前言

最近在看双足控制框架另一学派，HZD Jessy 大神写的书feedback control of dynamic bipedal robot locomotion, 看到里面使用庞加莱map来表述周期性运动的稳定性，之前虽然在nonlinear system control里学过，但后面并没有去尝试使用，这里使用小车车进行举例理解，可能有理解不到位的地方欢迎大家指出。

基础知识描述：

一个问题：

当我们遇到超过2维的系统时，如果机器人控制时存在周期运动，比如双足行走过程,如何来证明极限环的稳定性？

这里给出的工具就是Poincare Map.

定义：

为了降低维度，我们不可能研究整条轨迹，一般研究那些和一个面相交的点(这个面一般是平面)参考图1，而且只研究给定方向的交点，这个面就叫做Poincare Section, 而通过transformation T将一个点连接到下一个穿过面的点就叫做Poincare map(First return map)。注意这里可能有点拗口，后面可以看例子，可能就比较清晰了。

公式如下：

通过这个方式，由于我们只关注和平面的交点，而不是轨迹本身，那么就把一个continuous flow  转换为离散图。

针对极限环来说：

我们的目标就是证明这个极限环是稳定的，也就是从任意点出发的轨迹最后都converge这个环，对于Poincare Map 来说就是不断的去靠近equilibrium point()，收敛到一个可以接受的范围内。

使用Poincare Map什么情况下极限环稳定？

一句话总结，求关于P的雅克比，只要特征值小于1，哪极限环就是稳定的

哪如何证明？

可以简单理解为，只需要在某个equilibrium point或者目标点附近，使得线性化后变量

小于1，那么当时间infinity的时候极限环就每次穿过poincare section的相同点域内。

具体证明公式如下，其中，是一个在目标点(Equlilibium Point)点的附近一个点，为迭代式,在目标点附近做雅克比运算，多次迭代后得到如下式子：

现在我们的目标就是使得收敛到0，根据线性代数知识我们可以推出如下:

也就是说明当所有雅克比矩阵的特征值小于1，整个收敛到0，对于大于1能表明不稳定，等于1那就是不能给出极限环是否稳定。(nonlinear的老套路了)

例子：考虑如下系统

状态变量为小车车的x,y和yaw方向角度值，控制输入为

系统有限状态如图，c是时间，每切换到一个状态时间变为0，黑色横线表明满足条件就进行状态转移：

结合Python验证：

第一步：先使用Python构建仿真环境，给定初始条件，可以看到小车车收敛于一个极限环:

第二步：验证所选的g(x)和控制系统是否满足横穿而不是相切。

在这里，选择第三阶段为例，q=2，，那么可以得到：

然后得到：当满足不为零即可。

第三步：使用程序把三个阶段描述出来，同时估计其EP点，即，这个又称微分同胚，其中为目标收敛点。

注意这里输出的值就为状态变量的值,代码如下：

第四步：既然我们已经找到E.P. 点那么直接求在这个附近下的雅克比矩阵,这里取h=0.01，然后看他的eigen value是否小于1即可知道这个极限环是否收敛。

注意：这里可以看到我们选择Poincare Section是面是二维的，说明这里我们关心的是

即如下平面

可以看到，所有的eigenvalue是小于1，那就说明我们的这个极限环是稳定的。

结论：

Poincare map主要用来分析周期性运动的稳定性，但是那个g不是很好找，在复杂的系统下。HZD理论也是找一个平面，这个平面可以 是所有可能的轨迹组成的平面，然后把不在这个平面的设计一个控制器，让其收敛到这个平面。

代码：

Reference:

[1]https://www2.physics.ox.ac.uk/sites/default/files/profiles/read/lect5-43146.pdf

[2]https://hal.archives-ouvertes.fr/cel-01510146v1/document

[3]https://www.ensta-bretagne.fr/jaulin/automooc.pdf