椭圆和双曲线的焦点三角形面积公式证明

椭圆：设椭圆上一点P到两焦点距离分别为m,n，在△PF1F2中

由余弦定理得(2c)²=m²+n²-2mncosθ

4c²=(m+n)²-2mn-2mncosθ

4c²=4a²-2mn(1+cosθ)

-4b²=-2mn(1+cosθ)

4b²=2mn(1+cosθ)

mn=2b²/(1+cosθ)①

S=1/2mnsinθ

①式代入得S=b²sinθ/(1+cosθ)

=b²2sin(θ/2)cos(θ/2)/2cos²(θ/2)

(分子用二倍角公式，分母用降幂公式，参考三角恒等变换相关知识)

=b²tan(θ/2)

双曲线：设双曲线上一点P到两焦点距离分别为m,n，在△PF1F2中

由余弦定理得(2c)²=m²+n²-2mncosθ

4c²=(m-n)²+2mn-2mncosθ

4c²=4a²+2mn(1-cosθ)

4b²=2mn(1-cosθ)

mn=2b²/(1-cosθ)①

S=1/2mnsinθ

①式代入得S=b²sinθ/(1-cosθ)

=b²2sin(θ/2)cos(θ/2)/2sin²(θ/2)

(分子用二倍角公式，分母用降幂公式，参考三角恒等变换相关知识)

=b²/tan(θ/2)