大学物理（电磁学）知识梳理与例题选讲：§08 交流电

正弦交流电

电感与电容器分别发生充电、放电在电路中振荡传递，LC振荡电路（L：电感，C:电容）

等效为力学振动模型可得

电路总能量表达式（注意：此时为理想模型，只发生电路内的能量的转移，不发生能量的耗散）

当能量全部转移到电感L或电容C时，其总能量

# 模型分析

## 概念

相位的区别于LC电路，但在电路只有电阻R与电动势E里，电流 I与电动势 E

• 峰值：最值
• 平均值：某一区间的函数积分 / 该区间的时间差；常应用于计算电量

对于电路只有电阻R与电动势E而言，电流平均值为：

通过的电量Q

求解平均电流 $\overline{ I }$

结果

选取不同区间的函数值将影响平均值，如下图对于同样时间差为 $\pi/4$的不同区域，[0,$\pi/2$] 比 [$\pi/4$,$3\pi/4$]小（因为其所围的面积相比而言小）

注意：计算电量Q时，需要看题目是否计算正负电荷抵消

• 有效值：函数的平方在一个最小周期的积分 / 最小周期 ，即为方均根 $f_{rms}$ ，常用于计算发热

结果为

阻尼交流电与品质因数

# 概念与现象

在之前的章节中研究为能量不耗散的状况，现在研究能量耗散的情况

名词定义：

• 固有频率ω
• 阻尼因子

特征方程情况分类：

• 过阻尼 δ> ω

• 临界阻尼 δ = ω

• 小阻尼/欠阻尼 δ < ω：比较重要

整理如下

# 品质因数Q

## 定义

在欠阻尼下的品质因数为

## 影响因素

品质因数Q的影响因素：

• 阻尼δ：负相关
• 周期T：负相关

近似处理，利用等价无穷小

整理可得，此时品质因数Q体现出损耗特性

受迫振荡电路与矢量法

处于外界输入交流电下

注意：q_{m}为最大充电电量

# 矢量法

一个三角函数可以转换为圆周运动的坐标轴投影

当角频率ω相同时，可认为其为不同初相位φ的矢量叠加的圆周运动的坐标轴投影

设：方程的解为图中——"解”处的表达式

代入原式，可得

可将各项对应到上图的矢量图形当中，由图中的几何关系，可得：解的系数qm与相位φ

E_{m} C = q_{m}

系数qm与相位φ

## 分析极端状况的影响因素：

• ω << ω0：即为当电感L处于较小时，外界电流变化较慢

E_{m} C = q_{m}，此时幅值 $q'_{m}$，只与最大电动势E_{m}与电容C相关，且均为正相关；此时电量与外界交流电变化同步（不存在相位的超前或滞后）

• ω >> ω0：即为当电感L处于较大时，外界电流变化较快

此时振幅 q'_{m} 趋于0，相当于电路处于断路（电感L的作用相符）；相位φ与原相位相反，即峰值相互抵消（一正一负），或者说电路充放电与外电路相反

## 谐振曲线：振幅与策动力(即外部交流电)频率的关系

共振时的关系式如下：

可得：（Q为品质因数）

进一步，可得共振时振幅 q_{m} 与电容的关系

由上可知电容的最大电压U_{m} 可以大于电动势E，而品质因数此时体现出增益特性

### 品质因数体现的特性

可得

当阻尼δ变小，则在电容器的最大充电电量q_{m}/√2区间内的外频ω差值将变小

此时凸函数所围的面积变小，其意义在于消除其余频率的噪音的影响，品质因数Q反映出频率接收的选频性能，也称为谐振特性

回顾与总结`品质因数`的性质

• 损耗特性【阻尼交流电与品质因数】
• 增益特性
• 谐振特性

## 能量关系

### 概念与特点：阻抗、感抗、容抗

表示出电流最值 I_{m}，可推导得出下式

设分母部分为R或者Z (注意区别电阻R)

此时可定义分母R为阻抗Z_{R}，同理可得其余的概念名词

感抗Z_{L} 与容抗Z_{c}的特点：

• 感抗Z_{L}：通直流阻交流；通低频阻高频
• 容抗Z_{C}:：通交流阻直流；通高频阻低频

### 共振时的能量关系

共振时，外频ω = 自然频率ω0

可得：电流最值 I_{m}与最大电动势 E_[m}的关系

其相位φ应为：-pi/2（具体推导过程参考下一节复数法）；其矢量表示关系如下

能量上：感抗Z_{R}和容抗Z_{C}相互抵消（由电流最值 I_{m}与最大电动势 E_[m}的关系可得）

或者由下列的微分方程得出：

电感项（二阶微分项）和电容项（常数微分项）相互抵消

总能量

### 品质因数Q的推导式

进一步，可得

总结品质因数Q的表达式

1. 定义式
2. 损耗特性近似表达式
3. 增益特性
4. 谐振特性
5. 谐振电路的值

交流电复数法

# 阻抗

使用复数表达(即up主所指处)

则电阻(复阻抗)表达式为(计算简单明了)

## 电阻的复数(复阻抗)表达的意义

### 例题:复阻抗

#### 例1:求复阻抗Z_{R}

### 例2:求感抗Z_{L}

不建议使用up主的逻辑方法：时而使用复数，时而使用矢量判断（有技巧性）

### 例3：求容抗Zc

使用矢量判断相位

求出容抗Zc

同样不建议使用up主的逻辑方法：时而使用复数，时而使用矢量判断（有技巧性）

## 抗值的串并联

• 阻抗Z的串并联

** 串联

电阻R、电感L、电容C串联

整理可得

区别于之前使用时电量q推导求出的相位φ

原因：下面的式子为电量q与电动势E的相位φ，上面的式子为电流 I 与电动势E的相位，而电量q与电流 I 之间相差 pi/2

电量最值 Im与充电电量最值q'm

** 并联（up主没有讲）

交流电的应用

# 概念

## 有用功率：一个周期内的功率 / 周期

注意：不能直接使用——电动势有用功E_{rms} ✖ 电流有用功 I_{rms}。在非纯电阻电路，电流 I 与电动势 E 存在相位差

利用和差化积法，之后判断三角函数的周期积分为0，可得

### 有用功的最值的情况：

• 纯电阻电路

当其为纯电阻电路时，不存在电容与电感的相位影响，因此相位φ =0，有用功达到最大

• 谐振时，此时相位角φ为0，Z = R

注：已知φ=0，Z=R。我也不知道up主为什么要多一步表示cosφ

可得类似焦耳定律的有用功结果

总结：电感与电容只是在电路中储存于转化能量并不消耗能量

## 平均输入功率（up主不讲）

# 变压器

## 单个初级线圈

初级线圈与次级线圈磁通量相等，可得

在理想条件下（即不计铁片因涡流而损耗能量），能量不耗散，则功率相等。可得初级线圈与次级线圈的电流关系

应用：电压与电流经过线圈后具有放大或缩小的效果

## 多个初级线圈

电压U与匝数N的关系

电流 I 与匝数N的关系

# 三相交流电

## 接线方法

• 星形接法

注意：相电压为有效值，也不一定为220V

• 三角形接法

线电压与相电压的关系

线电压 = 相电压✖√3

## 插座

上三孔为火线，下横为地线，即三相四线制

# 例题：三相交流电

## 例1：电路与三相交流电

如图A、B、C为火线，O为零线

• case 1：开关S全部闭合，灯泡亮度是否相等？电压为多少？

答：相等，因为都为相电压且为220V

• case 2：仅仅将开关S0断开，其余开关均为闭合，求灯泡亮度以及其电压。

答：如下图

• case 3：仅仅断开S0、S11开关，其余开关打开，求灯泡亮度以及其电压

此时L12的电阻变大（✖2），则L12的分压变大（2/3的电压），其亮度将变亮，而L34、L56均变暗（电压1/3）

• case 4：仅仅断开S0、S11、S12开关，其余开关打开，求灯泡亮度以及其电压

答：如下图所示

• case 5：仅仅断开S0、S11、S12、S22开关，其余开关打开，求灯泡亮度以及其电压

答：易知L2的电阻变大，分压变大（2/3电压），因此变量，而L3将变暗（1/3电压）

• case 6：仅仅断开S11、S12、S22开关，其余开关打开，求灯泡亮度以及其电压

答：三个灯泡将均为220V等亮度

交流电例题选讲

# 例1：LR电路

• 直流电求解

• 交流电求解

# 例2：多元件串联问题

补充

(1). 求 电流 I 和 电压 V4

• 使用复数法求电压V4：

（亦可设电流 I 的复数表达式，利用复数的欧姆定理 U = I Z即可求解）

• 使用矢量法求电压V4

(2)求总电压u

(3)总阻抗Z

(4)幅角φ

# 例3：并联电路

求电流 I1与 电流 I2的相位差

矢量法求解

# 例4：并联电路

问题如下：其中I0为总电流

(1)总阻抗Z的大小

（2）干路电流I0与相位角φ

(3)求解 I0

(4)总功率P

# 例5：电桥法

当电桥平衡时，电流表示数G为0，求各个阻值之间的关系

支路电流可得

由AB两点电势相同可得

最后可得

# 例6

已知当电压表最小时为25V，求电阻r和电感系数L

矢量求解如下，分析听up主讲解

整理如下