黉|数 论极坐标与图像的直接互化
干货:[预警:红衣将不会从极坐标定义讲起，高一的学弟抱歉了...]
详讲: [预告:如果可以理解干货部分内容的话，这里将会浪费你人生中宝贵的几分钟，所以直奔最后红衣的日常唠叨吧(雾)]
实在想不到怎么引出话题了 “当我开口说话的时候就感到了空虚”(鲁迅) 所以，我们还是直接进入推导吧。
⑴曲线ι(好吧，别吐槽这是个希腊字母了...难道你想看“直线l”吗？) 曲线ι: ρ sin(α－θ)＝d
首先，让我们以O为极点建立一个极坐标系。
作直线θ＝α，命名为基准线ι'。
取ι上一点P(ρ¹,θ¹) (别跟我说角标应该在下面的事，我尽力了，只找到了在上面的序数标识)
过P作基准线ι'垂线，交ι'于Q。
有∠POQ＝α－θ
|OP|＝ρ¹
|PQ|=|OP | × sin∠POQ=ρ¹ × sin(α-θ¹)=d
同理可知ι上任意一点M(ρ，θ)，MN⊥ι'于N，
有|MN|=d为定值恒成立。
即ι上任点 亦 ι自身 与ι'距离为定值d，
即ι／／ι' (哭了，坑爹输入法有垂直没平行)
ι: ρ sin(θ-α)=d同理
敲黑板:
ι即为与基准线ι'距离为d的平行线[体位(雾)由 θ±α中加、减号决定]
绘图技巧:
⑵曲线ι: ρ cos(θ-α)=d
省掉那些七七八八的，直接刚主题:
ι上任点M(ρ,θ)，MN⊥ι'(基准线)于N
有|MN| =ρ
∠MON=θ-α
|ON| =|OM| cos∠MON=ρ cos(θ-α)=d
即ι上任不同于N的点M与N(d,α)的连线MN⊥ι'，且ι过N
即认为ι⊥ι'于N(|ON|=d)
敲黑板:
ι即为垂直基准线ι'于N(|NO|=d)的垂线[别问我d取负怎么办，反向延长线]
⑶cos/sin(θ+α)⇔cos/sin(θ-(-α))
不解释。
⑷曲线Q: 2r cos(θ-α)=ρ
累(lǎn),累(lǎn)得遭不住，不多解释。
同样引线ι':θ=α作为基准线，剩下的参考课本[北师大版 选修4-4 P14 (不是这版本教材的同学可以到红衣的动态找书影，因为不清楚点原创能不能把教材那段加进来，所以这里就不放图了。抱歉，麻烦各位了)]吧。
敲黑板:
Q即为半径为r，圆心于基准线ι'上且过O点的圆
⑸曲线Q: ρ²-2ρ (d+r) cos(θ-α)+d²+d r=0 为圆[“²”表示平方，不是序数(另外，令该式为①式)] 别逼我解释为什么。
该方程，即 ①式 由逆推而来，可化简为
②式:ρ²-m ρ cos(θ-α)+n=0
因为我还没强到可以直接刚 ②式 来推演图像，所以没法解释啦……
①式小讲:[看的时候自己边画图体验一下吧]
有⊙Q，连OQ，以OQ所在直线为基准线ι'。
ι'交⊙Q于M、N(|MO|＜|NO|)
取⊙Q上一点P(ρ,θ)，有MP⊥PN。
作PH⊥ι'于H，连OP、HP
令||OM|为d，|PQ|为r
有|HP|²+|OP|²=|PQ|²=r²
又|HP|=ρ sin∠POH=ρ sin(θ-α)
|QH|=|OH|-|OQ|=|OH|-|OM|-|MQ|
= ρ cos(θ-α)-d-r
∴r²=[ρ cos(θ-α)-(d+r)]²+[ρ sin(θ-α)]²
∴①式得证
那么对于 ①式 的衍生，即更为普遍的②式，有什么是可以为我们所用的呢？
敲黑板:
于ρ²-m ρ cos(θ-α)+n=0 (m＞0，n∈R)
其图像为圆
其半径=√(1/4×m²-n) [四分之一的m²减n的整体的二分之一次幂(也就是整体开根号啦)]
圆心-极点距=m/2 [二分之m]
其圆心于基准线ι'上
n＜0时极点于圆内
=0 时 于圆上
推广:
⑹对课本使用的对直线的解法的推广
见图:
结:
其实当写到这的时候，原本以为会有的很多的话都并没有了……
学期初做的笔记，2个晚自习写的文案，2个晚上(打下这行字已经23了)厚着脸皮跟我妈要手机码完专栏。
笔记来自学期初做题的时候冒出来的一个狂想:既然极坐标的直线方程有角、有长度 ，为什么不可以挖掘它的几何意义呢？当然可以，可惜第一次尝试的时候小角减大角，sin忘取负，错了。可喜，也因此作了更深入的分析，有了这篇笔记。
不知道以前有没有人推过，这么简单的东西，一定有吧？然而，不在乎了。
相较于课本上的方法[一个靠a/sinA，只能分析sin形式下的直线方程;一个是转化为直角坐标方程(对于其它的圆锥曲线……在我解决完椭圆与圆伸缩变换的问题前，我大概是没有勇气悖逆课本、不用化直角坐标的了)]我更偏爱这个。
一，它直观而富有美感，不是吗？二，更重要的，它是我推导的。大概有点像鲁迅所谓的“对儿子的偏爱”吧。
很累，真的，倒计时400天。高考一完，就算准高三狗了。会写完承诺的三篇的，第二篇会是三角代换(你已经从干货第二张图那看到了a sinφ±b sinφ ，不是吗？)第三篇杂谈。高三封笔。我还会再回来，但不在明天。
不求硬币，不求收藏，不求推荐，甚至，不求关注。
我是红衣，黉(hóng)弌(yī)司语。一年后你还会再听到这个名字，那，为什么不记住它呢？
