S4E09：转动的圆，转出笛卡尔心形线
我们先看一下今天的效果图。猜猜看：右边的葱宝绕着左边的葱宝旋转半圈，葱宝头朝哪边呢？答案见①
今天我们通过GGB来制作这样一个动图，还附属的会产生笛卡尔心形线哦~
今天这节课，你将收获：
1. 利用三角函数表示平面直角坐标系中的点
2. 使用指令画弧
3. 定位图片，使得图片随着图形一起转动
本节课主要分为两部分，第一部分画出一个圆绕着一个圆转动，第二部分，固定图片随着圆的转动而转动。
01 一个圆绕着一个圆转动
画圆的指令如下：
Circle( <圆心>, <半径长度> )
我们需要确定圆的半径和圆心，固定圆的圆心已定，半径可设置滑动条R；转动圆的半径可以设置滑动条r，而圆心是一直在转动的，我们可以怎么确定呢？请看下面分解。
A. 绘制固定的圆
使用画圆的指令，你可以画出固定圆c1吗？答案见②
B. 绘制转动的圆
绘制转动的圆主要改变的是圆心的位置。如果转动圆的圆心在固定圆的圆周上，我们可以观察到两个圆心的夹角从0-2π，我们可以设置滑动条t（从0-1），利用三角函数来表示转动圆的圆心，即(cos(2π*t),sin(2π*t))，而两个圆的圆心之间的距离为(R+r)，那么你可以写出转动圆的圆心坐标吗？答案见③
最后绘制转动圆，答案见④
C. 显示转动圆的轨迹
P点--右键--显示轨迹
02 标记转过的弧和动圆上定点轨迹
A. 标记转过的弧
画弧的指令如下：
圆弧( <圆心>, <点1>, <点2> )
定圆上转过的弧
点1为t=0时，两个圆的交点的起点A：（R,0）,点2为 C: (cos(2π*t) *R,sin(2π*t) *R)即可得定圆转过的弧度，可修改颜色便于观察，效果如下：
动圆上转过的弧
两圆交点已经确定为(cos(2π*t) *R,sin(2π*t) *R)，那么二圆在起点未知的交点随着小圆的转动，这个点是怎么运动的呢？
当R=r=1时，我们观察到：动圆上的B点也绕着动圆旋转了一定的角度：t*2π；那么我们就可以使用旋转的指令，将C 点旋转回去：
旋转的指令为：
旋转( <几何对象>, <度*abs(弧度>, <旋转中心> )
你可以写出动圆上B 点的位置吗？答案见⑤
因为动圆和定圆转动的弧长是一样的，所以转动的度数需要修正，B 点为B= Rotate(C,(R/r)*t*2*π,P)
效果图如下：
B. 动圆上定点轨迹
选择B 点显示轨迹即可，快来看看R和r 在不同的比例下，B点会有什么不同的轨迹吗？
03 绕圆滚动的图片
A. 插入图片调整位置
找一个正方形的卡通图像，直接将档案拖拉进入 Geogebra 的绘图区。
设定图片的角点来调整图片大小
将图片插入后会有两个预设的角点，例如下图的 D, E。要更换图片的角点，可在图片的【设置/位置】中，来改变。
为了让图片显示在正中央的圆，将图片的左下角的角点1 定为 OL ，其中 OL=(-R,-R)。右下角的角点为 OR 。你能写出 OR 的坐标吗？答案见⑤。
B. 动圆上的上下左右
接着要在动圆上插入图片，并摆放好适当的位置。因此，要先取得转动后图象的左下角与右下角的位置。
先观察原本 B 点是图片正左方的点，要取得图片正下方的点就将 B 对 P 转 90 度。可用
S = Rotate(B,π/2,P) 。
有了 B, S 两点就可用此决定动圆上的角点 PL, PR。其中左下角的角点1 PL 可写为 PL=P+Vector(P,B) + Vector(P,S) 。 而右下角 PR 的点可表示为何呢？答案见⑦ 。
完成 PL, PR 后再将葱宝图片插入，再关联对应的角点，就可完成绕圆转动的图片。
C. 转动方向的说明
当 R=1, r=1，P 点绕 O 所进过的路径为 (1+1)*π = 2*π 。但对动圆 P 上的 C 点来看。其绕行 2*π 时，表示 B 转动了一圈。因此，动圆上的葱宝会朝上。
请改变 R=1, r=2 ，思考小圆绕大圆转半圈后，头朝哪个方向？答案见⑧
请改变 R=2, r=1 ，思考小圆绕大圆转半圈后，头朝哪个方向？答案见⑨
答案区
① 头朝上
② c1= ((0,0),R)
③ P= (cos(2π*t) (r+R),sin(2π*t) (r+R))
④ c2=Circle((cos(2π*t) (r+R),sin(2π*t) (r+R)),r)或c2=Circle(P,r)
⑤ B= Rotate(C,t*2*π,P)
⑥ OR=(R,-R)
⑦ PR = P - Vector(P,B) + Vector(P,S)
⑧ 朝下
⑨ 朝右
参考资料
【GGB】https://www.geogebra.org/classic/p6ngb9kq
【Bili】https://www.bilibili.com/video/av77000889
