【零基础学经济：平新乔十八讲阅读笔记Ep23】P20支出函数的数学模型

补发昨天的经济学部分，昨晚感冒头疼得太难受，所以十二点就关灯睡觉了。今天吃了一大堆感冒药，终于好一些了。

对于间接效用函数的数学性质，我们把这一讲介绍的经济学概念梳理完再聊。

这是在直接效用函数、间接效用函数之后，出现的第三个重要的数学模型。

目标问题——当消费者面临的价格给定时，为了达到给定的效用水平，如何花钱最省？——最低消费组合

图线名称——等花费线（isoexpenditure curve），同一条线上的花费水平相等，字母e表示花费水平。

以二维组合为例，两种物品价格都是确定的，所以p1/p2不变。但是两件物品的购买量是会变动的，即x1与x2是会变动的。e=p1*x1+p2*x2。

给定效用水平u，其相切的最靠下的等花费线所对应的花费水平即为所求最小花费水平，切点即为对应的消费计划。

我们记价格向量为p的前提下，为满足特定的效用水平u，所必需的最低花费为e（p，u）。

支出函数的定义为一个最小值函数——

e（p，u）=min（px），在u（x）>=u的前提下。

即在满足最低效用水平为u的前提下，最小的消费量，因为价格向量p是确定的，所以这个问题就是一个单纯的求消费计划x的问题，即每件物品买多少能够满足要求的问题。

注：

如果我们一共买了n件商品——第一件商品价格p1，我们买了x1件；第二件商品价格p2，我们买了x2件；……；第n件商品价格pn，我们买了xn件——那么“花的钱”便是，p1x1+p2x2+……+pnxn，联想到两个向量的点乘便是对应坐标乘积之和，我们可以把消费总额表示成向量的形式px，其中：

a.“价格向量p”——一个n维向量，每个坐标是该商品的价格，比如价格向量p=（p1，p2，……，pi，……，pn）中，pi是i商品的价格；

b.“消费计划x”——一个n维向量，每个坐标是该商品的计划购买量，比如在消费计划x=（x1，x2,……，xi，……，xn）中，xi是i商品的计划购买量。

这个数学模型的应用，比如，我们要去给食堂采购食物，食品的价格确定了，我们知道要维持每个人的营养均衡，每种营养成分每个人至少每天要摄取多少，这就是我们给定的效用水平；有些食物的营养成分是有重合部分的，所以满足条件的消费组合有许多种；考虑怎样买菜能够让大家吃得健康又最省钱，就可以用到这个模型。