恶补基本功-本科代数-第二章，第3节，一部分第4节

同态(homomorphism)，就是当组G和G'，他们的映射f满足以下情况：

打个比方，让G为一个可交换群，那么G指向自己的映射就是同态。

第二个比方，，就是非0乘法群的同态。

第三个比方，，在就是加法群的同态，其逆映射（对数，logarithm）就是一种同态。

第四个比方，G是一个群，a是G的成员，其映射方式为，所有满足的n，就是这个同态的核(kernel)，而e为G的任意成员。

如果f为群同态，而f的核包含了e自身，那么f是单射。

（论证）让x和y都是G的成员，假定f(x)=f(y)，那么，

因此，最终x=y，所以论证了f是单射。

单射同态也叫嵌入(embedding)，其关系会以这个方式来展示：

f是同构(isomorphism)，如果同态的g(G')=G，使得和分别为G'和G的恒等映射。这关系会这样：

例子五：让G是一个可交换群，而映射f

是G对自己的同构。

（论证）我们设定一个逆映射f'，只要证明f'是个同态群即可。让x'和y'是G'的一份子，而x,y为G的一份子，使得f(x)=x'，f(y)=y'，既然f是同态，那么f(xy)=x'y'。所以f'是同态。

陪集(cosets)和正规子群(normal subgroups)

如果S和S'为G的子集，那么SS'是S和S'的积（product），积是满足结合律的。

例子1：假设H是G的子群，让a是G的元素，x是H的元素，所有ax就是H在G内的陪集，也叫aH。

用加法的方式来呈现的话，就是a+H。

由于G可能不可交换，所以aH是H的左陪集（left coset），反过来说，我们也有右陪集。不过一般是，除非额外说明，否则一般是陪集指的就是左陪集。

理论：让aH和bH为H在G内的陪集，要么这两个是相同的，要么他们没有共同元素。

（论证）假设aH和bH有个共同元素，我们需要证明他们俩是相同的。让x和y为H的元素，使得ax=by，既然xH=H=yH，所以

假设G是有限组，每一个G里头的元素x，位于H的陪集内，又叫，这样的话，G就是H所有陪集的并集(union)。