卫星数据处理（三）——SVD分析

（三）SVD分析

对于单一频率或单色平面波，无论电场还是磁场都可以写成：

其中，代表初始时刻的或。根据Faraday’s law，有：

则可以利用FFT变换式（；）结合线性小扰动理论：

得到：。根据矢量叉乘的位置关系，看出波矢和磁场扰动有。

MVA分析利用磁场分量的协方差矩阵得到特征值和特征向量，同时可以画出磁场的矢端曲线图（hodographs），用来表征波动的极化特征。但要注意的是，最小方差分析基于信号频率极窄、波矢方向基本不随频率变化的假设。

对于波传播特性的另一种分析是基于多维频谱分析，不同于早期只用实部的McPherron et al. （1972）和只用虚部的Means （1972），Sanrolik et al. （2003）假设存在平面波的情况下，结合复数域的多维频谱矩阵，结合Ladreiter et al. （1995）提出的奇异值分解（singular value decomposition）方法，提高最小化过程，得出更合理的传播特性结果。主要过程：

• 利用磁场信息经过谱分析得到多维频谱结果；

• 对于特定频率和时刻，都可以形成Hermitian频谱矩阵，其中元素;

• 根据复数元素构造矩阵满足（分别代表实部和虚部）：

  

• 对进行奇异值分解得到特征值（）和特征向量;

• 椭率、平面波参量和波矢-背景磁场夹角表达式有:

  ，，。

其中，平面波参量近似为1时才满足原假设，若小于1则可考虑其不服从平面波假设的前提条件。另外，注意区分椭率表达式和归一化约化磁螺度（normalized reduced magnetic helicity），其更接近圆偏振度的定义，且无法得到更多的波动性参量。

有别于Sanrolik et al. （2003）基本不考虑噪声水平的情况，Taubenschuss & Sanrolik （2019）从原理上进行方法改进，包括100%极化的波动、波动噪声和各向同性的仪器及背景噪声。满足：

当然，一般情况下，并不是100%偏振的，由圆偏振和线偏振共同组成，基于去除元素值为0的矩阵，其斯托克斯参量（Stocks parameters）可表示为：

总偏振度、线偏振度和圆偏振度分别用、和计算，表达式分别为：

，和。对于圆偏振度的描述，可以看出有正负性，可以用来表征极化方向，正代表右旋，负代表左旋。由此，可以在椭率计算中加入其符号变量，，替代相关的圆偏振信息。若考虑噪声，Taubenschuss & Sanrolik （2019）给出以下计算过程：

• 利用磁场信息经过谱分析得到多维频谱结果；

• 对于特定频率和时刻，都可以构成复数频谱矩阵，元素计算同无噪声下的;

• 对采用奇异值分解得到特征值及其对应的特征向量;

• 对的实部再采用奇异值分解得到特征值及其对应的特征向量;

• 椭率、平面波参量和波矢-背景磁场夹角表达式有:

  ，，。

此时，总偏振度。

其中，代表矩阵的迹，由Eliis et al. （2005）经八个三维盖尔曼（Gell-Mann）矩阵替代二维泡利（Pauli）自旋矩阵得到的偏振结果。此外，还能根据得到相关的信噪比（signa to noise ratio，SNR）,满足：

基本上，事件要挑选尽量高的SNR（不小于10），这样可以有效避免噪声淹没信号，得到的结果更加可靠。对于实际磁场信号的处理，通常先取一定长度的数据得到时间段内较为可靠的背景磁场，再进行Magnetic-Field Aligned磁场变换，此变换则可将扰动大致分在平行于背景磁场的压缩（compressional）扰动和垂直于背景磁场的横向（transverse）扰动，且背景磁场的单位矢量方向为[0,0,1]。接着，运用小波分析得到多维频谱结果。此时，由于在小波分析的过程中，会有主动窗口的选择效应，因此噪声水平往往会在一定低的水平，此时SNR水平往往显得突出，得到的平面波参量也更接近于1，符合平面波的前提假设条件，波动分析的结果也更加准确。