初三数学九年级上册数学 北师大版 2021新版 初中数学9年级上册数学 北...

平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形

平行四边形的性质（菱形的性质）①中心对称图形

②对边平行且相等

③对角相等

④对角线互相平分

菱形的定义：1.有一组邻边（相邻的两条边）相等的平行四边形叫做菱形

＊1.菱形是特殊的平行四边形

2.平行四边形不一定是菱形

菱形的特殊性质：1.菱形是轴对称图形（两条对称轴，分别是对角线所在的直线）

2.对称轴互相垂直，菱形的对角线互相垂直（定理）

3.菱形的四条边相等（定理）

求证：

例题：

①∵AC平分角BAD，角BAD=60°

∴角BAC=角DAC=30°

∵BD=6，AC平分BD/四边形ABCD为菱形

（∴对角线互相平分）

∴BO=OD=3

（因为30°所对的边是斜边的一半）

∴AD=6=AB（菱形的四条边相等）

∵菱形的对角线互相垂直

∴AO=AC

AO²=AD²-DO²=36-9=27

AO=√27=3√3=OC

AC=AO+OC=3√3+3√3=6√3

②

例三

复习

菱形的判定

1.菱形的定义

2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形

3.四条边相等的四边形是菱形

画图

例题：

①

∵AB=√5，OA=2，OB=1

根据勾股定理

OA²+OB²=AB²

AB²-OA²=OB²

5-4=1

OB²=1，OB=1

∴△ABO为Rt△

∠AOB=90°

则∠AOD=90°

AC⊥BD

∴平行四边形ABCD为菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）

②

∵AB=√5，OA=2，OB=1

根据勾股定理

OA²+OB²=AB²

AB²-OA²=OB²

5-4=1

OB²=1，OB=1

∴△ABO为Rt△

∠AOB=90°=∠AOD

∵平行四边形ABCD

∴AC平分BD

BO=OD

在△ABO和△AOD中

AO=AO

∠AOB=∠AOD=90°

BO=OD

∴△ABO≌△AOD（SAS）

∴AB=AD=√5

∴平行四边形ABCD为菱形（有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形）

例二

复习

菱形四边相等

菱形的对角线互相垂直且平分

菱形是中心对称图形、轴对称图形

菱形具有平行四边形的所有性质（菱形是特殊的平行四边形）

菱形的判定

1.一组邻边相等的平行四边形是菱形

2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形

3.四条边相等的四边形是菱形

S菱：低×高

例题

（1）

∵四边形ABCD为菱形，AC=10cm，

∴AE⊥BD，AE=EC=5cm，BE=ED

∵AB=AD=BC=DC=13㎝

根据勾股定理

AB²-AE²=BE²=13²㎝-5²㎝=144㎝=12²㎝

即BE=12（㎝）

BD=BE+ED=12+12=24（㎝）

答：对角线BD的长度为24厘米。

（2）

①∵S菱ABCD=S△ABC+S△ADC

AC=10㎝ BE=12㎝

∴S△ABC=（10×12）÷2

S△ADC=（10×12）÷2

（△ABC≌△ADC）

S菱ABCD=S△ABC+S△ADC=2×（10×12）÷2=10×12=120（㎝²）

答：菱形ABCD的面积是120平方厘米。

②∵S菱ABCD=S△BDC+S△ABD

EC=5㎝，BD=24㎝

∴S△BDC=（5×24）÷2

S△ABD=（5×24）÷2

（△BDC≌△ABD）

S菱ABCD=5×24=120（㎝²）

答：菱形ABCD的面积为120平方厘米。

③求四个小三角形的面积，然后相加求出菱形ABCD的面积。

S菱形=其对角线长的乘积的一半

（例：S菱形=120㎝²，一条对角线长10㎝，另一条长24㎝。

两条对角线相乘等于240㎝²

240÷2=120㎝²

所以菱形的面积会是它两条对角线积的一半）

例2

扩展

矩形

定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形

矩形是特殊的平行四边形

矩形的性质：

1.具有平行四边形的所有性质

①中心对称图形

②对边平行且相等

③对角相等

④对角线互相平分

2.矩形是轴对称图形（两条对称轴，分别是对边中点所在的直线）

3.矩形的四个角都是直角（定理）

4.矩形的对角线相等（定理）

5.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半

例题

思路①：我们已经知道四边形ABCD为矩形，所以BO=1/2AC，即BO=AO（△AOB为等腰三角形）。

题目中给出∠AOD=120°，所以∠AOB=60°，便可以得知△AOB为等边三角形（一个等腰三角形中有一个60°，那这个等腰三角形便是等边三角形）。

因为△AOB为等边三角形，又得知AB长为2.5，便可以得知三角形另外的两条边均为2.5。（就是AO=BO=2.5）

（任取一条对角线，这里拿BO）前面说过四边形ABCD为矩形，而矩形又有对角线互相平分的性质，所以BO=OD=2.5，即BD为5。

②

复习

矩形的判定

①矩形的定义（有一个角是直角的平行四边形是矩形）

②对角线相等的平行四边形是矩形

③有三个角是直角的四边形是矩形

例题

思路①：题目要求我们求出平行四边形ABCD的面积，我们都知道平行四边形的面积公式是底乘高。

在这题中，我们知道△AOB为等边三角形，AB为4。我们便可以知道AB=BO=AO=4。

因为整个图形ABCD是一个平行四边形，便可以得知对角线互相平分，所以AO=OC=4，即整个AC为8。

（CD也等于4，与上面方法相同，可以得知这个平行四边形是一个矩形，运用的定理是对角线相等的平行四边形是矩形）

知道了平行四边形ABCD是矩形，便可以运用勾股定理求出BC边或AD边。

（这里拿BC边），根据勾股定理我们可以得出BC²=AC²-AB²=64-16=48，即BC=4√3。

再带入底乘高的公式中，我们便可以得出4√3×4=16√3。

练习：

正方形的性质和判定

复习

正方形的定义：

有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形是正方形。

正方形是特殊的菱形也是特殊的矩形

正方形的性质：

四个角都是直角，四条边相等（定理）

对边平行

对角线相等且互相垂直平分（定理）

正方形是轴对称图形也是中心对称图形，有四条对称轴

例题

A，一般平行四边形与菱形的对角线都不会相等

B，一般平行四边形和矩形对角线不会互相垂直平分，一般平行四边形的对角线不相等

D，一般平行四边形和矩形的四条边不会相等，一般平行四边和菱形四个角不相等

例2

（1）

思路：因为四边形ABCD为正方形，所以四条边相等AB=BC。

所以△ABC为等腰三角形

∠BAC=∠BCA

正方形四个角相等都是90°，所以∠BCA=（180-90）÷2=45°

（2）

思路：因为四边形ABCD是正方形，所以四条边相等，对角线互相平分且垂直平分。

我们又知道AO为2，那么BO=OD=OC=2。

根据勾股定理

a²+b²=c²

（任取一个组合，这里选取AB为斜边）

4+4=8

AB²=8，AB=2√2。

其余三条边皆是2√2，因为它是正方形。

正方形的周长便等于4×2√2=8√2

（3）

思路：上一问已经求出一条边的长度为2√2。

正方形的面积公式为底乘高。

即，2√2×2√2=8。

（其他方法不写了）

（4）

8个

例3

结论：相等

思路：四边形ABCD是正方形，所以BC=CD。

F为BC延长线上的一点，DC⊥BF，∠BCD=∠DCF=90°。

题目已经说出CE=CF。

两边夹一角，△BCE≌△DCF。

所以BE=DF。

复习

正方形的定义：

有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形是正方形。

正方形是特殊的菱形也是特殊的矩形

正方形的性质：

四个角都是直角，四条边相等（定理）

对边平行

对角线相等且互相垂直平分（定理）

正方形是轴对称图形也是中心对称图形，有四条对称轴

例题

思路：已知条件，ABCD为矩形、BE平分∠ABC、CE平分∠DCB、BF∥CE、CF∥BE

BE平分∠ABC可以得到∠ABE=∠EBC

CE平分∠DCB可以得到∠DCE=∠ECB（四个角相等）

BF∥CE（a） CF∥BE（b）

a:∠ECB=∠CBF

b:∠EBC=∠BCF

（四个角相等）

∠EBC+∠CBF=90°=∠EBF（∠ECB=∠CBF，∠ECB+∠EBC=90°）

四边形BECF两组对边分别平行，是平行四边形。

ΔBEC≌ΔBFC（ASA）

即EB=BF

所以四边形BECF为正方形（有一组邻边相等，且有个角是直角的平行四边形为正方形）

例2

认识一元二次方程1

概念：只含有一个未知数x的整式方程，并且都可以化为ax²+bx+c=0（a、b、c为常数，a≠0）的形式，这样的方程叫做一元二次方程。

一般形式：ax²+bx+c=0（a、b、c为常数，a≠0）（此形式中，a为二次项系数，ax²为二次项，b为一次项系数，bx为一次项，c为常数项）

例子

例题

（1）二次项系数：7 一次项系数：-6

常数项：0

（2）二元一次方程

（3）分式方程

（4）二次项系数：1/2 一次项系数和常数项：0

（5）一元一次方程

拓展

配方法求解一元二次方程

（1）2x²+3=5 （2）（x+3）²=1

解：2x²=2 解： x+3=±1

x²=1 x₁=-2 x₂=-4

x₁=1 x₂=-1

（3）x²+2x+1=5 ＊完全平方公式：

解：（x+1）²=5 （a+b）²=a²+2ab+b²

x+1=±√5 （a-b）²=a²-2ab+b²

x₁=√5-1 x₂= -√5-1

（4）（x+6）²+7²=10²

（x+6）²=100-49

（x+6）²=51

x+6=±√51

x₁=√51-6 x₂= -√51-6

*平方差公式：（a-b）（a+b）=a²-b²（平方差公式与完全平方公式并不相通，也不存在完全平方差公式）

综合以上例题，方程可以转化成x²=n/（x+m）²=n的形式

（x₂不符合题意，因此舍去）

得出x²+px+（p/2）²=（x+p/2）²

例题

解：x²+8x=9

x²+8x+4²=9+4²

（x+4）²=25

x+4=±5

x₁=1 x₂= -9

配方法定义：通过配成完全平方式的方法得到一元二次方程的根，这种解一元二次方程的方法称为配方法

（1）x²-10x+25=7

解：（x-5）²=7

x-5=±√7

x₁=√7+5 x₂= -√7+5

（2）x²+2x+2=8x+4

解：x²+2x+2-8x-4=0

x²-6x-2=0

（x-3）²=11

x-3=±√11

x₁=√11+3 x₂= -√11+3

用公式解一元二次方程

复习

公式法定义：

例题

①解：x²-7x=18

x²-7x+(-7/2)²=18+(-7/2)²

(x-7/2)²=18+49/4

(x-7/2)²=121/4

x-7/2= ±11/2

x₁=9 x₂=-2

②解：a=1 b=-7 c=-18

b²-4ac=49+72=121

121>0

再带入-b±√b²-4ac/2a=x

7±√121/2×1=x

x₁=9 x₂=-2

例题2

①解：4x²-4x+1=0

(2x-1)²=0

2x-1=0

x=1/2

②

例3

步骤

例题（4）

①

②

③

④

＊根号下不能有负数

用因式分解求解一元二次方程

例题

5x²=4x

解：5x²-4x=0

x(5x-4)=0

①x=0 ②5x-4=0 x=4/5

x-2=x(x-2)

解：(x-2)-x(x-2)=0

(x-2)(1-x)=0

x₁=2 x₂=1

x²-4=0

解：(x-2)(x+2)=0

x₁=2 x₂=-2

(x+1)²-25=0

解：[(x+1)-5][(x+1)+5]=0

(x+1-5)(x+1+5)=0

(x-4)(x+6)=0

x₁=4 x₂=-6

*平方差公式：（a-b)(a+b）=a²-b²

x²-4x+4=0

解：(x-2)²=0

x=2

完全平方公式（a+b）²=a²+2ab+b²

(a-b)²=a²-2ab+b²

例题2

3(x-1)²=27

解：3(x-1)²-3×9=0

3[(x-1)-3][(x-1)+3]=0

(x-4)(x+2)=0

x₁=4 x₂=-2

5x(x-3)-(x-3)(x+1)=0

解：[5x-(x+1)](x-3)=0

(4x-1)(x-3) =0

x₁=3 x₂==1/4