简单的问题

正式问题来之前，先来一个简单的问题。

假设一个技能的伤害为a*(1+0.2b)*(2+0.5c).现在假设手里有30个技能点。那么我该如何分配技能点，才能让技能伤害最大化。

这个问题首先可以明确是一个收益线性规划问题。

第一种方式：拉格朗日乘数法。设参数为线性约束a+b+c=30。求解即可。不过使用这个方法有点舍近求远。具体工作场景当中是可以用excel或者python等工具的，所以可以有更好的解决办法。

第二种方式：均值不等式。比较显然的解决办法，三个因子相乘，且三个数都是正，经过一定的运算变换，是可以整理成均值不等式方法的，把系数归一化就可以。原式=a*(5+b)*(4+c)/10,然后只需要求a*(5+b)*(4+c)的最大值，且求解最大值点，就可以得到结果了，后面就不详述了。

第三种方式：边际递减法。这里详细介绍一下第三种方式。计算点三种类参数的每加点边际收益，只要能够使得，三种加点的边际收益一致，那接下来就只需要再轮番加点每个属性，就可以得到最优解。

根据计算，当a,b,c,分别加点到11，6，7的时候，边际收益相同。所以我们的加点策略只需要满足。先把a,b,c加点到11，6，7.剩下再轮流加点就可以了。即，我们的30点数，分配为13=11+2，8=6+2，9=7+2

第四种方式：excel自带的规划求解或者程序的暴力搜索。

excel自带的规划求解功能可以直接解决该问题：

输入参数后，得到结果也与第三种方法的计算一致。

简单的问题看完了，再来看一个复杂的问题。

复杂的问题

下图,是我崩铁中，希儿不穿任何遗物的练度情况和终结技技能倍率。

注：图中希儿1210为白板攻击力，无任何百分比攻击词条。

问题：假设一个攻击力词条为4.3%攻击力加成，一个暴击率词条为3.2%，一个暴击伤害词条为6.4%。然后假设我的圣遗物一共可以获得20/50/70个进攻词条（包含攻双暴）。如何分配词条，能够让我的希儿大招打出最高输出。

求解前提

在解决问题之前。要先确定一些“正确的废话”

1.技能倍率和初始攻击力和该问题的解答无关。因为输出公式可以写为：技能倍率*攻击力基数*（1+攻击力%）*（1+暴击率*暴击伤害）。很明显，技能倍率和攻击力基数是可以不考虑的，可以把这两个因子拿出去。并且在考虑该问题的时候，并不需要关注额外攻击力是固定词条还是百分比词条，只要关注”额外的/基本的“比值，换算出来的攻击力百分比对应的词条数量即可。

2.暴击率*暴击伤害一定是1：2最优，原因是，游戏中的暴击率和暴击伤害均是成双倍投放的。因此：设暴击率单词条为单位1，暴击伤害即为2.假设暴击率和暴击伤害共有z个词条。z=x+y，x为暴击率词条数量，y为暴击伤害词条数量。那么暴击率*暴击伤害=2xy。能取到最大值，当且仅当x=y。即暴击率和暴击伤害等价词条数量一致。即数值为1：2.

3.词条数量更多的“最优解”要大于词条数量更少的“最优解”。

另外：

这个问题用拉格朗日乘数法并没有求出合适的解（已经尝试过了）

直接套用上文的方法三，也不可以。（一会儿会说到为什么不可以）

求解过程

第一步：设定暴击乘区收益价值，方便计算。根据前提2.我们可以提前知道，暴击和暴伤应该是同步提升的。所以设定一词条”暴击收益“为0.5词条暴击和0.5词条暴伤。

第二步：依旧采用词条的边际收益概念，求解一下攻击力和"暴击收益”，每一个词条的边际收益。

（边际收益=提升后/提升前-1，攻击力边际收益=（1+（n+1）*0.043）/（1+n*0.043），

暴击收益边际收益=（1+（n+1）*（0.5*0.032）*（n+1)*(0.5*0.064))/（1+n*(0.5*0.032）*n*(0.5*0.064))

得到如下规律

利用攻击力和暴击收益绘图

橙色线条为攻击力边际收益，蓝色线条为暴击收益的边际收益。（这也解释了，为什么直接使用方法三是不奏效的，因为这两个属性，并不如同前面问题一样，两个属性的边际效益都保持全局边际递减，而是一个分段函数）

根据读表，交点大概是在横坐标27-28处。我们可以大致按照28处理，28词条的暴击收益也就是对应暴击率和暴击伤害为（44.8%，89.6%）在这点之前，我们可以粗暴地看作攻击力收益高于双暴，这点之后，双暴收益高于攻击力。该点正是两种状态的切换点。

暂时将这部分结果保留，后面还会用到。

第三步：求解动态最优解点。词条总数不同的时候，最优解点也不同，但无论词条总数有多少，最优解点（稳态点）即使变化，也应该是具备一个性质即：下一次词条无论点在哪里，收益相同。所以根据这个结果，列方程。以暴击率为锚点。设暴击率为y，攻击力为x

可以得到：x=(43+86y²-64y)/64y。根据该方程。带入每词条暴击率提升，得到如下表格数据。

对表格数据进行绘图：可以得到：

最优解的暴击收益拐点位于暴击率，攻击力（70.4%，90.04%）。

关于这个拐点，还可以从之前的暴击收益的边际效益图里观察到。 

暴击收益值45.利用44计算即可。也就是暴击率=22*3.2%=70.4%，暴击伤害=140.8%。

即为上面得到的拐点，在该拐点前暴击属性稀释逐渐减小，之后又慢慢增大，满暴击率以后再变成线性变化收益递减（满暴部分图里未体现。）

第四步：重点局部点

上面那个图中，有四个很重要的点。

第一个，状态8：状态8的暴击收益等价于我的希儿目前初始状态的暴击收益。我的希儿的暴击收益可以通过，计算SQRT（暴击*爆伤/2）计算。最终可以得到，只看暴击收益我的希儿目前位于状态8

第二个，状态14：即为攻击力和暴击收益的边际收益切换点。理论上，最优解只要不完全恰好等于该点，就会跳跃该点，所以该点也是一个理想点。不会发生的点。

第三个：状态15：即为攻击力和暴击收益交替后的点，当词条数量能够满足状态15的暴击收益最优解点的时候，就会立刻跳过14状态，如果词条数量不能满足，则不会跳过14状态（表现为一直堆攻击力的收益总要大于双暴）

第四个：状态22：即为暴击收益的拐点，该点是游戏里角色的长期理想点的起点。游戏内的词条配置策略，完全可以先追求到该点，然后同步提升暴击和爆伤，然后暴击满了以后，只追求爆伤，爆伤过高的时候（几乎不可能），再反过去追求攻击。

第五个：状态31：暴击达到100%，暴击收益逐步降低，后续暴击收益曲线越发和攻击授收益曲线逐渐贴合，直至相交。

第五步：结论

最优解的变化会根据，词条约束数量，在上面的最优解表格当中向其中一个结果靠近，其中最特殊的为状态15和22。作为两个变化点，词条约束是否能够达到15和22所要求的水平，哪怕只差一个，获得最优解的策略都是不同的。

第六步：带入情况，得到结果。

把问题回到现实问题当中来。上面说的结论可能还是让人有些云里雾里，那么带入一下实际数据，再详细结算一下会清晰的多。上面已经说过。我的希儿目前位于状态8的水平。而看到属性里面，攻击力还远远没有达到要求 。

那么问题描述的三种情况：

情况1：20个词条：首先分析一下20个词条能带来的收益，如果全点攻击力，可以让攻击力达到20*4.3%=86%。此时，即使把词条全部分配给攻击力，也无法达到状态15的攻击力要求。也就意味着，攻击和暴击收益的边际效应，目前还是攻击力作为主要。（即仅仅20个词条，无法跳跃到攻击力收益和暴击收益切换的点。所以只堆攻击即可）

所以当20个词条的时候，20个词条全点攻击就可以了。

情况2：50个词条：分析一下50个人词条带来的收益，如果全点攻击力，可以获得50*4.3%=215%。目前看来是远远超出了状态15要求的104.47%。那么现在只把攻击力给到104.47%，即24个攻击词条。剩余词条数量为26个。然后基于原本就具有的属性23%暴击率和55.3%的暴击伤害，即暴击率原本具有23%/3.2%≈7个词条。暴击伤害约等于8-9个词条。看作8个。我们把26个词条分配14个给暴击率12个给暴击伤害。得到：暴击率=67.8%。

其实算到这里，情况2，就可以暂时停手了。因为我们把24个词条分配给攻击，这一步，这个尝试是错误的。暴击率能够被分配至67.8%即，50个词条已经具备可以让状态达到状态22的可能性了。少分配一些攻击力，转而给暴击率。就可以达到状态22.接下来重新计算。

攻击力=90.4%/4.3%≈21个词条，此时暴击收益还有29个待分配。此时分配给暴击率15个，暴击伤害14个。

可以得到暴击率=23%+3.2%*15=71%，暴击伤害=55.3%+6.4%*14=144.9%

最后的词条分配为：（21，15，14）属性值为（90.4%，71%，144.9%）

情况3：其实基于情况2的前提，继续思考即可。依旧从最优解集合入手，此时的词条有70条。

由于已经通过了拐点，暴击收益和攻击的边际收益都在下降，此时有点类似“上一个简单问题里的解法3”了，因为此时满足了所有属性都是同走向的变化。所以原则上来说，经过拐点状态22以后，依旧边际收益递减速度分配即可。当边际收益递减速度一致，轮番分配即可。

说回正题，对于情况3，可以向最优解状态31去靠近，这里就不详述了，过程还是和上面大差不大，最终拟合的最优结果为攻击力分配24条，暴击率分配24条，暴击伤害分配22条。

求解验证

下面写了一段程序，用来暴力搜索最优结果（excel的规划求解也可以，但偶尔精度选的不准会出错，所以就写了一段程序来保证正确）。来验证上面得到的每一组结果。

得到：词条数为20:

词条数为50:

词条数为70:

列表中第一个元素为计算出的最大局部伤害。验证得到，我们上面的结果均正确。

备注

这里可以基于这个程序，更直观看一下上面说的“状态跳跃”的情况。

计算一下，我的希儿想要达到状态15，所需要的最少词条为多少：首先攻击力为约为24个词条即103.2%最靠近状态里的104.47%。暴击率达到48%，至少需要48%-23%=25%/3.2%=8个词条，暴击伤害大约要7个词条。共计24+8+7=39个词条。也就是说如果达不到39个词条，就无法跳跃状态14，全堆攻击收益最高。

验证：

38词条：

39词条：

达成跳跃。

到这里，问题应该算是解决了。