Wallace-Bolyai-Gerwien 定理

今天我们要介绍的定理，也是一个名字冗长的定理，由于没有在百度上找到官方词条，我去维基百科那里，找到了关于这个定理的介绍：

当然还有英文版本：

乍看到这个定理，我想到了以前讲过的PDN和库利奇大上定理，但是那两个定理都需要使用代数的数学工具，而这个定理看起来无从下手，实际上非常浅显；
为了证明这个定理，我们需要作出以下几个铺垫：
引理一：任意多边形都可以分割为若干个互不重叠的小三角形
在凸四边形的时候，这个引理是显然的，只需要从一个顶点出发，连接剩余顶点即可，如下图中蓝色线段：

在凹四边形时，我们需要定义，如果某一点处的内角度数大于180°，成这个点为“凹点”
由此，只需要将凹点配对连接至没有凹点或有1个凹点时，将凹点两侧的连通区域分开讨论，再将剩余的凹点与连通区域内任意两个相邻的顶点相连，即可使所有的凹点变为“凸点”，从而回到凸四边形情况；

折多边形时，只需要将边相交产生的点作为图形新顶点，分割成的连通区域分别讨论，即可回到凹四边形和凸四边形的情况；

至此，引理一证毕；
引理二：任意三角形都可转化为面积相等的一个矩形
这个定理几乎是显然的，取锐角三角形（如果不是锐角三角形，就将它转化为等底等高的锐角三角形）的中位线，作垂线后相互配对即可，如下图所示：

引理三：任意矩形都可转化为与其面积相等的矩形
这个命题也是显然的，按照下图所示方法，将两个矩形叠放在一起，做配对即可；

回到原命题，首先对于任意一个多边形，我们将其转化为了若干个三角形（引理一）
其次，我们将这些三角形转化为若干个矩形（引理二）
再其次，取一段长度作为公共宽，将这些矩形转化为宽均为公共宽的矩形（引理三）
请注意，这个过程是可逆的，我们要转化的这个多边形，同样可以转化为一个矩形，与上面过程类似，然而，这两个大矩形的面积相等，故可以由一个转化为另一个（引理三），所以命题证毕

可能有一定的理解难度，但如果你想明白了，这个定理将是非常具有操作性和神秘性的定理，至于这个定理有什么实际用途呢？我不知道，希望大家可以集思广益

另注：本篇中的“操作”是指经过有限次的剪裁拼接