非线性系统控制知识整理

1、平衡点、正定、半正定、负定、半负定、稳定点、渐进稳定点。李雅普诺夫函数

1）一系统dotx=f(x)，x=a是平衡点即dotx=f(x=a)=0,dotx=0时的自变量的取值，类似高数中的概念。为何叫平衡点，因为dotx=0，此时状态不变，一直保持即平衡状态。当此时x=0，是称0是平衡点。

2）一个函数V（x）或V（x,y），

除了自变量x或（x,y）等于0时，函数值V等于0，其他任何取值V>0，则为正定；PD

除了自变量等于0时，函数值等于0，其他任何取值V<0，则为负定；ND

除了自变量等于0时，函数值等于0，其他任何取值V≥0，则为半正定；PSD

除了自变量等于0时，函数值等于0，其他任何取值V≤0，则为半负定；NSD

3）稳定点。

x=a是V的平衡点（满足dotV=0，x=a）

若有一个函数V，V为半正定，dotV是半负定，x=a是稳定点；

若有一个函数V，V为正定，dotV是负定，x=a是渐进稳定点。

4）李雅普诺夫函数。从能量的角度理解！

5）拉萨尔定理

一系统平衡点为x=0，若存在一个函数V(x)，满足

①V(x)正定PD

②dotV(x)在定义域的一个包含0的范围内，负定NSD，即只有dotV(0)=0，dotV＜0。

详细参考https://zhuanlan.zhihu.com/p/31925435。

非线性系统深入理解内容参考知乎https://zhuanlan.zhihu.com/p/27662523。

2、反馈线性化。☆☆☆☆☆思想很重要！

核心思想是利用控制输入，消除非线性系统中的非线性项

ex. dotx=f(x,u)=ax^2+u;

令u=-ax^2-x。此时dotx=-x，得出x=Ce^(-t)，t→+无穷，x→0。

当然这里有个前提，a需要已知。

3、非线性反步控制（Backstepping Control）☆☆☆☆☆思想与过程很重要！

反步控制的思想是链式法则，F（U）→x2→x1→x1d

第一步，设计x2d，使得x1→x1d，即e=x1d-x1→0；构造e的李雅普诺夫函数。

第二步，设计F(U)，使得x2→x2d，即δ=x2d-x2→0；构造δ与e的李雅普诺夫函数。即此时需要δ→0、e→0。所以这里注意δ=x2d-x2带入dotV。详情见笔记17页！

视频见https://www.bilibili.com/video/BV1PW411u7PM/?spm_id_from=trigger_reload&;vd_source=f2c0a95a8a2acb226fbd51fd4091842b中08:11处。

x2d和F（U）求出之后可以带到原模型中检验，见笔记19页，x2d的检验完成，带入之后会化简到dote=-K1e,误差e=(自然常数e)^(-K1*t)，可见t→∞时，误差e→0。但是F（U）的检验未完成。

见DR_CAN_非线性控制理论笔记第11页和15页，利用李雅普诺夫函数过程要会，有一问题与疑惑即第15页自己推导的控制u与DR不同，但是控制效果差不多，自己设计的虽然简单但是没有考虑e见本文章3中第二步！详情参看仿真模型。C:\Users\Atwood\Desktop\代码合集\非线性控制代码\Nonlinear_Backstepping_Controller_Design_Dr_CAN_03242018

☆☆☆很多文章中都会用到反步思想即backstepping control。例如：C:\Users\Atwood\Desktop\2023.1.23文献下载\Second-order sliding mode controller design with output constraint

4、准备进入非线性自适应控制器。

继续加油！