S4E13 是圆还是方？

今天要介绍的这个是 2016 错觉艺术大奖的得奖作品  Ambiguous Cylinder Illusion 。

图片来源于网络

这样的错觉是如何产生的呢？我们看一下实际上它是什么样子的。

图片来源于网络

其实，它就是利用了不同角度观察的错觉。那么我们也可以使用GGB来作出这样的视觉效果。首先来观察一下效果图吧～

在效果图中，你看到了几个图形，它们之间有什么位置上的关系吗？答案见①

那你可以想到怎么实现这个效果吗？肯定要有一个圆形和一个方形，并且它们所在的平面互相垂直，其次就是把它们叠加起来。

你可以先动手试试看，卡住了再来看讲解吧！

你将要收获

1. 在三维空间绘制平面图形

2. 叠加两个空间图形

1  绘制空间中的圆

A. 绘制xoy平面内的圆

首先，我们可以利用之前学的知识，绘制一个在xoy平面内的圆。请查阅S4E12的教程，S4E12  画出任何你想要的数学图象，快来一起学习吧～效果图如下：

B. 将圆变换一个平面

我们建立两个向量来表示新的平面。

先找到空间中的两个点，C=（1，0，1），Y=（0，1，0）

向量的指令为：

Vector（起点，终点）【若起点省略不写，默认为原点】

即向量为OC=（（0，0，0），C），OY=（（0，0，0），Y）

如何书写新的平面内的圆呢？效果图如下，答案见②

我们看到这时候不是一个圆，你可以怎么修正呢？答案见③

2 绘制空间中的正方形

A.同上，绘制xoy平面内的正方形

    a. xoy平面内，绘制直线。

b. 第四象限，折回来。

c. 变成和圆一样的纵坐标，即（1-|sin(t)|,sin(t),0,t,sT,eT)

    d. 画出关于y轴对应的部分

         横坐标乘以sgn(Pi/2-t)【sgn 可以根据括号里面的正负来输出+1或者是-1；比如，括号内的数大于零，则输出+1；反之，输出-1】

B. 将正方形变换到和圆垂直的一个平面

    方形的横坐标为Sx(t)=sgn((π)/(2)-t) (1- abs(sin(t)))

    纵坐标为Sy(t)=sin(t)

  与OC垂直的向量为（-1，0，1）

你可以写出新的平面内的正方形的指令吗？答案见④,效果如下：

3 合并空间中的圆和正方形

最后我们把两个图形的方程式加起来，即可得合并后的图象。

cM=Curve(cos(t)*C+sin(t)*Y+Sx(t)*S,t,sT,eT)

想一想，为什么会出现这样结果呢？

如果把圆和正方形分别画在xoy平面和xoz平面内，会有同样的效果嘛？你觉得能够决定最后两个图形能够叠加的关键因素是什么？

4 学以致用

接下来，你可以把正方形和心形也画在这样的平面内，从而产生错觉。画心形，可以参考上节课的教程：S4E12  画出任何你想要的数学图象，快来一起学习吧～期待你的结果～～

答案区

① 方形和圆形是在两个相互垂直的平面内，当我们垂直于一个方向去看的时候，看到圆形，则方形变为一条线段；反之，圆形变为一条线段，可以看到一个方形。   

② cC2=Curve(cos(t)*C+sin(t)*Y,t,sT,eT)

③因为OC和OY的单位长度不一样，我们只需要把Y改为（0，1.414，0）即可。

④ cS2=Curve(Sx*S+Sy*Y,t,sT,eT)

参考资料

【Bili】https://www.bilibili.com/video/av77773250?p=3

【GGB】https://www.geogebra.org/classic/dgakmyrw