【零基础学经济Ep53】查漏补缺——数学基础（十四：同济常微部分）+经济概念日常梳理

聊一种特殊的二阶线性齐次微分方程：常系数线性齐次微分方程，对应一种相对特殊的方法，特征方程法。接着给弹性部分收个尾，最后聊一个曼昆书上的最基本模型。

part 1 同济《高等数学》常微分方程部分

二阶线性齐次微分方程——形如d^y/dx^2+P（x）dy/dx+Q（x）y=0的微分方程。

将上面齐次方程中的P（x）和Q（x）换成常数p、q，即得到——

常系数齐次线性微分方程——形如d^y/dx^2+p dy/dx+q y=0的微分方程。

解法——

1. 令y=e^（rx）——r为常数；

2. y'=r e^（rx），y"=（r^2） e^（rx）

3. 带回原方程，得到方程：d^y/dx^2+p dy/dx+q y=（r^2） e^（rx）+pr e^（rx）+q e^（rx）=0，即r^2 +pr +q=0——这个方程即为该常系数齐次线性微分方程的特征方程。

求出满足特征方程的解r，即可求出齐次方程的解e^（rx），按照二次方程球根公式讨论——

1. p^2-4q>0，则存在两个不相等的实根r1、r2；

2. p^2-4q=0，则存在两个相等的实根r=-p/2；

3. p^2-4q<0，则存在一对共轭复根r'1、r'2 。

情形一： e^（r1x）和 e^（r2x）是微分方程的两个解，微分方程的通解为y=C1 e^（r1x）+C2 e^（r2x）；

情形二： e^（rx）是微分方程的一个解，然后由此求出另一个解——

1. 令y2= e^（rx）*u（x）；

2. 则y2'=e^（rx）*[ru（x）+u'（x）]，y2"=e^（rx）[（r^2）u（x）+2ru'（x）+u"（x）]；

3. 带回原方程，得到方程：d^y/dx^2+p dy/dx+q y=e^（rx）[（r^2）u（x）+2ru'（x）+u"（x）]+pe^（rx）*[ru（x）+u'（x）]+qe^（rx）*u（x）=0；

4. 即[（r^2）u（x）+2ru'（x）+u"（x）]+p[ru（x）+u'（x）]+qu（x）=0；

5. 即u"（x）+（2r+p）u'（x）+（r^2+pr+q）u（x）=0；

6. 因为r是特征方程r^2+pr+q=0得解，且r=-p/2，则上述方程后两项都是0，则得到u"（x）=0；

7. 由于只要找到一个非常数解，则可令u（x）=x即满足条件，则y2= e^（rx）*u（x）=xe^（rx）。

于是微分方程的通解为y=C1e^（rx）+C2 xe^（rx）；

情形三：存在一对共轭复根r'1、r'2 ，即r'1=a+ib，r'2 =a-ib——其中a、b为任意实数，i为虚数单位，我们利用欧拉公式和叠加原理求出两个实函数根——

1. 欧拉公式：e^（ic）=cos c+i sin c；

2. e^（r'1x）=e^[（a+ib）x]=e^（ax）*e^（ibx）=e^（ax）[cos bx +i sin bx]，e^（r'2x）=e^[（a-ib）x]=e^（ax）*e^（-ibx）=e^（ax）[cos（-b）x +i sin（-b）x]=e^（ax）[cos bx-i sin bx]；

3. y1=（1/2）[e^（r'1x）+e^（r'2x）]=（1/2）{e^（ax）[cos bx +i sin bx]+e^（ax）[cos bx-i sin bx]}=e^（ax）cos bx ；

4. y2=（1/2i）[e^（r'1x）-e^（r'2x）]=（1/2i）{e^（ax）[cos bx +i sin bx]-e^（ax）[cos bx-i sin bx]}=e^（ax）sin bx 。

于是微分方程的通解为y=C1e^（ax）cos bx +C2 e^（ax）sin bx。

对于常系数齐次线性微分方程的求解步骤——

1. 写出微分方程的特征方程；

2. 判断特征方程解的情形；

3. 按照三种情形写下通解，可以直接把通解背下来，也可以从特征方程直接推。

part 2.1 经济学概念——高鸿业

高鸿业《西方经济学》第二章第五节：弹性——

第五节引入弹性的概念——

弹性——一般来说，只要两个经济变量之间存在函数关系，我们就可用弹性来表示因变量对自变量变化的反应敏感程度。

弹性一般公式——弹性系数=因变量的变动比例/自变量的变动比例。

弧弹性公式——e=（ΔY/ΔX）（X/Y）——e：弹性系数，ΔX、ΔY变量X、Y的变动值。

点弹性公式——ΔX趋于0时，e=lim （ΔY/ΔX）（X/Y）=（dY/dX）（X/Y）——极限值。

最后一部分举了四个运用需求、供给和均衡价格的基本原理的实例——

A.易腐商品的售卖——

1. 作价格-需求曲线，给定要售卖的数量Q，再图线上找到对应的P即为所得定价；

2. 定价P1>>P，则销售量急剧减少，导致总收入减少；

3. 定价P2<<P，则销售量达到，单价减少，总收入依然是减少。
   

B.价格放开——

分析看法：只要把z.f的限价取消，这类商品的供给量就会增加。

1. 大多数情况下，供给的价格弹性系数大于0，取消z.f限价，商品的供给量会大大提高；

2. 特殊情况，某些商品的生产由于受到资源条件和技术水平等因素的限制，供给数量在较长的时期内是固定不变的，供给的价格弹性系数为0，取消限价，只能使价格上涨。

C.最高限价和最低限价——

1. 最高限价/限制价格：为了抑制某些产品的价格上涨，尤其是为了应对通货膨胀；

2. 最低限价/支持价格：为了扶持某些行业的发展。

D.谷贱伤农——

现象——丰收的年份，农民的收入反而减少了。

解释——需求的价格弹性：农作物的需求弹性小于1，当农产品的价格发生变化时，农产品的需求是缺乏弹性的。

part 2.2 经济学概念——曼昆

曼昆《经济学原理》第二章最重要的内容是两个最基本模型，第一个是——

the circular-flow diagram循环流量图——

1. 这个模型里，经济学指包含两个决策者：企业和住户；

2. 公司生产产品、提供服务，需要输入——这些输入成为factors of production生产要素；

3. 住户占有生产要素，消费产品与服务；

4. 公司与住户进行两种交互——在商品市场上，是买卖双方，在生产要素市场上，是雇佣双方——形成一个循环；

5. 这个循环的内圈代表，输入与输出，外圈代表，资金流向。

后天继续！