高中数学基础与解法全集（涵盖所有）|长期更新|从零开始拯救所有学渣！通俗易懂|竞
P9 集合之间的关系
- 集合的定义
- 子集
A中的元素B全有 我们就称之为 A是B的子集
这是集合属于集合
证明集合相等的办法：
若A包含于B 且B包含于A 则A=B
- 真子集
如果A包含于B 但存在元素x∈B 且x∉A 就称集合A是集合B的真子集
→A不仅包含于B 且B中含有A中没有的元素
- 空集 ∅
规定：空集是任何集合的子集
解释：①空集的所有元素 其它的非空集合都有 因为空集本身什么都没有 那么另外的集合一定不会比他小
②更加具象 空集不是无 它是内部没有元素的集合 可以将集合想象成 一个装有元素的袋子 而空集的袋子是空的 但袋子本身确实是存在的 而每个集合都有这个袋子 因此就是 空集是任何集合的子集
2.集合之间的关系
- 交集 ∩ （符号像 且） A∩B=C （注意是集合）
- 并集 ∪ A∪B=C
交并关系 可以通过在数轴上画图 直观地表示
- 补集 （互补的概念）
CuA：A在全集U中的补集
→全集U中除了集合A的集合
3.集合中元素的个数
知道集合有几个元素 card（A）=n
- 子集有2ⁿ个
- 非空子集 2ⁿ-1
- 真子集 2ⁿ-1
- 非空真子集 2ⁿ-1
P10 集合习题（从1到无穷大）
1.考点一：集合的表示
2.考点二：子集个数+拓展
- 子集个数：
将x∈R→x∈Z
∴B={-2，-1，0}
∴card（B）=3
∴B有2³=8个子集
- 非空子集
B有2³-1=7个非空子集
- 真子集
B有2³-1=7个真子集
- 非空真子集
B有2³-2=6个非空真子集
3.考点三：交并关系
- 并集 将两个图画在一起
∵B是A的子集
∴A∪B=[-3，+∞）
- 交集
∵B是A的子集
∴A∩B=（-3，1）
- 补集 B在A中的补集
CAB={-3}∪[1，+∞）
P11 集合互异性相关问题
- 第一题
A={1,3，a} B={1，a²-a+1} 求A∪B
AUB={1，3，a，a²-a+1}（以这个为基础 进行分类讨论）
- 一切之前
∵a≠1，3 a²-a+1≠1→a≠0，1
∴a≠0，1，3
- 第一种情况 a²-a+1=3
∴a=-1，2
∴A∪B={1，3，-1}或{1，3，2}
- 第二种情况 a²-a+1=a
∴a=1（舍 前提条件是a≠1）
- 第三种情况 a≠-1或2时 （前面讨论的都是相同的情况 所以这里改成讨论不同的情况）
∴A∪B={1，3，a，a²-a+1}
2.第二题
已知A={3，3+m，3+5m}，B={3，3p，3p²}
若A=B 求m，p
由两种相等情况
- 一切之前 先满足 互异性
∵3+m≠3
∴m≠0
同理
∵3p≠3p²
∴P≠0
又∵3p²≠3∪3p≠3
∴P≠±1
- 第一种情况 3+m=3p 3+5m=3p²
解得①m=0 P=1 （舍 不满足条件）
②m=9 P=4
- 第二种情况 3+m=3p² 3+5m=3p
解得①m=0 P=1 （舍 不满足条件）
②m=-25/27 P=-4/5
总结：
- 纯互异性
先通过相同的分类筛除 后分成都不同的类
- 集合相等
前面与后面哪一个相等 进行分类讨论 并且通过互异性判断是不是对的
P12 集合相等的证明方法
证明集合相等：
- 元素相同
⑴个数少：互异性
⑵个数多：通项相等 每一项表达式写出 发现表达式相同
- 定义法↔A包含于B 且 B包含于A
1.第一题 求集合A，B，C 之间的关系
∵给了我们集合的通项
∴可以采用通项的思想
又∵发现2 3 6 的最小公倍数都是6
∴将其通分 使分母都为6
又∵m n p 都是整数
∴可以将数字带入尝试 eg：0,1,2...
通过代数我们可以发现 A是B的真子集 B=C
严格证明：
∵由于代数我们发现了B=C 而又要严格证明
∴我们要证明 通项相等
∵要证明 通项相等
∴尝试往形式上去凑
∵n是整数
∴n-1也可以取遍所有的整数
又∵p是整数
∴p也可以取遍所有的整数
∴p和n都可以取遍所有的整数
∴p=n-1
∴B=C
又要证明A是B的子集/A是C的子集
∵A与C长得比较像
∴证明A是C的子集
6m有的3p都有 且3p含有的还比6m多
为了严格证明
可以将6m→3·（2m）
∵m是整数
∴2m一定是偶数
而p可以是任何整数
∴A是C的子集
2.第二题
由于没有什么比较好的办法 证明通项相等
∴采用 定义法
⑴证明A包含于B
就是证明A是B的子集 就是证A中任意元素都是B中的元素
A中xA=2（7m+18n）
▲证明xA都是B中的元素
∵k为任意整数 且m、n也都为整数
∴一定存在k=7m+18n
∴令k=7m+18n（这里是可以令的因为 不管m和n取多少都一定能找到一个对应的k 并且 k可以为任意整数 何止是7m+18n）
∴有xA=2k∈B （一定可以找到一个k等于7m+18n A中的全部元素B中都有）
∴A中的任意一个元素都属于集合B
∴A是B的子集
⑵证明B包含于A
B中xB=2k=14m+36n（使k也可以写成对应的m，n的情况 怎么做→假设存在对应的m，n）
如果任意的k都能找出对应的m，n 整数与之对应 使得此方程成立 那么 B中的所有元素都可以在A中找到
先将式子化简：k=7m+18n
由于未知数太多了 将k给消掉
令 m=m₁k n=n₁k
∴k=7m₁k+18n₁k（将两边的k都约掉）
∴1=7m₁+18n₁
只要找出一组整数解 使这个方程成立 我们就可以说一定存在 2k=14m+36n
采用凑的方法找出解
∴m₁=-5 n₁=2
k=7·（-5k）=m+18·（2k）=n
对于任意的k 都可以找到相应的m n使其成立
∴B包含于A
P13 子集相关问题
子集考法：
①A是B的子集/A是B的真子集
- 有限元素
- 区间 数轴
②card（A）=n 有2ⁿ个子集
③新定义
严格分类 防止漏解
先确定元素个数的范围：
4≥card（P）≥2
- card（P）=2 P={a，b/c/d} 3个
- card（P）=3 P={a，bc/cd/bd} 3个
- card（P）=4 P={a，b，c，d} 4个
∴总共有10个
- M=∅ 即2k+1≤3 即k≤1时 M=∅ M包含于A
- M≠∅ 即k>1 满足条件：①2≤3 ②2k+1≤4 解得k≤1.5 1<k≤1.5
∴综上所述 k≤1.5
通过举例子的方式 了解题目意思
从 最小元素 开始分
- 0 A={0，1，2，3}
3，4}
4，5}
∴一共有3种
- 1 A={1，2，3，4}
4，5}
∴一共有2种
- 2 A={2，3，4，5}
∴一共有1种
∴综上所述 一共有6种
P14 集合的交并补混合运算
集合的交并补混合运算：
- 数轴 区间问题
- venn 若干个零散的元素
集合未知
先用数轴将未知数表示出来
一元二次方程用二次函数表示出来
①A∩B={1}∪[2，+∞） 注意点不要忘了！
A∩（CRB）=（-∞，1）
②分类
- a>1 a-1≤1即可 ∴a≤2 即1<1≤2
- a=1 变成了（x-1）²≥0 ∴一定可以
- a<1 ∴此时一定符合条件
综上所述 a∈（-∞，2]
不好数轴分析→Venn法
A. 正确
B. 正确
C. 正确
D. 错误
∴选D
