卫星数据处理（一）——HT分析

此模块涉及相对专业的数理知识，借鉴《analysis Methods for Multi-Spacecraft Data》(1998）一书内容，讲述deHoffmann-Teller（HT）分析、最小方差分析（minimum variance analysis，MVA）、奇异值分解法（singular value decomposition，SVD）求解波动性质三模块内容。

（一）HT分析

通常，对于背景介质均一、磁场和速度呈现相干的准静态模式（如：阿尔芬波等），就可以找到一个坐标系使得等离子体流沿磁场径向，此时电场消失，称作HT坐标系，这种分析方法叫做HT分析（deHoffmann-Teller，1950）。其中，最重要的参量是速度矢量，使得各点的“剩余电场（residual electric field）”基本为0，根据法拉第定律（Farady’s law）有：

这说明在此坐标系下，磁场不随时间而改变，即其位形是相对稳定的。关于需要满足的关系式也就可以表示为：

这样，就可以用来“描述”一整段速度和磁场的观测数据。Aggson et al.（1983）使用复分析的方法求解，而现在常用的是基于非复分析和最小二乘法得到（Sonnerup et al., 1987; 1990）。给出一段时间内有N个观测样本数的的方差和，表达式为：

不难看出，上式也是关于的函数，可记为。因此，要使得达到最小值，即通过对每个分量的偏导数为0得到最优解，也就是。当然，也可以表示成：

通过推导，引入每个时刻点的矩阵，其内元素的值由下式得到（Khrabrov & Sonnerup, 1998）：

那么，就满足下式：

所以，容易得到：

同时，给出对应的误差表达式为：

从而，也得到了总体评估矩阵，经过推导，其满足下式：

则关于和的特征矢量相同，特征值分别为和，表示在上的方差，有：

同时，在单位矢量的投影方差为。如此，假如存在速度差，则关于的方差可由下式表示：

因此，在特征值所约束的特征向量空间中，可以得到：

与最小值类似的，引入等离子体越场速度，使得其均方差最小，表达式为：

不难看出，此时的就满足（即用矩阵代替矩阵）：，也就是说。

当然，对于MHD和混杂（hybrid）模拟结果都显示在HT坐标系下显现完美的Walén关系（Lin et al., 2009）。在实际数据处理中，为了避免引入HT坐标系和背景磁场带来的不确定性，Li et al.（2016）展示了一种用多次带通滤波的方式来检验Walén关系。近来，源自希尔伯特-黄氏变换（Hilbert-Hung transform，HHT）（Huang et al., 1998）方法，Liu et al.（2020）基于总体平均经验模式分解（ensemble empirical mode decomposition，EEMD）的方法，认为随时间而发生相应改变。另外，Yang et al.（2019; 2020）基于观测样本，以均值来替代得到，即表达式为：

但要注意此种情况下，不一定是最小二乘的结果，此式被称为定速度下的波场（wave frame with constant velocity，WFCV）。如果考虑速度不是定常值，则可加入滑动平均（也可用滤波代替）而引出变速度下的波场（wave frame with varying velocity，WFFV）。