![]()
在之前的推导过程里有几个命题是等价的, 1) 尺度关系式 %3D%5Csum_%7Bk%5Cin%5Cmathbb%20Z%7Dp_k%5CPhi(2x-k))
等价于 
; 2) 标准正交性 %5CPhi(x-l)dx%3D%5Cdelta_%7B0%2Cl%7D)
等价于 
; 3) N 阶 D-小波拥有 N 阶消失矩 dx%3D0%3B%5C%3Bm%3D0%2C%5C%2C%5Ccdots%2C%5C%2CN-1)
等价于 %5Ekp_kk%5Em%3D0%3B%5C%3Bm%3D0%2C%5C%2C%5Ccdots%2C%5C%2CN-1)
[证明过程不明]. 由这几条累加式可以精确地求出 N 等于 1 至 3 时尺度系数 
的数值, 但对于 N>3 的情况只能求出数值近似解. 下面以 %7D_k)
给出 N 阶 D-小波的第 k 个尺度系数的精确值:
%7D_0%3Dp%5E%7B(1)%7D_1%3D1)
%7D_0%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B4%7D(1%2B%5Csqrt3))
, %7D_1%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B4%7D(3%2B%5Csqrt3))
, %7D_2%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B4%7D(3-%5Csqrt3))
, %7D_0%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B4%7D(1-%5Csqrt3))
%7D_0%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B16%7D(1%2B%5Csqrt%7B10%7D%2Bq))
, %7D_1%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B16%7D(5%2B%5Csqrt%7B10%7D%2B3q))
, %7D_2%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B8%7D(5-%5Csqrt%7B10%7D%2Bq))
, %7D_3%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B8%7D(5-%5Csqrt%7B10%7D-q))
, %7D_4%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B16%7D(5%2B%5Csqrt%7B10%7D-3q))
, %7D_5%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B16%7D(1%2B%5Csqrt%7B10%7D-q))
, 其中 
.
使用上面几条方程组求解 N>3 时尺度系数的数值成本过高, 需要更快速的算法, Daubechies 提出了一个解多项式零点求尺度系数的算法:
求解多项式 q%5Ek)
的零点, 得出 N-1 个复根 
. 然后对每个复根求解多项式 
, 每个 q 都可以解出两个 r, 只保留模长小于 1 的那个, 得到数列 
. 使用这个数列组合得多项式 %5EN%5Cprod_%7Bk%3D1%7D%5E%7BN-1%7D(z-r_k))
, 这个多项式与 
等价, 其中 M 是一个常数, 求得这个多项式各项系数后逆序得系数 
, 那么尺度系数 
由 %5E%7B-1%7D)
给出.
特别地, 如果求解 r 时保留模长大于 1 而不是小于 1 的, 那么 与 
等价. 虽然这时候不需要逆序多项式系数, 但是原文并不是使用这种.
当使用数值求解尺度系数时, 由于浮点数误差, 并不会精确给出实数数值, 直接取结果的实值就好. 下面给出 julia 的实现
q 的值是由 Polynomials 包提供的方法解多项式的根给出, 第一个 r 是 
的其中一个解, 当 r 的模长大于 1 时由 1/r 给出 r 的第二个解, 代码其余部分就是求系数了.
?: 我发现仅当 %20%5Ccup(%5CRe%5Bq%5D%3E1%5Ccap%5CIm%5Bq%5D%5Cneq0))
才会满足条件 abs2(r) ≥ 1, 并且验证了 N 从 1 到 30 产生的所有 q 都不在这个范围里, 所以有理由怀疑标记着 ? 的语句永远也不会执行. 但是不会如何证明这个猜想, 所以还是把语句留在上面算了.
代码已上传的 gayhub: github.com/nyasyamorina/trash-bin/blob/main/wavelet%20-%20Daubechies.jl
不过虽然但是, 代码都已经贴出来了, 也不需要再去 gayhub 了.
日常推瑟图群: 274767696
封面pid: 79581830
标签：
