讨论一下

第一集：主要表述的就是加法与乘法看待世界的两种思维方式。相信完整看过视频的都能理解。但是我理解之后还是总忍不住去回想最初的问题，为何任意随机数集的首位遵循乘法的方式分布。另外其他位呢？比如第二位数呢？最后一位数呢？

额，我本来下意识觉得第二位应该是平均分布的，但是稍微思考以后觉得或许不能肯定（额，也可能我想多了），所以我们暂且不讨论第二位，但是最后一位，却是公认的平均分布的，那么为何首位数如此特别呢？很简单，首位数决定了一个数的所处的数量级，并且定义了其在此数量级中所处位置，简单的说就是首位数最大程度的决定了一个数的大小。

但是到此我还是想不通，因为随机数集，其中的数不论是遵循平均分布还是正态分布，将其分布按数量级分区（[0-10),[10-100),[100-1000)……），其中每一个分区内0-9这些数出现的概率还是相同啊，所以再将所有分区的分布概率统合起来，也应该相同啊。。。

疑惑了一会我想到，或许问题出在一个随机数集的分布范围上。

为方便讨论，我们仅考虑数集中的数遵循平均分布或正态分布或其他有统计意义的分布规律的情况。

我们假设数集中最大的数为max，最小的数为min，则数集分布区间是[min，max]，而此max如果首位数是9，也就是整个数集分布范围的上限在9区间内，则此数集的首位将会遵循平均分布或正态分布，这将不符合首位遵循乘法分布的规律，但是这种情况的前提是max落在9区间，而max落在任意区间的概率是相同的，其落点越接近数量级的上限（9），则最大数量级中数的分布将越平均（比如max落在4，则数集中最大的那些数的首位只能是1~4），而最大数量级正是影响整个数集分布情况最大的原因。那么综合考虑max随机落点的情况，最初的问题即使不使用乘法思考方式也得到了解释。

所以我认为，在无限集合中讨论规律时，越是接近无限，其对规律的影响越大，因此：

第四集：无限集合的双射，即一一映射，在奇数（或偶数）与自然数之间不能成立。

视频中，双射的规则是×2或者×2+1。但是此规则在任何有限的范围内均不能成立，因为当自然数集合用到n时，奇数（或偶数）集合已经用到了2n或者2n+1。其数值大小的增长速度相差2倍。设定一个能理解的一直变大的无穷的边界，无论这个边界是10000还是100000000还是n，其中的自然数一定比奇数（或偶数）多1倍（或者1倍差1），所以这个边界即使变大为不能理解的无穷，此规律也不会变。

而且我们都知道，奇数的数量+偶数的数量=自然数的数量，同时奇数的数量=偶数的数量，所以自然数的数量如果是∞，那么奇数（偶数）的数量应该是∞/2。而如果认为∞=∞/2，那是很荒谬的，额，我认为。。。

所以如果按这样想，可以很轻松的证明(0,1)之间的实数的数量远大于自然数的数量，不需要按视频里那么巧妙，只要建立这样的双射：

1  0.1

2  0.11

3  0.111

.

.

n  0.1111..111(n个1)

.

.

那么自然数的数量就等于(0,1)之间实数数量的一小部分，自然就远小于(0,1)之间实数数量了。

而且，应该可以计算出(0,1)之间实数数量与自然数数量∞的关系，额，不过我就没这本事了。

大胆猜想一下吧，设(0,1)之间实数数量为y，自然数的数量为∞，则y=？

在上面的双射中，与 0.1111..111(n个1)位数相当的小数有多少个呢？10ⁿ-1个。

所以：

额，貌似没啥问题，不过我也不敢肯定啦。。。

等等，想了一晚上，确实有问题，上面的公式是将之前位的小数个数全部加起来，但是最后n位的小数个数10ⁿ-1其中有后面都是0的情况（如0.2340000000..00=0.234）包含了之前位数少于n的所有情况，所以：

嗯，这样应该没问题了。。。。大概。。。。

总之，自然数的数量是∞，是无限多个，但是∞+∞≠∞，∞/2≠∞。数学家们也已经证明了无穷分为很多等级，或许这等级的数量也是无穷呢。。。