow，并且给定气体A与B的比例限制式：

气体C则是控制在10%到25%的比例，响应变量则是设定ER(蚀刻率)目标值=100与ER Std(蚀刻率的标准偏差)要越小越好。以下为响应变量Y与因子X的设定值表：

在定制设计(Custom Design)平台下分别设定好Y与X变量如图1:

气体A与气体B的指定线性约束可拆解如下(i)(ii)，并添加约束因子，如图2：

分别考虑工艺因子的主效应与交互作用项，以及混料因子的主效应以及交互作用项加入模型内，设计出24次实验。如图3：

在收集资料前，可以使用比较设计(Compare Design)平台去比较指标，如Power(越高越好), Prediction Variance(越小越好), Design Space下的Prediction Variance变化(越小越好)和Design Efficiency(以G-efficiency和I-efficiency为主，值越大越好)如下图。以此例比较两种设计，差异不大。

接着使用标准最小二乘法拟合模型如图4：

筛选出的显著因子如图5所示：

可解释Y变量的比例如图6：根据选定显著效应项可解释ER的R方为0.99，可调整R方为0.98，可解释ER Std的R方为0.87，可调整R方为0.64，代表这些效应项所建立的模型可进行下一步的预测。至于ER Std可调整R方较小，预测刻画器置信区间较宽，后续如果想要改进ER Std预测的精度，可以利用扩充设计增加实验次数。

使用预测刻画器搭配混料刻画器，可找出最佳设定组合，以及可操作的作业空间，如图7与图8所示：

从图上可以看出，最优的ER为91.3，而ER Std为0.84，Power, Press, Temp, Total Flow, Gas A, Gas B, Gas C的设定值分别为：60.61, 100, 40, 45, 80, 0.9, 0, 0.1，而三元图空白区域代表可操作的作业空间。

两种因子存在交互

第二个例子引用Optimum Experimental Designs. New York: Oxford University Press. Atkinson, A. C., and Donev, A. N.(1992)的案例。

响应变量为Damping阻尼系数，用来量测丙烯腈的电磁阻尼。三种混料成分组合如下：

• CuSO4，比例介在 0.2 到 0.8
  

• Na2S2O3，比例介在0.2 到 0.8

• Glyoxal ，比例介在 0 到 0.6

• 包含一个非混料类别因子：Wavelength波长有三个水平：L1, L2, L3，因为实验者只对这三个水平有兴趣。

同样在定制设计(Custom Design)平台下输入Y与X变量，如图9：

加入所有因子的交互作用项，其中波长因子主效应会被自动删除，因为会有共线性的影响。生成18次实验如图10所示：

同例1，可使用比较设计来比较不同计算机优化方法有无差异，此例并没有差异，所以就不展示结果。

直接使用JMP拟合模型（Fit Model）平台，就可以将刚才的模型项自动带入做估计，如下图11所示：

需要注意的一点是，直接在Fit Model自己选择要估计的效应项时，有可能造成共线性发生，如下图12：

至于要如何避免共线性，由于文章篇幅有限，所以这里仅提供几个方法供大家参考。

1 使用stepwise方法挑选模型；

2 使用JMP Pro的Generalized Regression处理；

3 如果是做实验设计，在挑选效应项时，JMP会提供警告并移除可能造成共线性的效应项；

4 确认变量相关性并搭配多变量方法处理再建模等。

最终，筛选出的显著因子如图13所示：

可解释Y变量的比例如图14所示：根据选定显著效应项可解释Damping的R方为0.88，可调整R方为0.82，代表这些效应项所建立的模型可进行下一步的预测。

使用预测刻画器搭配混料刻画器，可找出最佳设定组合，以及可操作的作业空间，如图15与图16所示：最优的Damping为9.36，CuSO4, Na2S2O3, Glyoxal, Wavelength的设定值分别为0.629, 0.37, 0和 L2，可作业空间为三元图空白的区域。

以上我们简单介绍了两种不同的模型，并搭配两个实际案例，介绍了混料与非混料因子结合模型可能遇到的问题点。建模方法的说明此篇碍于篇幅介绍的不多。当两种不同因子类型具有交互作用时，需要考虑不同的建模方法，随着因子数增加，模型也会更加复杂，所以期望以此篇文章做一个简单说明，让大家能够熟悉基本的思路和操作，并能够运用到实际工作来解决混料实验设计的难题。想要在JMP软件中亲自体验混料设计的话，可下载最新版JMP17 免费试用：https://www.jmp.com/zh_cn/download-jmp-free-trial.html?utm_campaign=td7015b0000057famAAA&utm_source=bilibili&utm_medium=social