关于正方体截面形状的小讨论

创造者Hacer

        正方体是一种十分常见的几何体，不管是在题干中，还是在生活上，都已是我们眼中的常客.但就是这么令人熟悉的物体，在它的背后仍然有许多有趣、深奥，甚至堪比未解之谜的问题待我们一一发掘、解答.这不，正方体截面形状的多样性则是像这样一个趣味无穷的讨论点.借助几何画板，我也发现了它其中的一些奥秘.

        多次试验过后，我归纳出4种正方体的截面形状：三角形，四边形，五边形以及六边形.下面，我们来讨论讨论这4种截面形状的产生条件.

        （本次实验所用的正方体的体对角线长度为8.）

        三角形应该是我们最容易发现的截面形状之一了.“很随便”地一截，就可以获得一个三角形截面。

        如图1所示，当截面仅截过同一顶点的三条棱时，即可截得一对三角形截面.

        于是我们不难得出,当截面截得的三条棱长度总是相同时，欲截得三角形，截面到正方体几何中心的距离的取值范围：h∈[1/6·a,1/2·a)

        （其中h为截面到正方体几何中心的距离，a为体对角线的长度）.

特殊情况：

        当h取得该范围内的最小值1/6·a时情况如图2所示——此时我们恰好截到一个边长为面对角线的等边三角形.

二．四边形

        四边形形状的截面也是比较容易发现的。在此分以下两种情况讨论：

        1. 当截面仅过四条相互平行的棱时，则有四边形截面出现（图3）。

        2. 当截面仅过一个面内一对相交棱及其平行面内另一对完全相同的相交棱即可得到四边形截面（图4）。

        四边形的出现和获得可由上述三角形某一顶点的运动，即截面绕棱旋转的角度推导而来。运用这个顶点“一生二”的思路，我们应该很容易进行后面的探究。

特殊情况：

        若要得到面积最大的截面四边形，则可作以两条平行的面对角线为长，以对棱为宽的矩形（图5）。

三 . 五边形

        五边形截面相对于前两种截面形状来说就不是那么能直观地看出来了——当然，我们借助前面顶点“一生二”的思想，也可较为容易地得到五边形的截面。在此我想说说我的思路：

        当在二 .1的情况下时，绕其中某一点变动截面角度，且使得另外三个顶点中的一个移动到所在棱之外，即可得到五边形（图6）。

四 . 六边形

        依据刚才所提出的思想，下面我们进行六边形的研究。

        下面我想说说获得六边形的两种思路：

        （1）将图6所得五边形在正方体底面上的棱所对顶点继续上移，即可得到六边形（图7）。

        （2）我在思考二 .2时，片面地想到：可否让四边形的四个顶点分别位于两组对棱上？带着这个猜想进行试验之后，我发现，无论如何都只能得到一个六边形截面。通过分析和反思，我明白思考错误的原因，即是这样做的话，四边形在两个底面之间的两条边会处于正方体内部而非表面（图7）。

        于是，根据截面的定义，我鬼使神差地得到了一个六边形截面。

总结

        正方体的截面形状即是这四种。通过我不够简洁的描述、不够严谨的讨论与归纳、过于“民间”的讨论思想，以及几何画板的buff加持，我还算是把所有的情况以我的视角解释清楚了吧。

        这篇论文也不能称作严格意义上的论文，但是通过这次讨论，我还是慢慢找到了数学归纳的通法（个人总结），即是一种或几种贯穿全局的思想，以及从简单到复杂的思路，和全方位无死角的观察与思考。

（END）