『数学』几何难题精讲2(瓜豆＆胡不归)

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  第一至五期:关于圆的最值

  第六期:瓜豆＆胡不归(此处至少有一人观看)

        (话说这些传送门有人看吗?我应不应该删掉传送门呢?)

读前须知:

        本期内容适合备战中考的同学们观看,不满足条件的同学们散了吧.

正文:

        其实在重庆,中考前有一次指标到校考试,之后才是中考,而中考难度是比指标到校的难度大的,所以说在重庆这边的同学们刷一些中考的难题还是有用的,因为这样的话你在本地的指标到校考试中也许又可以多得到几分呢.

        那我们废话不多说,看看今天的例题吧.

一.例题

例.(2021重庆B卷)如图,在等边三角形ABC中,AB=6,,垂足为D,点E为AB边上一点,点F为直线BD上一点,连接EF.

        (1)将线段EF绕点E逆时针旋转60°得到线段EG,连接FG.

        ①如图1,当点E与点B重合,且GF的延长线过点C时,连接DG,求线段DG的长;

        ②如图2,点E不与点A,B重合,GF的延长线交BC于H,连接EH,求证:BE+BH=;

        (2)如图3,当点E为AB中点时,点M为BE中点,点N在边AC上,且DN=2NC,点F从BD中点Q沿射线QD运动,将线段EF绕点E顺时针旋转60°得到线段EP,连接FP,当最小时,直接写出△DPN的面积.

        (完了我GD没连接,你们就当连接了吧)

        (好像下问的PD也没连接,那么你们也当无事发生,好吧(╯▽╰))

        如果要看瓜豆or胡不归的就跳过这个题吧.

二.讲解

        (1)问感觉没什么好讲的,做一条垂线即可.

        算得.

        像(2)问这种就是典型的"截长补短"类型的题目,那我们就延长EA至K,使EK=BH.如图5:

        当然也可以延长HC至K,使HK=BE.

        乍一看,△BFH和△KFE是不是像全等呢?那我们就证明它们全等吧.

        是不是有∠EBH+∠EFH=180°?那么B、E、F、H四点共圆没错了.

        又因为垂直有三线合一,即BD平分∠ABC∠FBE=∠FBH=30°.

        根据圆周角定理,有EF=FH没错了.

        又∠BHF+∠BEF=180°和∠BEF+∠KEF=180°,有∠BHF=∠KEF.

        那就有(SAS)∠FBH=∠FKE=∠FBK=30°,BE+BH=BK.

        那么△BFK是含120°的等腰△,那就有底边长为腰长的倍,即.

        综上,有BE+BH=.

        当然,辅助线还可以这样作:延长BA(BC)至K,使∠BKF=30°(∠BFK=120°).像"截长补短"类型的题辅助线有时有多条,所以别看到这种题辅助线和参考答案不一样时就认为自己错了,说不定是想到了出题人没想到的地方去了呢!

        对于(3)问呢,我们要先找的最值对吧,那我们肯定先把动点P的轨迹给求出来,看是圆还是直线,这样才可以判断用阿氏圆还是胡不归.

        那我们就把EQ和MP给连接了.如图6:

        连EQ的话是因为中位线,而连MP的话是因为连了EQ后看起来有△EQF和△EMP全等,有全等为什么不证明呢?

        易得∠BQE=90°,BM=ME=EQ(中点+sin30°),EP=EF,∠BEQ=∠PEF=60°∠MEP=∠QEF.

        综上,则有,得∠EQF=∠EMP=90°.

        乍一看,M是定点对吧,而PM又和定直线AB的夹角是一个定值,那么直线MP是不是一条定直线呢?这就是说,点P的运动轨迹就是射线MP,对吧.

        其实这前面的过程就是证明一遍瓜豆原理罢了,如果不懂的就先看看下面写的关于瓜豆的讲解吧.

        那我们就接着讲吧.

        其实这个题的难点就是如何把给转换了,看到你会想到什么呢?有没有sin30°呢?如果有的话,那么恭喜你,胡不归的精髓就被你吴彦祖发现了(什,但确实.

        我们就过点M作平行于AC的射线,过点P作PR垂直于刚刚作的平行线于R.如图7:

        是不是有∠PMR=30°,那就有.

        那么什么时候NP+RP最小呢?我们来分析一下.

        由三角形三边关系,有(当且仅当N、P、R三点共线时等号成立),而线段NR在什么时候最短呢?肯定是NR是垂线段,即NRmin最小了.

        你看,上面两个不等式的取等条件是相同的,那两个不等式综合起来,NP+RP的最小值就是三点共线的垂线段NRmin了,对吧.

        题目要我们求的是什么?S△DPN吗?那就求它吧.

        那我们先"简单"标注一下线段的长度吧:

        易得AM=9/2,DN=2,NC=1则AT=9,CT=3,NT=4,可得.

        又∠RminND=90°,所以S△DNPmin=.

        又是轻松解决问题的一天(((┏(;￣▽￣)┛装完逼就跑

三.方法讲解:瓜豆原理＆胡不归

        我们先来讲解瓜豆原理.

        问题背景大概如图9所示:P在一定直线上运动,B为该平面内一定点,Q在该平面上且满足PB=kBQ(k>0),∠PBQ=α°(α为定值),求点Q的运动轨迹.

        那么遇到类似的题的话,你就可以知道这题用的是瓜豆原理了,而瓜豆原理就是主动点和从动点的轨迹关系,等我们把Q的轨迹求出来就懂了.

        如图10,作于C,将BC绕点B逆时针旋转α°至BD所在直线,作于D.

        易得△BPC∽△BQD(k=1时就不用我说了吧),那么因为C是定点,BC是定直线,可得D是定点,BD是定直线.

        那么过定直线BD上一点D作该直线的垂线有也只有一条,对吧.而且我们还可以知道DQ是定直线,而且它就是点Q的运动轨迹.

        为什么要作垂线而不是其他和定直线成β°(β≠90k,k为整数)呢?如果这样的话,那么过点D作的线的话会出现两条直线,对吧,而Q的运动轨迹只是一条直线,对吧.所以说在做大题的时候要证明瓜豆原理的话建议还是作垂线好.

        那么这时肯定存在听不懂的同学,由于up主写专栏时间有限,如果有不懂的话可以私信up主或在专栏下方评论,我尽力帮你们讲懂.

        接下来就是胡不归,我们就不讲那个古老的传说了吧,直接进入问题背景.

        胡不归的话一般都是AP是定直线,A是定点,P是动点,B是直线外一定点,连接BP,求kAP+BP的最小值(0<k<1).

        像这种题的话我们要过点A将直线AP往没有B点的方向旋转α°,使得sin α=k,然后过P作PQ垂直于刚刚旋转的直线于Q.

        那么kPA=PQ,而BP+PQ的最小值就是当B、P、Q三点共线时的线段BQmin.

        这些应该就是有关于瓜豆原理和胡不归的讲解了吧,有不懂的就私信或评论哈.

四.练习

        那么下一期的例题我就先放在这里了,感兴趣的同学们可以先看看.

例.如图,经过定点A的直线y=k(x-2)+1(k<0)交抛物线于B,C两点(点C在点B的右侧),D为抛物线的顶点.

        (1)直接写出点A的坐标;

        (2)如图13,若△ACD的面积是△ABD面积的两倍,求k的值;

        (3)如图14,以AC为直径作,若与直线y=t所截的弦长恒为定值,求t的值.

        记得没错的话这题好像是武汉的一道题,但题目却没有标明出处,但没事,毕竟B站已经有人用视频讲过这个题了,我就不计较什么版权问题了(手动滑稽).

        诶嘿,这题有点圆锥曲线的味道,但不浓.

        说这题难的主要原因是这题和圆锥曲线一样,有含参计算就会难,并且在初中哪个出题人会把圆和二次函数放在一起啊?那不就是把高中的圆锥曲线给拉来做了吗?你说对吧.

后记

         看在up主尽力周更并且尽心写这么多的面子下,这个东西不应该少吧:

        那我们下一期再见咯,ヾ(￣▽￣)Bye~Bye~.

        工程链接:

    (1,2)问: https://www.desmos.com/geometry/luqnqovbjp?lang=zh-CN ;

    (3)问: https://www.desmos.com/geometry/rkfitjl8eb?lang=zh-CN ;

    瓜豆＆胡不归: https://www.desmos.com/geometry/4lhathcq7c?lang=zh-CN .