MIMO初步（二）如何估计发送的数据

上一篇文章( MIMO初步 (一) ) 介绍了 MIMO 系统中如何求解信道的系数矩阵，当然，那是非常理想的情况，没有考虑噪声。但是，即使是非常理想的情况，也应该对我们理解 MIMO 系统是很有帮助的，而且，我是尽可能地写得浅显易懂。

这篇文章是接着上篇文章的，在知道了信道的系数矩阵后，根据接收到的数据，如何估计出发送的数据？这也是通信的最终目的，我们就是要从发送方把信息传给接收方，对于接收方来讲，就是想知道发送方到底发送了什么东西。 我们也分多种情况来分析。

这篇文章还是基于最基本的方程组的概念，基于矩阵乘法和逆矩阵的基本知识来展开的，希望以最低的门槛来介绍相关的知识。



如果估计发送的数据

我们假定已知了信道的系数，当然，接收到的数据也是已知的，现在要求解的是发送方发送的数据，我们分四种情况来讨论。

一发两收

已知接收到的数据是  y1 和 y2，信道的参数为：

从发射天线 1 到接收天线 1 的信道系数为 w11

从发射天线 1 到接收天线 2 的信道系数为 w12.

则发送方的数据是 x，是未知数，此时可以列出来两个方程：

可以看到，两个方程，一个未知数，理论上，如果没有任何噪声干扰，信道的系数也是正确的，那两个方程应该得到相同的解 x，这是理想情况。不理想的情况，这两个方程的解是不一样的，此时，要根据某些原则来选择一个最好的，也可以把两个解按照某种比例混一下得到一个结果，至于如何选择，不是本文想探讨的话题。

(扩展：这种情况就是  接收分集  Receiving Diversity)

两发一收

已知接收到的数据是  y1，信道的参数为：

从发射天线 1 到接收天线 1 的信道系数为 w11

从发射天线 2 到接收天线 1 的信道系数为 w21.

则发送方的数据是 x1，x2，是未知数，此时可以列出来一个方程：

容易知道，有两个未知数 x1 和 x2，但是只有一个方程，不能确定一个唯一解，还需要另外一个方程。所以，这种情况下，发送方要把 x1 和 x2 重新发送一下，产生一个新的不同的方程，注意，这里要强调是不同的方程，因此，可以在天线 1 上发送 -x2(前面是一个负号，即负的 x2)，在天线 2 上发送 x1 ( 上一时刻，天线 1 上发的是 x1，天线 2 上发的是 x2)，此时接收天线上收到的信号记为 y2，则可以累出一个新的方程：

调整一下方程中未知量的位置，变为：

此时，我们就有两个方程了，联立在一起：
写成矩阵形式为：

我们来讨论一下这个方程组的解的情况，可能无解，有唯一解，无穷多个解。

无解的情况是 系数均为 0 ，那意味着 无线信道完全断开了，无法接收有效数据，可以认为这个时候已经完全无法估计发送的数据了。

无穷多个解的情况是 系数均为 0，且 y1 和 y2 也为 0  ，那意味着 无线信道完全断开了，无法接收有效数据，可以认为这个时候已经完全无法估计发送的数据了。

只要 两个信道系数不同时为 0 ，则方程就有唯一解。

则此时的解可以写为：

(扩展：这种情况就是  发射分集  Transmitting Diversity)

(思考：第二个时刻点重复发 x1 和 x2，可以有许多中不同的方式来发，例如在第一根天线上发 0.3 倍的 x1，在第二根天线上发 0.9 倍的 x2，从解方程的角度看，也是可以确定唯一解的，那这种发送方法与前面说的方法有什么劣势或者优势吗？有大牛可以留言指点迷津。)



两发三收

设：

从发射天线1到接收天线1的系数为 w11，从发射天线1到接收天线2的系数为 w12，从发射天线1到接收天线3的系数为 w13

从发射天线2到接收天线1的系数为 w21，从发射天线2到接收天线2的系数为 w22，从发射天线2到接收天线3的系数为 w23.

从两根天线上发出的信号是 x1 和 x2，此时三根接收天线接收的信号分别是 y1，y2, y3，那么可以列出来三个方程，方程中 x 是未知数：

可以看到，三个方程，有两个未知数，这里的情况就比较多，我们这里不按照有解、误解和无穷多解来分析，我们从工程实际的角度来分析。

第一种情况，三个方程中的任意两个方程均可以确定唯一解，那么可以确定出三组解，可以从三组解中按照某种准则选择最好的，或者按照比例系数合并成一组解，这有点类似于 一发两收的情况。

第二种情况，有某两个方程联立是不可确定唯一解的，即两个方程的左边的系数成比例，那么这种情况下，就退化成两发两收的情况来确定一个唯一解。例如：

可以看出来，前两个方程，左边是 2 倍的关系，所以，无法确定出来一组唯一的解。

但是，第一个方程和第三个方程可以确定一组唯一解，第二个方程和第三个方程也可以确定一组唯一的解。在这两组解中也可以做一个选择或者某种方式的合并。

第三种情况，是三个放在一起都无法确定一个唯一解，即三个方程左边的系数都是成比例的，例如：

此时，有点类似于 两发一收，需要再下一时刻，再发一次 x1 和 x2 ( 当然，类似于两发一收的情况，第二个时刻发的数据，要做一个有规律的变化)。假如我们在第一根天线上发 -x2，在第二根天线上发 x1，则有新的三个方程：

调整一下未知数的位置，上面三个方程可以写成：


那么，两个时刻会得到 6 个方程:

只有两个未知数，则第一时刻的任何一个方程（3个方程中拿出来一个）与第二个时刻的任何一个方程联立，可以确定一组唯一的解，那么可以确定出 9 组唯一解，此时，也可以采用某种准则选择一个或者做某种方式的合并，得到一组最终的解。





三发两收

设：

从发射天线1到接收天线1的系数为 w11，从发射天线1到接收天线2的系数为 w12

从发射天线2到接收天线1的系数为 w21，从发射天线2到接收天线2的系数为 w22

从发射天线2到接收天线1的系数为 w31，从发射天线2到接收天线2的系数为 w32

则第一时刻，从三根天线上发出的数据为 x1,x2 和x3，两根接收天线上收到的数据为 y1, y2, 那么可以列出来两个方程，方程中 x 是未知数：

可以看到，上面是两个方程，三个未知数，显然无法确定唯一的解。

上面的两个方程，如果左边的系数是成比例的，则就退化成是三发一收的情况，可以用类似于两发一收的方法来分析（要把三个数据以不同的组合形式，发三次）。

如果上面的方程，左边的系数不成比例的，那么为了确定一组唯一的解，则至少还需要一个方程。那么还需要再下个时刻发送一下数据，但是，一旦发送，则会再产生两个方程，那么就变成四个方程，三个未知数了。一个合理的想法，是在第二个时刻发送的时候，再仅仅增加一个未知数 x4，这样四个方程四个未知数就可能确定唯一的一组解。

    我们在第二个时刻做如下方式的发射：第一个天线发射  -x2，第二个天线发射 x1，第三个天线发射新增加的数 x4，则可以列出来两个方程：

调整一下 x1 和 x2 的位置，上面两个方程改写成：

把四个方程放到一起来看一下：

写成矩阵形式：

则可以求解出发送的数据：

通过这两篇文章，在比较理想的情况下，我们如何求解信道的系数，求解出信道的系数后，再在后续的时间里，假设信道情况不变，根据接收到的数据来计算发送的数据。