关于所有正整数之积的不完全严谨证明

在文章的开始，我会先写明这个荒诞的结论：

并且我要先说明：这个结论是错误的，至少在正常的认知里是错的。

但是我们却可以证明它

首先我们需要两个预备的结论：

第一条：所有奇数的平方之积与所有偶数的平方之积比值为2/π

证明如下：

首先先把sinx写为无限个式子相乘的形式

如果你不太清楚这个式子是怎么来的，你可以看一下这个视频：

当然这也是证明巴塞尔问题必要的一个式子，但是我们今天的目标不是巴塞尔问题。

现在代入π/2：

我们便得到了这个结论。

第二条：将ζ(s)解析延拓为关于η(s)的表达式

ζ函数的定义域为Re(s)>1，我们可以将ζ函数解析延拓为关于η函数的表达式：

ζ函数：

η函数

我们对这两个式子做如下变换：

很容易得到：

这样原先定义域为Re(s)>1的ζ函数定义域就扩大为Re(s)>0了。

证明：

有了这两个预备知识，我们现在就可以开始进行证明了。

对于ζ(s)我们可以进一步进行解析延拓，将其延拓为Re(s)≠1.

这看起来很难，但是好在伟大的复分析之父黎曼已经帮我们找到了解析延拓ζ函数的方法：

它是关于一条路径C的复变函数积分。

路径C可以表述为包含0但不包含被积函数其他奇点的区域内从正无穷到正无穷正向进行

即为

下面为解析延拓ζ函数的过程（部分步骤从略）

如果你想知道更详细的过程，可以看以下两个视频：

那么现在我们就可以进行下一步了。

在进行下一步之前，我们也可以先把-1代入试试：

根据留数定理有：

这就是说：“所有自然数”的“和”为-1/12，正是曾经很火的一个等式。

回归正题，我们将0代入解析延拓后的ζ函数，有：

这里我们就求出了ζ(0)=-1/2.

代入η(s):

我们很容易得到η(0)=1/2

题外话，上面结论似乎表明了：

回归到ζ函数与η函数的关系：

对于级数形式的η函数，应用求导法则，以及上面预备知识第一条，我们可以得到：

对于级数形式的ζ函数，根据求导法则，我们可以得到：

对于以η函数表达的ζ函数形式，应用求导法则有：

通过对比以上两个式子中ζ函数在0处的导数值，我们可以得到：

至此，我们也成功证明了所有正整数之积为根号2π.

结语：

上面的结论都是错误的，但并不是完全错误（在某些地方有意义）。只是在闲暇时尝试证明出来的东西。

至于全站的话，很多人都在炒作“所有自然数之和为-1/12”，但是指出这个结论的人就少了很多，因此就写了这个专栏。

如有错误，请指出（因为我复变论也并不是很精通，黎曼的论文现在都没完全看懂）