超吹与边棱切割形状

作者：迈克·普雷

存在数种对笛子超吹到第二八度倾向有贡献的机制，机制之一是边棱的切割形状。该机制的一个贡献，是边棱切割形状与穿过TSH（根宁注：True Sound Hole，真实声孔，见附图0）声流之间的关系。最近载于美国声学会学报的一篇论文（Auvray, Fabre, & Lagrée, 2012）讨论了一、二八度正反两个方向转换的迟滞现象，这给相关动力学的控制参数带来了深刻理解。下图 1 展示了该过程的基本情形。在第一八度（ƒ1）增加吹气压力，达到阈值 p2 之后，笛子会超吹到第二八度（ƒ2）；但在降低吹气压力时，要降到p1，才能让笛子转换回基音频率 ƒ1  。这种普遍存在的状况，被称为迟滞现象。

图 1 在笛子进行八度超吹时，演奏频率作为吹气压力函数的特征

不同的笛子有不同的转换阈值（有的也许根本不能转换）。

用最简化的语言描述，笛子会在第二八度诸条件优于第一八度时产生超吹。当喷气柱振动而向系统注入能量时，其中大部分要么投入发声，要么在喷气柱切割边棱后的涡街脱落（vortex shedding）过程中损失掉了。（涡街脱落不会产生我们所听到的乐音——而实际上会从乐音中夺走能量，并产生嘶嘶的气声）。在发基音的时候，喷气柱向  ƒ1 和  ƒ2 ，及所有其他谐音提供能量。在更低吹气压力下，涡街脱落是最小化的，基音的强度取决于声流与喷气柱相互驱动的时机。随着吹气压力的升高，该时机逐渐无法同步，而涡街脱落随之增加。最终喷气柱从基音 ƒ1 得到的反馈会降到足够低，而从第二谐音（ƒ2）得到的反馈变得更强，于是笛子跳到第二八度。

涡街脱落与边棱切割的锐利度有关，能让涡街脱落更快增多的边棱，会更快地让 ƒ1  减弱，在更低的压力  p2 下，发生1→2的转换。如果边棱的过渡处是圆滑的，声流会填满TSH区，可如果边棱锐利，就会如图 2 展示的那样，将声流压得更紧。这种让声流压紧的流体力学现象，被称为射流缩聚效应（Vena Contracta），该效应揭示的基本事实是，运动的流体（如空气）会因有着太多的动量而不能作90°的突然转弯。射流缩聚系数是αvc = Lv/L ，即压缩流面积与开口面积的比值，αvc € 1。

图2 通过TSH的圆滑过渡（左） vs. 锐利过渡（右）。锐利过渡中发生的效应被称为射流缩聚

由涡流带来的损失，明显与TSH处的声场压力相关联。任意时间的总压力，根据伯努利原理，等于静态压力加动态压力。在光滑过渡的情况下，动态压力是 qVac2/2 ，q是空气密度，Vac 是声流速度。然而，对锐利边棱来说，动态压力是  q(Vac/αvc)2/2 ，比光滑过渡的情况更大（损耗更大），留下来为空气柱振动提供反馈的静态压力部分就更少。结果是基因频率共振更快地变弱，而第二八度在更低的吹气压力下接手。

本论文的发现显示出，双向的八度过渡皆依赖于喷气柱的放大因子，该因子与1/（气道深度）（根宁注：气道即 flu ，见附图 1 ）成正比。作者的发现在下图3中以一张汇总图表形式展示。从第一到第二八度的转换阈值，与射流缩聚效应呈现相关性，这意味着，锐利切割的边棱比平整切割的边棱容易超吹。事实上，圆滑的过渡也许是最好的，要让第一八度吹气压力的范围加宽，也许需要角度更陡峭或多面的坡道（根宁注：Ramp，见附图1）。下行过渡的阈值与气道的深度呈相反方向移动的函数，但其未呈现与边棱锐利程度的相关性。该图表还显示出，更高的放大因子（相对TSH长度更短的气道）会倾向于让 p1  与  p2 远离，从而增加笛子的迟滞现象。

图3  ƒ1 ‹ ƒ2  或 ƒ2 ‹ ƒ1  转换过程中的吹气压力阈值。两个压力阈值皆取决于喷气柱的空间放大因子，该因子与气道深度成反比。  ƒ1 ‹ ƒ2 的转换还依赖于与边棱切割锐利度相关的射流缩聚效应，而  ƒ2 ‹ ƒ1 的转换未呈现与边棱几何形状的相关性

参考文献：

Auvray, R., Fabre, B., & Lagrée, P.-Y. (2012). Regime change and oscillation thresholds in recorder-like instruments. J. Accoust. Soc. Am. , 131 (2), 1574-1585.

附图0：Sound Hole，也称TSH（True Sound Hole，即真实声孔）

附图1：NAF部位名称图